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塌鼻子先生 组别 校尉 级别 奋威校尉 功绩 31 帖子 120 编号 41049 注册 2005-6-15

#1 发表于 2005-7-10 13:33 资料 文集 短消息 只看该作者 找出满足以下条件的20位数： 1。具有ABCD EFGH IJKL EFGH ABCD的形式； 2。ABCD:EFGH:IJKL=1:2:3； 3。它是一个平方数； 4。它可以用1700种方法，表示为若干个连续自然数之和。 ——塌鼻子2005年IMO预选赛小学五年级（10-11岁年龄组）初试题 [广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布

英布之勇 组别 士兵 级别 讨逆将军 功绩 6 帖子 630 编号 6578 注册 2004-4-7

#2 发表于 2005-7-11 10:04 资料 短消息 只看该作者 ……问一下，0到底算不算自然数？ [广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌

塌鼻子先生 组别 校尉 级别 奋威校尉 功绩 31 帖子 120 编号 41049 注册 2005-6-15

#3 发表于 2005-7-11 10:07 资料 文集 短消息 只看该作者 在本题中（也包括塌鼻子IMO的所有题中），0不算自然数。 [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

英布之勇 组别 士兵 级别 讨逆将军 功绩 6 帖子 630 编号 6578 注册 2004-4-7

#4 发表于 2005-7-11 10:36 资料 短消息 只看该作者 算得头晕……只好先提供不完整的思路，看哪位达人能解除偶的疑惑 1、 由条件1、2得： N（20位数）=ABCD·10002000300020001=ABCD·100010001^2 且999<ABCD<9999/3=3333 2 由条件3和上面等式可知，ABCD是完全平方数，进一步缩小了ABCD的范围 3、 1700种方法，表示为若干个连续自然数之和。……这个实在有点想不出 表示为连续自然数之和，两种可能： 自然数个数为奇数，当求符合条件的N的奇约数个数[条件：奇约数=M时，要求N/M>=(M+1)/2] 自然数个数为偶数，好象更麻烦。 若N/2^a是得到一奇数，则求符合条件的2^(a+1)·M个数{条件：要求N/[2^(a+1)·M]>＝M·2^a} 以上两个条件，如何求解，望告之…… [广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌

重阳 高阳侯光禄大夫 组别 翰林学士 级别 前将军 好贴 2 功绩 585 帖子 1775 编号 50 注册 2003-8-21

#5 发表于 2005-7-11 11:17 资料 主页 文集 短消息 只看该作者 粗略算了一下，多半是20254050607540502025。 前面三个条件没问题，就是最后一个，没仔细验证，误差不过超过一两种。 塌鼻子先生看看答案对不对，对的话我把有关的推理过程写出来。 [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

塌鼻子先生 组别 校尉 级别 奋威校尉 功绩 31 帖子 120 编号 41049 注册 2005-6-15

#6 发表于 2005-7-11 11:57 资料 文集 短消息 只看该作者 对 [广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布

金圭子 白衣伯爵中大夫 ★ 组别 白衣卿相 级别 征西将军 好贴 4 功绩 265 帖子 4926 编号 27961 注册 2004-12-16

#7 发表于 2005-7-11 12:39 资料 文集 短消息 只看该作者 2 用户： 金圭子, 重阳 重阳劳驾写推理吧，哇哈哈哈。 [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

重阳 高阳侯光禄大夫 组别 翰林学士 级别 前将军 好贴 2 功绩 585 帖子 1775 编号 50 注册 2003-8-21

#8 发表于 2005-7-12 00:18 资料 主页 文集 短消息 只看该作者 前面三个条件，英布之勇已经分析得差不多了，差不多都是些常识性的东西。关键在第四个，我承认，我也没做完。 我是在分析过程中假设这个数字是奇数的，因为得出了一个答案，就没再对偶数的情况做进一步的分析。 虽说我也自诩是一个数学爱好者，但还从来没看到过，也没琢磨过把一个数变成若干连续自然数之和的问题，临机思考，也不知对错。 一、首先容易想到的是，对自然数N，若有奇数（n)个连续整数之和等于N，则有：N=nm 其中m为这n个连续整数中间的一个。 反过来说，若N有奇因数n，则必可表示为以N/n为中心的n个连续整数之和。 要保证这n个整数都是自然数，需其最小的一项大于0。 最小项=中项-（n-1）/2=N/n-（n-1）/2>0 N>n（n-1）/2 二、再考虑若有偶数（2n)个连续整数之和等于N的情况。 令这2n个连续整数中间偏小的那个数为m，则这2n项之和为 （m+1/2）*2n，=（2m+1）*n 在假定N是奇数的前提下，可以知道n只能是奇数，否则上式的结果必为偶数。 反过来说，若N有奇因数n，则必可表示为以N/2n为中心（此数为整数+1/2）的2n个连续整数之和。 要保证这2n个整数都是自然数，需其最小的一项大于0。 最小项=N/2n-n-1/2>0 N>n（2n+1） 综合以上两条，对奇数N的任一因子n（自然也是奇数了），若n（n-1）/2<N，则可按构造出n个和2n个连续自然数和为N；若n（2n+1）<N，则可构造出2n个连续自然数和为N。 这两个分界点把N的奇因子分为三组，最小的一组每个因子可以提供两组数列，中间一组的可以提供一组数列，最大的一组提供不了数列。 由于这两个分界点的积（可以解方程算一下）约为N，这样小于第一个分界点的因子个数和大于第二个分界点的因子个数是相等的（似乎有可能差一个），这样N的因子的个数-1就等于条件4中的数列种类了，这个-1是去掉因子1。 要知道N的因子个数可先把N分解质因数N=P1^m1*P2^m2*......P(n)^m(n) 因子个数为（m1+1）（m2+1）……（m(n)+1） 把100010001分解质因数，得3X7X13X37X9901 由1000<ABCD<3333且ABCD是平方数，知其开方后大于32小于58 对这中间的奇数逐一分解质因数进行计算，只有45合适 （45*100010001）^2=3^6*5^2*7^2*13^2*37^2*9901^2 因子个数为7*3*3*3*3*3=1701 至于N为偶数的情况，没细想，似乎比奇数时麻烦一点。 [广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布

塌鼻子先生 组别 校尉 级别 奋威校尉 功绩 31 帖子 120 编号 41049 注册 2005-6-15

#9 发表于 2005-7-12 12:51 资料 文集 短消息 只看该作者 对。一个自然数拆分成若干个连续自然数之和的方法数，等于这个自然数除1以外奇约数的个数。 追加一问：求这个数的1701个约数之和。允许使用简易计算器，但不许编程。 [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

塌鼻子先生 组别 校尉 级别 奋威校尉 功绩 31 帖子 120 编号 41049 注册 2005-6-15

#10 发表于 2005-7-12 12:56 资料 文集 短消息 只看该作者 QUOTE: 原帖由重阳于2005-07-12, 0:18:23发表 虽说我也自诩是一个数学爱好者 塌先生也自诩是一个数学爱好者。 [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

重阳 高阳侯光禄大夫 组别 翰林学士 级别 前将军 好贴 2 功绩 585 帖子 1775 编号 50 注册 2003-8-21

#11 发表于 2005-7-13 12:54 资料 主页 文集 短消息 只看该作者 塌先生还真能考较人。 这个求全部约数的和也有公式，巧了还真是小学时推出来的，现在公式是记不住了，方法还记得 先分解质因数P1^m1*P2^m2*......P(n)^m(n) 然后分别对每种质因数求1+Pi+Pi^2+Pi^3+……+Pi^mi（等比数列之和） 最后把n个和数乘起来就行啦 关于： 对。一个自然数拆分成若干个连续自然数之和的方法数，等于这个自然数除1以外奇约数的个数。 这个真还不知道，塌先生能不能把证明贴出来观赏观赏？ [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

loranrowe 组别 士兵 级别 奋威校尉 好贴 1 功绩 6 帖子 143 编号 17767 注册 2004-9-16

#12 发表于 2005-7-13 19:41 资料 短消息 只看该作者 既然塌先生没响应，我就越俎代庖简单写一下证明过程吧： 设一个不等于1的自然数x可以被写成连续自然数之和的形式，则令 x=a+(a+1)+(a+2)+...+(a+k)=(k+1)(2a+k)/2 k+1与2a+k奇偶性不同，且均大于1 则x可以写作mn/2的形式，其中，m为奇数，n为偶数 所以，对于任意的使x=mn/2成立的m和n的取值 a和k可以唯一被确定(二元一次方程组有唯一解，且a,k必为自然数) 又，易知x的奇约数个数=m的不同取值的个数 证毕 PS: 证明不是很严谨，不过可以说明问题了 [广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布

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