塌先生2006系列问题01 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


	塌鼻子先生

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#1

发表于 2005-11-1 00:51 资料文集短消息只看该作者

以2006为分母的最简分数，化为循环小数后，循环节的长度是多少？

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#2

发表于 2005-11-1 13:13 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由塌鼻子先生于2005-11-01, 0:51:35发表
以2006为分母的最简分数，化为循环小数后，循环节的长度是多少？

首先声明偶不懂怎么解这个问题
但是偶想到的是，可否这么理解这个问题
1/n的循环位数是否可以这么求：
设n=p1^m1*p2^m2*………………pr^mr
为它的因子分解式，则：
设r个方程x*pi=10^k -1 的最小正整数解为（ki，xi)
则1/n的循环位数为ki*pi^(mi-1)
的最小公倍数，呵呵，不知道这样的想法对不对，亦不知道能不能解出来

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#3

发表于 2005-11-1 13:18 资料短消息只看该作者

对了，忘了说明，
pi中还应该踢掉２和５的，呵呵

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#4

发表于 2005-11-1 13:27 资料短消息只看该作者

而且，似乎对于大部分素数pi(pi不为２，５）
而言，上面那个ki=pi-1
（这个好象汲及到数论的问题，
似乎还得用到缩系啊,欧拉函数啊什么的我说不清楚，呵呵）
而2006=2*17*59那么，估计答案就得是29*16=464了，呵呵

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#5

发表于 2005-11-1 13:44 资料短消息只看该作者

把先前那个(ki,xi)的方程化成同余方程：
10^ki=1(modpi)似乎就容易理解多了，呵呵
那么对于pi，只需要对p-1的各个因子检验即可求出ki了
大部分情况下，似乎10的阶数确实就是p-1
我想更简单的，是不是可以通过计算(10/p)来说明

另外，对于mi>1的情形，有些头晕
这是数论没学好的体现，呵呵

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#6

发表于 2005-11-1 21:37 资料短消息只看该作者

塌先生怎么不说话呢？

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	凤凰涅槃

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#7

发表于 2005-11-1 23:39 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由俺是马甲于2005-11-01, 13:44:42发表
把先前那个(ki,xi)的方程化成同余方程：
10^ki=1(modpi)似乎就容易理解多了，呵呵
那么对于pi，只需要对p-1的各个因子检验即可求出ki了
大部分情况下，似乎10的阶数确实就是p-1
我想更简单的，是不是可以通过计算(10/p)来说明

另外，对于mi>1的情形，有些头晕
这是数论没学好的体现，呵呵

对于pi是质数，费马小定理；不是质数就难说了。

我没学过数论，要说学，也是初高中的时候的事了，要我做，只能求助于计算机。。。。。。

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#8

发表于 2005-11-2 10:29 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由凤凰涅槃于2005-11-01, 23:39:31发表

QUOTE:

原帖由俺是马甲于2005-11-01, 13:44:42发表
把先前那个(ki,xi)的方程化成同余方程：
10^ki=1(modpi)似乎就容易理解多了，呵呵
那么对于pi，只需要对p-1的各个因子检验即可求出ki了
大部分情况下，似乎10的阶数确实就是p-1
我想更简单的，是不是可以通过计算(10/p)来说明

另外，对于mi>1的情形，有些头晕
这是数论没学好的体现，呵呵

对于pi是质数，费马小定理；不是质数就难说了。

我没学过数论，要说学，也是初高中的时候的事了，要我做，只能求助于计算机。。。。。。

这个，不是用费马小定理就能解决的啦
因为要求的是使a^(k)=1(modp)
的最小整数，则它不一定是p-1，也可能是p-1的约数

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#9

发表于 2005-11-7 02:00 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由俺是马甲于2005-11-02, 10:29:13发表

QUOTE:

原帖由凤凰涅槃于2005-11-01, 23:39:31发表
[quote]原帖由俺是马甲于2005-11-01, 13:44:42发表
把先前那个(ki,xi)的方程化成同余方程：
10^ki=1(modpi)似乎就容易理解多了，呵呵
那么对于pi，只需要对p-1的各个因子检验即可求出ki了
大部分情况下，似乎10的阶数确实就是p-1
我想更简单的，是不是可以通过计算(10/p)来说明

另外，对于mi>1的情形，有些头晕
这是数论没学好的体现，呵呵

对于pi是质数，费马小定理；不是质数就难说了。

我没学过数论，要说学，也是初高中的时候的事了，要我做，只能求助于计算机。。。。。。

这个，不是用费马小定理就能解决的啦
因为要求的是使a^(k)=1(modp)
的最小整数，则它不一定是p-1，也可能是p-1的约数 [/quote]

看来只能用计算机了

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发表于 2005-11-7 12:43 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由凤凰涅槃于2005-11-07, 2:00:57发表

QUOTE:

原帖由俺是马甲于2005-11-02, 10:29:13发表
[quote]原帖由凤凰涅槃于2005-11-01, 23:39:31发表
[quote]原帖由俺是马甲于2005-11-01, 13:44:42发表
把先前那个(ki,xi)的方程化成同余方程：
10^ki=1(modpi)似乎就容易理解多了，呵呵
那么对于pi，只需要对p-1的各个因子检验即可求出ki了
大部分情况下，似乎10的阶数确实就是p-1
我想更简单的，是不是可以通过计算(10/p)来说明

另外，对于mi>1的情形，有些头晕
这是数论没学好的体现，呵呵

对于pi是质数，费马小定理；不是质数就难说了。

我没学过数论，要说学，也是初高中的时候的事了，要我做，只能求助于计算机。。。。。。

这个，不是用费马小定理就能解决的啦
因为要求的是使a^(k)=1(modp)
的最小整数，则它不一定是p-1，也可能是p-1的约数 [/quote]

看来只能用计算机了 [/quote]
也不是啦
对于不是特别难算的具体问题（比如楼主的）
是可以计算出a的阶数的
比如2006的这两个奇素因子17,59
可以验证10的模它们的阶数确就是16,58
算起来也不复杂

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#11

发表于 2005-11-9 18:01 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由俺是马甲于2005-11-01, 13:13:17发表
首先声明偶不懂怎么解这个问题
但是偶想到的是，可否这么理解这个问题
1/n的循环位数是否可以这么求：
设n=p1^m1*p2^m2*………………pr^mr
为它的因子分解式，则：
设r个方程x*pi=10^k -1 的最小正整数解为（ki，xi)
则1/n的循环位数为ki*pi^(mi-1)
的最小公倍数，呵呵，不知道这样的想法对不对，亦不知道能不能解出来

昨天仔细看了看，觉得这个猜想在mi=1时，应该没什么问题，也可以证明，实际上只要pi之间不可约即可；但是在mi<>1时，问题就复杂许多了。

59对10的模的阶数怕是不好确定吧，不过只要19的阶数是18就好说了。我认为你的答案应该是正确的。

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