几何概率问题 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2005-1-28 15:57 资料主页短消息只看该作者

有一根长度为1的火柴棒，小明随便选了两个地方把它折断，成为三根小木棒。
1。这三根小木棒能组合成一个三角形的概率是多少？
2。已知三根小木棒可以组合成一个三角形，它面积的期望值和方差是多少？

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#2

发表于 2005-1-28 17:01 资料文集短消息只看该作者

1.题我记得我们讲几何概率的时候说过。
第二题似乎也说过，但是肯定我当时没去上课（我去上课的概率小于0.1）

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#3

发表于 2005-1-28 17:26 资料主页文集短消息只看该作者

笨人用笨法
不妨取出火柴的一根从头至尾的纤维　设为２ｋ或者２ｋ＋１个质点组成（质点是不可分割的）
在火柴中间截取一段（即是说头尾的质点不能截取）　如果不小于剩下的质点数　则不能组成三角形　概率是
（ｋ－１）＋（ｋ－２）＋．．．＋１
－－－－－－－－－－－－－－－－－＝１／２＊（ｋ／（ｋ－１））
　　　　　（ｋ－１）＊（ｋ－１）
或
（ｋ－１）＋（ｋ－２）＋．．．＋１
－－－－－－－－－－－－－－－－－＝１／２＊（（ｋ－１）／ｋ）
　　　　　　　ｋ＊ｋ
k很大时为１／２
两点不在同一半段的概率１／２　这种情况下截取的不小于一半的概率为１／２＊１／２＝１／４
两点在同一半段的概率１／２
于是不能组成三角形的概率１／２＋１／４＝３／４
１－３／４＝１／４

大学没学数学　我认为ｔｕｎ８４答对了　楼主来说说
第２问请教一下楼主期望值是否概率分布的某种平均值？方差也说一下哈

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#4

发表于 2005-1-28 17:44 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由青木风亮于2005-01-28, 17:26:23发表
笨人用笨法
不妨取出火柴的一根从头至尾的纤维　设为２ｋ或者２ｋ＋１个质点组成（质点是不可分割的）
在火柴中间截取一段（即是说头尾的质点不能截取）　如果不小于剩下的质点数　则不能组成三角形　概率是
（ｋ－１）＋（ｋ－２）＋．．．＋１
－－－－－－－－－－－－－－－－－＝１／２＊（ｋ／（ｋ－１））
　　　　　（ｋ－１）＊（ｋ－１）
或
（ｋ－１）＋（ｋ－２）＋．．．＋１
－－－－－－－－－－－－－－－－－＝１／２＊（（ｋ－１）／ｋ）
　　　　　　　ｋ＊ｋ
k很大时为１／２
两点不在同一半段的概率１／２　这种情况下截取的不小于一半的概率为１／２＊１／２＝１／４
两点在同一半段的概率１／２
于是不能组成三角形的概率１／２＋１／４＝３／４
１－３／４＝１／４

大学没学数学　我认为ｔｕｎ８４答对了　楼主来说说
第２问楼主解释一下什么叫期望值　是否概率分布的某种平均值？方差也说一下哈

期望可以理解为“平均值”

方差么…………方差我就记得算法了：平方的期望减去期望的平方。意义么，是可以估测数值离散的情况。

比如3和5，期望就是4，方差就是(9+25)/2-16=1，
如果是1和7，期望还是4，方差就是(1+49)/2-16=9，
后者方差大，就说明数据比较“飘”

期望和方差主要不是用于古典概率的。青木我怎么觉得你就学过古典概率？？那你还是别太勉强了。

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#5

发表于 2005-1-28 17:48 资料短消息只看该作者

第一题是一个直角三角形划几条线求面积
第二题就不知道了

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#6

发表于 2005-1-28 17:51 资料主页文集短消息只看该作者

我没学过概率　古典概率也是瞎猜的

我就喜欢霸王硬上弓

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#7

发表于 2005-1-28 18:58 资料主页文集短消息只看该作者

2。已知三根小木棒可以组合成一个三角形，它面积的期望值和方差是多少？

这样分出的三条边可以组成任何形状的三角形且分法对边长的分布没有影响
根据金龟公子的解释计算期望值如下：
周长一定面积最大是正三角形3^(1/2)/36 设为S
最小面积无限趋近于0
期望值是3^(1/2)/72

不妨取k组面积好了每组增加S1 s=kS1
方差是
0^2+s1^2+4s1^2+...+k^2S1^2
------------------------------------------  -  1/4s^2=
                  k
(k+1)(2k+1)
[--------------- - 1/4]s^2
6k^2

k-->无穷大时为1/12s^2=1/4*1/36^2

瞎蒙的

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#8

发表于 2005-1-28 20:44 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由tnu84于2005-01-28, 16:34:28发表
1. answer

1/2)x(1/2)=0.25
只要两个断口不是在同一半段and两点的距离<0.5

答案虽然正确, 不过步骤感觉过于简单. 概率只有在独立事件的情况下才可以直接相乘, 不然应该做些解释的.

我比较喜欢青木兄的第一题解法. 遗憾的是, 此题解法很难推广之去解第二题. 不过青木兄的第二题嘛... 差了不少.

金圭子: 此题你真的别处见过?! 我去年想出来的, 放到了大二精算课考试里了, 结果被学生拿砖头狂砸了整一学期. 不过此题若别处有过, 按说我也不太奇怪.

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#9

发表于 2005-1-28 21:17 资料主页个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由青木风亮于2005-01-28, 18:58:07发表
周长一定面积最大是正三角形3^(1/2)/36 设为S
最小面积无限趋近于0
期望值是3^(1/2)/72

有这么算期望的吗

天公将军在哪里当老师
偶好像从来没有听说过精算课

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#10

发表于 2005-1-28 21:52 资料主页文集短消息只看该作者

既然问几何概率，便从几何上解——学过立体解析几何的，xyz三轴画个图就知道了：

1、x+y+z=1(x,y,z>0)形成的正三角形截面，即为全部case

2、满足三角形构成条件的 x+y-z>0， x+z-y>0，y+z-x>0 这3个半平面截前述正三角形截面所得恰好是连接该正三角形各边中点构成的小正三角形——该三角形面积就是所有favorable cases

3、中心的小三角形（favorable cases），面积恰是原三角形（all cases）的1/4——这正是几何概率的定义。

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#11

发表于 2005-1-28 21:56 资料主页文集短消息只看该作者

什么叫期望值？金龟子说是平均值啊

老兄你们不要光顾着摆酷懂得话就说说会得话就做做

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#12

发表于 2005-1-28 22:13 资料主页文集短消息只看该作者

期望的问题，最直接的方法是按定义求，虽然比较繁（我相信应该有更简便的）。

设面积为S，则S = sqrt (1/2*(1/2-x)(1/2-y)(1/2-z)), x, y, z分别为3边长，x+y+z=1，面积公式为helen公式（1/2为三角形半周长）

于是分别需计算E(S)和Var(S)，其中Var(S)=(E(S))^2-E(S^2)，于是仅需计算E(S)和E(S^2)

然后计算三重期望应该可以完成——确实比较繁，想必是有简单的法子。

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#13

发表于 2005-1-29 02:57 资料主页短消息只看该作者

最优停时：你的思路和我一样, 就是用几何来解. 算期望值的计算也基本要按照定义推出来的. 不过, 你的概率密度函数有一个更简便的表示方法. 另, 因为牵扯到要用赫郎公式, 在下认为E(S^2)比E(S)好算. 加油! 顺便问一下, 看兄的用户名好象也是搞概率的吧(最优停时=optimal stopping time)?

天痕: 暂且在UNSW精算系充当助教而已(见: www.actuarial.unsw.edu.au). 精算学是对风险管理数量化的一个比较新的学科(其实也不新, 不过就是最近几年抄的比较热而已), 主要应允于保险业, 在金融经济领域里也有相当作用.

青木风亮: 期望值就是平均值, 只是算平均值也不是那样算的, 要首先考虑到三角形面积的概率分布.

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