唯一可能论 - 我思我在 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


	古漢魂

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#31

发表于 2006-12-23 08:12 资料短消息只看该作者

QUOTE:

在数学上,等式:0.99999999...=1,该命题对吗?

若1-0.99999999...为零，它们便是相等。

论证1-0.99999999...是无穷小。以后就是Archimedean Axiom的事了。

古某于中学习此论证，教时老师说别问她何解，她亦不明。古某的数学老师大学主修数学，毕业成绩名列前茅。大家不明时也别太伤心。

QUOTE:

hyperreals 包括了一个元素 H = 无穷大，和 d = 1/H = 无穷小。

古某来个一招三式圣诞小点。

谈Continuum hypothesis时谈到无穷大，那无穷小有级别吗？无穷大能算是"一个"元素吗？无穷小又能算是"一个"元素？

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	颖颖 (司徒家的颖颖)


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#32

发表于 2007-1-2 19:01 资料短消息只看该作者

*R 里的无穷大和集合理论中的无穷大不是一个概念吧？比如说对于复数的 stereographic projection 中，无穷大只是球体上的一个点。这里，无穷大只是 *R 里面的一个元素，它本身也服从者 *R 的代数和分析运算法则。

我的 set theory 其实不是很扎实，但有一个问题一直困惑着我。比如说，在一个 Banach space 上，如果要测量一个元素的大小，我们可以用一个 norm, ||.|| : B -> R 来衡量。Cardinal numbers 的存在主要是为了来衡量集合的大小。具体地说，我们可以写出 |A| = x，其中 x 是一个 cardinal number （不同级别的无穷大似乎也只是在 cardinal number 中出现而已）。但这个 map |.| 的严格意义是什么？一个 range = cardinal numbers, domain = set of all sets （所有集合的集合）的东西么？但 set of all sets 本身不是有着逻辑矛盾么？我相信这个问题应该被解决了吧，不过集合理论和基础数学我研究的并不是很多，一直没怎么读这方面的东西。

[ 本帖最后由颖颖于 2007-1-2 19:14 编辑 ]

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#33

发表于 2007-1-8 17:12 资料短消息只看该作者

若Hyperreal从Real引伸出来，这无穷大该与实数的无穷大同等级。

复数亦可从实数引伸出来，它的无穷大级别也该与实数同等级。

当然，这是直观而非严格证明。

若以reciprocal从无穷大定出无穷小，无穷小也该有等级。若实数无穷大比有理数无穷大更大，这是说实数无穷小比有理数无穷小更小。

但实数无穷小与有理数无穷小相等，皆为零。奇怪奇怪？

或许可考虑一下Smooth infinitesimal analysis，包括无穷小但不包括无穷大。学哲者若能看懂该看看，它拿走了"排中律"，真的大胆！

这也许是大餐而非小点了！

QUOTE:

在一个 Banach space 上，如果要测量一个元素的大小，我们可以用一个 norm, ||.|| : B -> R 来衡量。Cardinal numbers 的存在主要是为了来衡量集合的大小。具体地说，我们可以写出 |A| = x，其中 x 是一个 cardinal number （不同级别的无穷大似乎也只是在 cardinal number 中出现而已）。但这个 map |.| 的严格意义是什么？一个 range = cardinal numbers, domain = set of all sets （所有集合的集合）的东西么？但 set of all sets 本身不是有着逻辑矛盾么？我相信这个问题应该被解决了吧，

Cardinal number是点算用的，自然数亦为Cardinal number，严格来说它们叫Finite Cardinal number。Continuum Hypothesis提及的是点算无穷大用的Cardinal number。

Aleph-null是最小的无穷大、是自然数的大小，Aleph-one是实数的大小，其它的可参考

http://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number

及

http://en.wikipedia.org/wiki/Successor_cardinal

无穷集合的Cardinal number是以能否找到一一映射至另一已知Cardinal number的集合上，这是最常用，也可能是目前唯一点算无穷的方法。

传统的集合论中Set of all sets不能存在，这是Russell's paradox的直接结果。一般用的是Set of all needed sets作为Univeral Set避开问题。

是打算把东西放到Banach space来解决吗？想把所有的无限集合用来建立Banach space吗？

1. 先不说Set of all sets，"所有的无限集合"能满足Banach space的要求吗？这先要证明Completeness。

2. Norm为实数，Finite Cardinal number是自然数，属实数，但无限的Cardinal number不是实数，或许再把它们再映射至自然数，这要来点论证。又或许容许Norm是Cardinal number，这要修改／延伸Banach space。Cardinal number之间可以定义与自然数相似的"算术"，这或许可满足Norm或Metric的要求。参看

http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number

别叫Banach space了，一个特殊／延伸了的Banach space，叫颖颖空间吧！

最困难的或许是Completeness，但真能建立颖颖空间，结论除了"颖颖真聪明"外，还可得到什么结论？

注：

1. Set Theory不止一套，有别的Set Theory能容纳Universal Set。

2. Russell's paradox是
A={x: x is not a member of x}
A是否属于A？

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#34

发表于 2007-1-9 07:56 资料短消息只看该作者

这个．．．有一点必须要先澄清，无穷大和各个等级的无穷带，这个概念不是一个客观概念，而是看你讨论的命题在哪个集合上。据我所知，只有讨论命题在 Cardinal numbers 的这个集合上，才会有不同等级的无穷大出现。在实数和复数上都没有无穷大这个概念，但实数有一个 extended reals (tex 指令是 \bar{\R}) 这个概念。\bar{\R} = R u {+/- 无穷}. 但由于 \bar{\R} 本身不是一个场，所以大多数的时候我们还只是用 R. 复数的无穷大这个概念不太好办，因为在一个 Argand diagram 上，无穷大的几何形状是一个无比大的大框。那么这个时候，柯西(?)就做出了 stereographic projection, 把 Argand diagram map 到一个球体上。这样就好了，无穷大在球体上就是一个点，确切地说是北极点。\bar{\C} 和 \bar{\R} 都有同一个问题，就是它们不是域，所以我们能在 C 上解决的问题，一般不上 \bar{\C}。

至于 hyperreals *R，无穷大和无穷小本身就是它的两个元素，而且 *R 可以被当作一个域来考虑。*R 的两个最大的问题就是：
１．Archimedean axiom 被打破，从拓扑的角度上说，它不是一个 seperable space.
２．|*R| = 2^|R|. 它的 cardinality 比实数整整高了一个等级．

我之前提出 Banach space 只是在举例而已，因为 Banach space 上有一个测量大小的测度．关于集合我们也有一个测量大小的测度．只不过这个测度在 Banach space 上的 domain 很容易理解．但在后者，它的 domain 的逻辑定义就比较模糊了．Set of all needed sets... 这里面 needed 怎么解释？哎，没办法，我基础数学的确没多少，功底不是很扎实．

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	古漢魂

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#35

发表于 2007-2-5 06:24 资料短消息只看该作者

QUOTE:

无穷大和各个等级的无穷带，这个概念不是一个客观概念

为何有此说法？数学仅一观，古某从未听过数学上的客观概念，一般谈的是Well defined or not，是否另有所指？还是谈主观客观谈得太高兴？

QUOTE:

据我所知，只有讨论命题在 Cardinal numbers 的这个集合上，才会有不同等级的无穷大出现

Infinite Cardinal numbers非实数，亦非复数，并无其它已知的数字集合涵盖它，亦与其它数合不来，仅在Cantor的无穷大分析中出现。但Infinite Cardinal numbers可能是目前最具体谈无穷大的研究，能把无穷分门别类。我们对无穷所知不多，谈不多很正常。

仅出现于某课题无所谓，重要的是它们是否有矛盾。

来个小点：这些Infinite Cardinal numbers若组成集合，它的Cardinality是什么？

QUOTE:

在实数和复数上都没有无穷大这个概念

实／复数当然有无穷大这个概念，但无穷大仅为概念而非数字。或者说"无穷大"是概念，非元素，它们是开集，开在无穷处。

无无穷大概念又如向能映射至极上？又如何进行极限？

复数无穷大有问题？实数无穷大不一样吗？别忘了另一端的负无穷大，正负无穷大均为无穷大。

QUOTE:

２．|*R| = 2^|R|. 它的 cardinality 比实数整整高了一个等级．

实数与Hyperreal的cardinality是同级的。建立Hyperreal可用power set，但非全都要。

QUOTE:

这里面 needed 怎么解释？哎，没办法，我基础数学的确没多少，功底不是很扎实．

"needed"是古某说法，一般说Universal Set in context，意思一样，即足够大的集合，文字上是"题目中的Universal Set"。这并不是很严格的数学概念。

功底是假的，兴趣才是真的。别担心功底。

奇怪！古某提及Smooth infinitesimal analysis拿走了"排中律"，这是逻辑推理中的一件大事情，哲学论坛中为何竟无回响？

古某曾在别处看过拿走"同一律"的讨论，哲学高手们努力保卫"同一律"，为无人保卫"排中律"？

还有别文想回，奈何太忙，要暂别大家些日子了。

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	mom4xwj

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#36

发表于 2007-2-5 13:25 资料短消息只看该作者

"唯一可能"的另一面并非无限可能,恰恰相反的,是没有可能
也就是,唯一可能是说的有可能,这个可能是唯一的,但是仅仅只是一种可能性,并不能代表结论.
所以当事实成立的时候,选用排除法就可以从无限种可能中逐一递减,得到“唯一可能”.最后由事实本身来确认其结果的地位.如果没有事实,可能性依然存在,但是就没有“唯一可能”这个说法了……

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	jassion2008

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#37

发表于 2007-2-7 10:24 资料短消息只看该作者

回复 #30 颖颖的帖子

这本身就是矛盾的说法吗！

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	卜卜月

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#38

发表于 2007-4-11 13:05 资料短消息只看该作者

这里的唯一可能是说唯一的可能性

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	天宫公主 (司徒家的颖颖)


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#39

发表于 2007-4-12 13:07 资料主页短消息只看该作者

古汉魂：忘了怎么扯到无穷大上了，不过有几点我想澄清一下。

１。实数的严格定义是唯一可排序的完整域（unique complete ordered field, up to isomorphism - both in the algebraic and topological sense）。因为域的关系，这个集合里的每一个元素，都必须可以做加减乘除运算（并且符合域公理）。无穷大显然不能达到这个要求，因此实数里没有无穷大。

２。复数的严格定义如下：令 R[x] 为实系数多项式集，复数是 R[x]/<1+x^2>，也就是 R[x] 除以 1+x^2 的余数 (up to field isomorphism. Exercise: 证明 R[x]/<1+x^2> 的确是一个域)。这个集合里也不可能有无穷大的出现。
注意：国内中学课本上对复数的定义是错误的，课本上说 C = {a + ib | a, b in R, i = sqrt(-1)}. 但事实上存在着一个 field automorphism
i : x+iy -> x- iy，使得 sqrt(-1) = i or -i 都可以，并且我们根本无法区分 i 和 -i 的差别。因此，以上定义在逻辑上是不严格的。

３。那么无穷大是怎么来的呢？我们对复平面做一个 stereographic projection，那么它就可以被映射到一个球体上，但这个球体的“北极点”是空的。我们这时候对此物做一个 topological compactification，直观的理解为把北极点填上。填上的这个点就是无穷大。但这个无穷大和集合理论中，cardinal numbers 里用到的无穷大是不一样的。

４。你提到了“这些Infinite Cardinal numbers若组成集合，它的Cardinality是什么？”　这个其实不就是 continuum hypothesis 么？这个命题在数学界属于非真非假，倒可以用作反对唯一可能论的例题。

最后承认一下错误，看来确实 |*R|=|R|。估计是当初看到 *R 需要 2^R 来构造，没思考就肯定了 |*R| > |R|　了。

[ 本帖最后由天宫公主于 2007-4-12 13:15 编辑 ]

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#40

发表于 2007-6-9 19:07 资料短消息只看该作者

QUOTE:

忘了怎么扯到无穷大上了

答案是"胡扯"，也许是"古扯"！？

QUOTE:

1. ...
2. ...

无穷大不是数，当然不是实数，也不是复数。这是从不严格的定义出来的。

稍为严格的说法是无穷大与实数、复数都合不来，也就无法放进集来。

再严格点是实数及复数的norm无least upper bound。

稍再严格点...

数学有很多层面看事情，也有很多不同的方法进行论证。

数学家最高兴的事也许是获奖，但两门不同出发点的数学分支能合在一起也许是次高兴的事。起点不同，但都在谈无穷，它们在哪相交目前仍不知。但除非能找出各自的"无穷"慨念有根本分别，否则它们便该于某天某处碰面。到时有人获奖最高兴，其它数学家们次高兴，古某站在一旁次次高兴。

QUOTE:

注意：国内中学课本上对复数的定义是错误的，课本上说 C = {a + ib | a, b in R, i = sqrt(-1)}. 但事实上存在着一个 field automorphism i : x+iy -> x- iy，使得 sqrt(-1) = i or -i 都可以，并且我们根本无法区分 i 和 -i 的差别。因此，以上定义在逻辑上是不严格的。

有点不对！我们当然能分辨ｉ及-ｉ，它们并不相等，但去选谁是＋ｉ、谁是–ｉ却有点麻烦，把–ｉ叫做＋ｉ当然可以，互换位置便成。

平方根并非严格的数学函数，它是１到２的映射，拿来作数学定义当然有问题。数学上严格的平方根定义是"正的平方根"。但什么叫正虚数？什么叫负虚数？如何定正负？正数大于零，但虚数又如何大于或少于零呢？

从自然数引出整数实数，自然数内无负数，正负从开始已经不对称，对称是人为后加的，故实数中并无正负对称问题。但虚数是另一个单位，乘上实数便是正负对称。这是对称问题，要么想法子打破对称！要么承认正负的选择是随意的！

没看过国内中学课本，但若如此定义，问题也仅是进行了一个随意选择而不自知。"中学课本"，别说编者水平未必能分辨定义上的差异，若真要进行严格定义，颖老师在中学时能否欣赏它的严格吗？

正如中学把原子说成是微小的太阳系，大学却说是电子云。难道要批评它错了吗？

QUOTE:

填上的这个点就是无穷大。但这个无穷大和集合理论中，cardinal numbers 里用到的无穷大是不一样的

Infinite Cardinal Numbers可看成Finite Cardinal Numbers的延伸，都是点算用的，Finite Cardinal Numbers就是自然数，Finite Cardinal Numbers能引出整数、有理数、实数及复数，那么Infinite Cardinal Numbers能否进行类似的引出？

Cardinal Numbers是点算用的，但实数不能进行点算，把Infinite Cardinal Numbers看成是实数的延伸当然不妥，实数延伸是Infinite Measuring Numbers。那么，喜欢追问的人很自然地会问：复数有类似的延伸吗？

QUOTE:

你提到了“这些Infinite Cardinal numbers若组成集合，它的Cardinality是什么？”　这个其实不就是 continuum hypothesis 么？

古某坏蛋！

Infinite Cardinal numbers不能组成集合，它是一个proper class！可参看Burali-Forti paradox。

倒看不出与Continuum Hypothesis有直接关系。如何看出来？

常闻Universal Set非集合，那好像太遥远了。这里是一个成不了集合的例子。

问题再问：它到底有多大？

QUOTE:

这个命题在数学界属于非真非假，倒可以用作反对唯一可能论的例题。

按此说法，所有公理皆属于非真非假。

Continuum Hypothesis是说明缺了一个公理！是前题不足。Incompleteness theorem却说我们永远都会缺少公理。也好！数学家永远有活干。

QUOTE:

最后承认一下错误，...

明白，HyperInteger与Real一样大，很自然以为HyperReal与Real的power set一样大。

是不小心！但小心坏蛋。特别是某坏蛋！

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#41

发表于 2007-6-9 19:25 资料短消息只看该作者

的确有唯一可能存在！
如：任何数乘以0，唯一的可能就是变成0。

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#42

发表于 2007-6-9 21:49 资料主页短消息只看该作者

古汉魂: 我从第一楼又看了一遍，不知道什么时候“唯一可能论”就转换成了极限上的唯一可能论。诚然，这个转换并不是空穴来风，因为极限上是往往最容易出现问题的地方。但就此问题，其实有一个很简单的答案，如果 X (underlying space) 是 Hausdorff, 那么极限就是唯一的；如果不是 Hausdorff，那么极限就不是唯一的。这也就间接地阐明了 0.99999... = 1 的必要＋充分条件了，想不让这两个相等，把他们 embed 到一个 non-Hausdorff 空间去就可以了（例如，*R）。而从这个例子，我们可以看出主题问道的“唯一可能性”，(一般的情况下)是需要更多附加条件的。

至于复数的定义，我只是说中学课本的定义是错误的，并没有说教育方法应该变啊。事实上，几乎中学学到所有的知识，都不是完全正确的，上了大学之后有一种修改的意识就可以了。

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#43

发表于 2007-6-9 22:30 资料短消息只看该作者

从文法的方面来看.唯一可能的"唯一"是个形容词,用来修饰"可能的"这个名词.
"唯一可能的"就是唯一的"可能的".

好象没什么错误啊.

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#44

发表于 2007-6-10 01:17 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 mom4xwj 于 2007-2-5 13:25 发表
"唯一可能"的另一面并非无限可能,恰恰相反的,是没有可能
也就是,唯一可能是说的有可能,这个可能是唯一的,但是仅仅只是一种可能性,并不能代表结论.
所以当事实成立的时候,选用排除法就可以从无限种可 ...

楼主质疑的是“唯一”，不是可能。

“可能”只是人提出来的，人要是提不出第二种，又恰好符合事实，“唯一”又何妨？
对于概率的问题，我不甚解，但语法上不存在问题，夸张也是一种修辞手法，并且这已经成为了习惯用法，表示这一种可能性达到可以忽略其他微乎其微的可能性。

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发表于 2007-6-24 19:43 资料短消息只看该作者

QUOTE:

古汉魂: 我从第一楼又看了一遍，不知道什么时候“唯一可能论”就转换成了极限上的唯一可能论。

古某已说过是"古扯"。原因不必深究。

QUOTE:

至于复数的定义，我只是说中学课本的定义是错误的，并没有说教育方法应该变啊。事实上，几乎中学学到所有的知识，都不是完全正确的，上了大学之后有一种修改的意识就可以了。

古某仅分析定义问题在哪，属不严谨。但以中学水平来说，古某完全可接受。

有点火药味，不谈数学了。

QUOTE:

从文法的方面来看.唯一可能的"唯一"是个形容词,用来修饰"可能的"这个名词.

原文指"唯一"是肯定的形容词，但"可能性"却带有不确定性。故认为有问题。

古某来点篇幅：

推理有两大分类：确定性的推论与可能性的推论。

哲学以及主体数学属确定性推论。我们常以"算"来说"确定性推论"。每步的下一步皆肯定。故不会用上"可能性"这词。

"算"是非常严谨的推论，它包括计算以及所有哲学数学的论证。

以往朋友们提出"唯一可能性"的例子都在"算"内，"唯一"是没错，但却不能归入"可能性"内，因它们从未不确定。

西方数学与哲学皆源于古希腊，严格来说哲学源于数学，毕达哥拉斯是第一个自称哲学家的人，他认为"万物皆数"，柏拉图亦有此信念，故习哲者必须习数，因他们认为通过学习数学才能认识真理。及后数学集中在数字运算处理，哲学却可谈更多题目，故哲学发展比数学来得更快更佳。近年数学摆脱了数字之困，能谈更多题目，再看发展如何。

常看到古某说古希腊如何神奇，古希腊亦有弱项，他们喜欢确定的东西，却不研究不完全确定的事物，今天的哲学以及主体数学皆如此。概率是很晚才发展出来的，而量子力学的不确定性更产生不少误解。

"算"在formal logic中发展得很好，但它的问题是在现实中用处有限！

"算"以前题通过步骤而得到结果，但小心的看，结果其实早已在前题中，演算步骤作用是把结果在前题内显示出来，并无半点新东西可演算出来。前题完全包含结论，但现实中我们在哪可找个可确定的前题？

科学及现实生活中用的推论属可能性推论，并不完全肯定，故会用"可能性"及"信不信"来谈。明天地球太阳还在不在？谁晓得？但谁会推论明天它们会不在，这可能性极低，杞人忧天！但以确定性推论，我们的确该忧。无人能证明"科学定律"明天仍是一样，明天引力还在吗？

可能性推论并不像确定性推论那么可靠，但结论却并不完全包含在前题内，换句话说，推论中能产生未知的新东西。

推理小说中经过一大串推理后，唯一的可能凶手是．．．

但真的是唯一的吗？若作者突然说是一个从未在书中提及的人才是凶手，他绝对能自圆其说，但大家肯定会问句作者娘亲。"唯一"是"唯一剩下"的，而非在确定性推论中严格的"唯一"。

"唯一可能性"在确定性推论中有语病，但在可能性推论中却无问题。

这属informal logic。不能拿哲学数学的例子来，哲学数学用的是formal logic，是确定的。

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#46

发表于 2007-6-25 05:15 资料主页短消息只看该作者

唉，我思区现在 informal logic 的话题越来越多了。

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#47

发表于 2007-7-5 20:30 资料个人空间短消息只看该作者

逻辑上的话语只能有其存在的有限的区域。
而日常用语又有其存在的区域。
每一种理论都有适用的范围，真理无限制扩大，势必成为谬误。

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