一个高中数学题有一定难度哦 - 辕门射虎


	luoqiutang

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#1

发表于 2006-11-27 23:51 资料短消息只看该作者

一个高中数学题有一定难度哦

已知 AN=3^N/(3^N-1)
求证： A1A2……An-1An<2 是积，不是和，开始错了，不好意思

我们老师也没做出来，请教各位有没有好的方法，是高中内容哦。

[ 本帖最后由 luoqiutang 于 2006-11-28 00:38 编辑 ]

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	youxiaihaozhe

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#2

发表于 2006-11-28 00:46 资料短消息只看该作者

3和n之间是什么符号呢?

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#3

发表于 2006-11-28 03:21 资料短消息只看该作者

回复 #2 youxiaihaozhe 的帖子

^是乘方

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	phoenixdaizy


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#4

发表于 2006-11-28 07:30 资料文集短消息只看该作者

有点问题,N是正整数吧.-1是在乘方数外吧.感觉是个大学题,错出在高中卷子上。

大学的话明显是一个求极限的题型.

中学用笨办法,分母拆分多项式.是个标准(KN-1)多项式有通则的。把分子分母倒过来.求
求其倒数大于1/2,解答就出来了。~
有点笨,但是能做出来.

[ 本帖最后由 phoenixdaizy 于 2006-11-29 13:21 编辑 ]

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	luoqiutang

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#5

发表于 2006-11-28 07:39 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 phoenixdaizy 于 2006-11-28 07:30 发表
有点问题,N是正整数吧.-1是在乘方数外吧.感觉是个大学题,错出在高中卷子上。

大学的话明显是一个求极限的题型.

中学用笨办法,分母拆分多项式.是个标准(KN-1)多项式有通则的。把分子分母倒过来.求
求其倒 ...

没错N是正整数.-1是在乘方数外，据说是今年的高考题的最后一问。

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#6

发表于 2006-11-28 08:47 资料主页文集短消息只看该作者

题目不太清楚，不知道3^N/(3^N-1)指的是3^[N/(3^N-1)]还是（3^N）/(3^N-1)。

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#7

发表于 2006-11-28 13:08 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由瓦灰于 2006-11-28 08:47 发表
题目不太清楚，不知道3^N/(3^N-1)指的是3^还是（3^N）/(3^N-1)。

明显后者

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#8

发表于 2006-11-28 17:48 资料主页个人空间短消息只看该作者

phoenixdaizy的方法是正解
不过应该是证明倒数大于1/2

可能有更巧妙的方法

这种题楼主的老师做不出来？
如果是真的，这个老师比较菜

[ 本帖最后由青石于 2006-11-28 17:50 编辑 ]

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#9

发表于 2006-11-28 21:50 资料短消息只看该作者

那老师据说是北师大毕业的高才生……
他说要自己做只能用大学方法
想不到中学能接受的简单的
具体怎么分解呢？是(k^n-1)=(k-1)(k^(n-1)+k^(n-2)……+1)吗？

或者还有哪位有比较简单的么

麻烦了，谢谢。

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#10

发表于 2006-11-29 11:09 资料主页个人空间短消息只看该作者

是北师大那一届的？

将式子取倒数，变形为下式:
(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)……(1-1/3^(n-1))(1-1/3^n)
=1-(1/3+1/3^2+1/3^3……+1/3^n)+(1/3^3+1/3^4……)+……

就是这样
剩下的只是计算而已
上面的这个式子的值大于1/2

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#11

发表于 2006-11-29 13:25 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由青石于 2006-11-29 11:09 发表
是北师大那一届的？

将式子取倒数，变形为下式:
(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)……(1-1/3^(n-1))(1-1/3^n)
=1-(1/3+1/3^2+1/3^3……+1/3^n)+(1/3^3+1/3^4……)+……

就是这样
剩下的只是计算而已
上面的 ...

咱该改行做中学老师的，10多年没碰数学题了。哈哈。
注意的问题就是分解出来的式子要认识其规律.

[ 本帖最后由 phoenixdaizy 于 2006-11-29 13:28 编辑 ]

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#12

发表于 2006-11-29 23:22 资料主页个人空间短消息只看该作者

恩楼上的方法最好

估计没有更简单的

没有认真考虑过
没有看出这个方法

Π(1-k^(-i)) 估计没什么直接结果吧
对于k>1，用你说的方法可以得到这个式子的值大于(k-2)/(k-1)

[ 本帖最后由青石于 2006-11-29 23:44 编辑 ]

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	luoqiutang

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#13

发表于 2006-11-30 19:33 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由青石于 2006-11-29 11:09 发表
是北师大那一届的？

将式子取倒数，变形为下式:
(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)……(1-1/3^(n-1))(1-1/3^n)
=1-(1/3+1/3^2+1/3^3……+1/3^n)+(1/3^3+1/3^4……)+……

就是这样
剩下的只是计算而已
上面的 ...

我们那老师应该是85年左右进的北师大吧，叫周新民，跟青石（老师？）不是一个年代的吧。

谢谢各位的帮助。

[ 本帖最后由 luoqiutang 于 2006-12-1 10:07 编辑 ]

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#14

发表于 2006-12-1 03:22 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由青石于 2006-11-29 11:09 发表
是北师大那一届的？

将式子取倒数，变形为下式:
(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)……(1-1/3^(n-1))(1-1/3^n)
=1-(1/3+1/3^2+1/3^3……+1/3^n)+(1/3^3+1/3^4……)+……

就是这样
剩下的只是计算而已
上面的 ...

撞上了个真北师大的。

青石的表示论研究的怎么样了？

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#15

发表于 2006-12-2 18:38 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由青石于 2006-11-29 11:09 发表
是北师大那一届的？

将式子取倒数，变形为下式:
(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)……(1-1/3^(n-1))(1-1/3^n)
=1-(1/3+1/3^2+1/3^3……+1/3^n)+(1/3^3+1/3^4……)+……

就是这样
剩下的只是计算而已
上面的 ...

应该有2^(n-1)个负项啊，可青石的只有N个，其他项呢？

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#16

发表于 2006-12-2 23:19 资料主页文集短消息只看该作者

师大校友报道。

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#17

发表于 2006-12-3 17:16 资料个人空间短消息只看该作者

是否可以利用ln（1+x）<x来证明？？当x接近0时

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#18

发表于 2006-12-5 23:43 资料主页个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 luoqiutang 于 2006-11-30 19:33 发表

我们那老师应该是85年左右进的北师大吧，叫周新民，跟青石（老师？）不是一个年代的吧。

谢谢各位的帮助。

哦原来是老前辈啦

有些题做不出是很正常的

不过毕业了十几年还能用大学学过的知识处理问题
令人佩服

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#19

发表于 2006-12-5 23:50 资料主页个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 luoqiutang 于 2006-12-2 18:38 发表

应该有2^(n-1)个负项啊，可青石的只有N个，其他项呢？

其他的在省略号里面

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#20

发表于 2006-12-5 23:56 资料主页个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由颖颖于 2006-12-1 03:22 发表

撞上了个真北师大的。

青石的表示论研究的怎么样了？

呵呵正在刻苦攻读本门入门经典
希望来年能够领悟一些东东

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#21

发表于 2006-12-9 16:12 资料短消息只看该作者

数学归纳法应该可以证明吧，没仔细想，感觉应该可以。
求极限的题高中也可以做吧，感觉需要用到自然对数e的极限

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#22

发表于 2006-12-10 16:22 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 蕭異嵐 于 2006-11-29 21:37 发表
青石啊,变形到了Π(1-3^(-i))这一步,下面应该放缩吧:
Π(1-3^(-i)) > 1-Σ3^(-i) = 1-1/2 = 1/2
放缩根据

1-a)(1-b)>1-a-b的推广模式,a,b小于1正数
这样放缩后还恰好与1/2接上了(本来该不等式显然可以 ...

这道题我们月考才考了来的... 到了Π(1-3^(-i))这一步我就是用的放缩法...
其实这道题真的比较简单,在我们老师眼里这属于中低档题

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#23

发表于 2006-12-12 22:53 资料短消息只看该作者

楼上的老师要照顾大部分学生的要不自学了一点点高数的都可以直接求极限………… 又何必放缩呢？

更何况这里可以直接做数学归纳法，连放缩都不要做了。

所以要找个通俗易懂的方法

顺便发现楼上的跟我一个姓

[ 本帖最后由 luoqiutang 于 2006-12-12 23:03 编辑 ]

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#24

发表于 2006-12-16 23:03 资料个人空间短消息只看该作者

姓什么??
你可要知道,数学归纳法只有理科生才学了的.
文科生可没学. 照顾大多数学生,那么就更不应用归纳法了.放缩法就通俗易懂

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#25

发表于 2006-12-17 18:29 资料短消息只看该作者

可是…………我们是理科班啊，全部都会数学归纳法的，而放缩N多人看不出

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	shareblue

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#26

发表于 2006-12-20 05:32 资料短消息只看该作者

是不是我想的太简单了? 大家帮看看对不对!!

3^n 在(1,+&)上递增
n=1时, 3^n - 1 >1
所以3^n - 1衡大于1
所以1/(3^n - 1)衡小于1
所以1/(3^n - 1) + 1 衡小于2
通分!得 3^n / (3^n - 1) 小于2

如果对的话,这应该就是高中做法.....

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#27

发表于 2006-12-20 08:12 资料短消息只看该作者

回复 #27 shareblue 的帖子

那乘起来你打算怎么办？
前面用(1-a_1)(1-a_2)...(1-a_n)>=1-a_1-a_2-...-a_n已经很清楚了

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	shareblue

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#28

发表于 2006-12-20 21:52 资料短消息只看该作者

回复 #28 reynolds_wwy 的帖子

恩.....再看看

[ 本帖最后由 shareblue 于 2006-12-20 22:32 编辑 ]

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#29

发表于 2006-12-21 01:30 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 reynolds_wwy 于 2006-12-20 08:12 发表
那乘起来你打算怎么办？
前面用(1-a_1)(1-a_2)...(1-a_n)>=1-a_1-a_2-...-a_n已经很清楚了

这个不等式应该推导一下的，如果直接用了肯定是要扣分的。可以肯定的说90%的学生是想不出来这个不等式的。说实在的这题直接求极限也不是那么好求的，数学题其实就是一层窗户纸，一捅就破。但是在没有捅破之前却什么也看不出来

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