妙题一组 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2005-1-23 00:04 资料主页文集短消息只看该作者

搜青石的题搜到这儿，发现妙题一组，共赏之。

本栏目精心挑选了一些涉及各个方面的智力题目，每一个题目都有深厚的数学背景，供大家在工作和学习之余探讨。欢迎提供优秀的题目。

1. 由27个体积各为1的正方体堆成一体积为27的大正方体。把号码1、2、3…、27分别标在小正方体上，问是否有一种标法，可使几何中心位于一直线上的任意3个小正方体的数码之和均相等？

2. 国际象棋棋盘8*8方格国际象棋棋盘8*8方格表中，每个要填入1、2、3这三个数字之中的任意一个。是否存在一种填入方式，使每行、每列及两条对角线上八个数字之和各不相等？为什么？

3. 一大楼装有编号为1、2…、100的单人牢房都关着门。有编号为1、2…、100的议员去视察牢房，每位议员只去自己编号的倍数的牢房，如发现牢房关着，他就打开视察；如发现打开的，认为已查，他就关上。100位议员各自独立地执行视察，互不干涉他人。最后决定，100名议员视察完毕后牢房门仍开着的，其中的犯人减刑一半。问那些犯人得以减刑？

4. 两个人从2点到9点一直徒步郊游，先沿着水平道路走，然后登山，最后回到了家里。他们的步速在水平路上每小时x英里，上山是y，下山是2y，求步行的路程。已知x和y是整数，并且问题有确定的解。

5. 一辆载有n（n>2）个不同的思维反应速度的旅客通过一隧道，且每一个旅客都不觉的他自己前额上有了一个煤烟黑点。假定每个旅客： 1）当他一看到且他只在看一个旅伴额上有黑点时，便笑起来且笑到黑点给抹去为止； 2）能够看到他所有旅伴的前额； 3）能够正确的推论； 4）当且仅当他的推断使他得出本人有黑点的结论时，会抹去他本人前额上的黑点； 5）他知道对他的每一个旅伴1）、2）、3）、4）均适用。求有多少旅客最后抹了自己的前额。

6. “正在花园里玩耍的那些孩子是您的吗？”客人问道。“那些小孩是四家人家的，”主人回答说，“我家的最多，我兄弟家的少些，我妹妹家的更少，我的堂弟最少。他们正在那里玩丢手帕的游戏呢！”接着他又说：“他们最爱玩的是棒球，但孩子的认输不够分成两个队。说也奇怪，”他沉思着说，“这四家人家的孩子的人数的乘积是我家的门牌号，这是你进门看见了的。” “我马马虎虎可算得上一个数学家。”客人说，“让我试试看能不能求出各家孩子的数目。”他算了算说：“我还需要多知道一点情况，你堂弟家只有一个小孩吗？”主人答复了他的问题。听后客人说：“知道了你家的门牌号和你对我的问题的回答，我现在可以推算出每家小孩的确切数目了。” 那么，这四家中每家有几个小孩呢？（注：棒球队每队九个人）　　　

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#2

发表于 2005-1-23 00:26 资料主页个人空间短消息只看该作者

只有第五题没有见过

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	重阳


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#3

发表于 2005-1-23 01:08 资料主页文集短消息只看该作者

但是你转的第4题怎么把最后一句话给落了？

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#4

发表于 2005-1-23 01:12 资料主页个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由重阳于2005-01-23, 1:08:08发表
但是你转的第4题怎么把最后一句话给落了？

难道是我记错了？

我明天去看看那本书上是怎么样叙述的。

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#5

发表于 2005-1-23 03:36 资料主页个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由重阳于2005-01-23, 0:04:42发表
3. 一大楼装有编号为1、2…、100的单人牢房都关着门。有编号为1、2…、100的议员去视察牢房，每位议员只去自己编号的倍数的牢房，如发现牢房关着，他就打开视察；如发现打开的，认为已查，他就关上。100位议员各自独立地执行视察，互不干涉他人。最后决定，100名议员视察完毕后牢房门仍开着的，其中的犯人减刑一半。问那些犯人得以减刑？

编号为N平方的犯人减刑，因为N平方的约数个数为奇数个，而其它数的约数个数为偶数个。

答案是：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100

这题和IOI98的彩灯布置差不多，不过侧重点不同而已~~

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#6

发表于 2005-1-23 12:33 资料个人空间短消息只看该作者

2.不能
每列(行)之和最小=1*8=8,最大=3*8=24,即有24-8+1=17种可能
而8(行)+8(列)+2(对角线)=18,即至少有一个数字重复

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#7

发表于 2005-1-23 17:49 资料主页文集短消息只看该作者

声明一下，原贴处并未提供答案，所以标准答案我也不知道。
不过天痕和KYOKO看起来都是对的。昨天到很晚了，也没仔细看，这两题算不上很妙，只有那么一点点妙味。

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	重阳


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#8

发表于 2005-1-23 19:11 资料主页文集短消息只看该作者

这种题对tnu84有充分信心，不用验证了。

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#9

发表于 2005-1-23 23:57 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由tnu84于2005-01-23, 19:52:02发表
不是我做的
我是怕打錯才請你們幫手驗證的

为什么说不是你做的呢？不解。

第4题还没人做出呀，给我省钱吗？悬赏时间再延一天。

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#10

发表于 2005-1-24 06:46 资料主页个人空间短消息只看该作者

第六题为什么不可以是2,3,5,7？

自己想明白了，不好意思。

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#11

发表于 2005-1-24 10:59 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由重阳于2005-01-23, 23:57:34发表

QUOTE:

原帖由tnu84于2005-01-23, 19:52:02发表
不是我做的
我是怕打錯才請你們幫手驗證的

为什么说不是你做的呢？不解。

第4题还没人做出呀，给我省钱吗？悬赏时间再延一天。

第四题：

http://www.xycq.net/forum/index.php?showtopic=41671

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#12

发表于 2005-1-24 15:30 资料主页个人空间短消息只看该作者

4. 两个人从2点到9点一直徒步郊游，先沿着水平道路走，然后登山，最后回到了家里。他们的步速在水平路上每小时x英里，上山是y，下山是2y，求步行的路程。已知x和y是整数，并且问题有确定的解。

从家出发, 然后回到家里. 所以两个人先走平路, 上山,原路下山, 再走同一段平路到家.

下山用时a 小时, 下山用时2a 小时, 平路用时2b小时, 共 3a+2b=7
得 a=1,b=2.

路程: 4y+4x

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#13

发表于 2005-1-24 15:38 资料主页个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由lcarron78于2005-01-24, 15:30:18发表
4. 两个人从2点到9点一直徒步郊游，先沿着水平道路走，然后登山，最后回到了家里。他们的步速在水平路上每小时x英里，上山是y，下山是2y，求步行的路程。已知x和y是整数，并且问题有确定的解。

从家出发, 然后回到家里. 所以两个人先走平路, 上山,原路下山, 再走同一段平路到家.

下山用时a 小时, 下山用时2a 小时, 平路用时2b小时, 共 3a+2b=7
得 a=1,b=2.

路程: 4y+4x

题目中没有说每段路上花的时间是整数

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#14

发表于 2005-1-24 16:47 资料主页文集短消息只看该作者

那本书我没有见过，书中应该附答案了吧？青石再仔细研究一下答案和两个版本的问题，看看书中的问题是不是落了一句至关重要的话。

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#15

发表于 2005-1-24 17:04 资料主页个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由lcarron78于2005-01-24, 16:57:44发表
不需要强调吧. 我想是表示特别的意思.

我想可能是书里的题目是没有出好但又有趣的数学题, 如条件不完全等等而导致无解或多解. (瞎猜的)

我还是先在网上查查这本书

这些题目都是美国数学月刊上刊登的征解题目

个人认为没有问题。

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#16

发表于 2005-1-24 17:26 资料文集短消息只看该作者

重阳的意思是青石你少了“x、y都是整数”那句话了。

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#17

发表于 2005-1-24 18:50 资料主页文集短消息只看该作者

不是的，是本题的最后一句，有确定解。另外，题中明确提出X、Y也比较准确（其实仍稍有问题），若象青石那样后来把这个删掉，则题义会更加含混不清。

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#18

发表于 2005-1-25 21:59 资料主页文集短消息只看该作者

大家看看我做的，来品评一下吧。
令单程平路A，山路B，
则2A/X+B/Y+B/2Y=7
即（2/X）A+（3/2Y）B=7
作者说，有确定的解，但题目提供的条件实际上是不够的，由上式并不能推知2A+2B是多少，因此是不是可以反过来理解，什么情况下由上式可以推知2A+2B呢，只有A、B的系数相等的情况下才行，即
2/X=3/2Y
3X=4Y
由于X、Y都是整数，所以有X=4，Y=3
当然X=8，Y=6之类也可以满足以上方程，不过考虑到这是郊游，不是赛跑，可以舍弃。
因此有
A/2+B/2=7
2A+2B=28公里

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