塌先生益智擂台赛034 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


	塌鼻子先生

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#1

发表于 2005-8-28 13:38 资料文集短消息只看该作者

将N个非0的数写成一行，将它们相邻两数的乘积写成第二行，如此下去，得到一个数字三角形。

例如当N=7时，有这样一个数字三角形，我们只写出这些数的符号：

＋＋－＋－＋＋
＋－－－－＋
  －＋＋＋－
－＋＋－
－＋－
   －－
   ＋

上面28个数中，正数和负数各占一半。

显然只有当N=4K-1或4K时才可能出现这种正负各占一半的情况。

请算出，N=3，4，7，8，11，12时，这样的数字三角形中正负各占一半的情况，分别会出现多少次。

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#2

发表于 2005-8-28 14:13 资料文集短消息只看该作者

塌鼻子先生莫非是让我们一个去试
还是从理论上来解答这个问题？

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#3

发表于 2005-8-28 14:19 资料文集短消息只看该作者

顺便再问个问题
先生的这些题目是从题库里选出来的呢
还是自己想出来的

感觉好难啊！

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	塌鼻子先生

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#4

发表于 2005-8-28 15:22 资料文集短消息只看该作者

1. 为了从理论上解决问题，当然首先要从简单情况一一试起。

2. 塌先生不转帖的，所有题目都是新出的。

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#5

发表于 2005-8-28 20:38 资料文集短消息只看该作者

N=3
+-+
--
+
正数和负数各占一半，成立

N=4
+-+-
---
++
+
正数和负数各占一半，成立

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#6

发表于 2005-8-29 02:09 资料主页短消息只看该作者

对任意N都可以求解: 显然第一排会影响到整个三角形的正负排列... 第一排对后面具体的影响是按Pascal三角形的模式排列的.

例如: 已知第一排为: A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7

欲算第四排的第一个数, (注意, 它是被A1, A2, A3, A4所覆盖的) D1 = (-1)^{A1 + 3*A2 + 3*A3 + A4}, 1331 = Pascal triangle 的第三行.

广义的讲, 已知第一排为: A11, A12, ... , A1N, 则第P排第Q个数则是
APQ = (-1)^{AQ + C^{P-1}_1 A(Q+1_ + ... + C^{P-1}_{P-1} A(Q+P)}

由此, 可列出N(N-1)/2乘N的方程组... 求其所有Z_2域解即可.

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