都是对联来道数学题目 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2004-10-19 13:05 资料主页文集短消息只看该作者

在水区出了小题一道没想到这么快就被解了看来轩辕网友真是人才济济啊！
再来一道稍难一点的也是小弟高中做过的用的知识很浅显

现有凸n边形连接其所有对角线没有任意三条或三条以上交于一点请问这些对角线将多边形内部分成多少个区域？

exp:4边形 4个区域

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#2

发表于 2004-10-19 13:32 资料个人空间短消息只看该作者

这种理科题在这个文科园地估计有难度。

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	花影吹笙


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#3

发表于 2004-10-19 14:16 资料主页文集短消息只看该作者

没错，我初中平面几何差极了，直到高中学立体几何才好歹争回了些面子，可能是我的逻辑能力比较差，但幸好空间想象能力不错。有点遗传因素在里面吧，要不就是胎教，我妈生我那会儿还在画建筑图哪。

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#4

发表于 2004-10-19 14:48 资料短消息只看该作者

该死~~
问我这个数学曾经考了12分的人，你不如拿把柴刀把我幺了！

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	梓庭君


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#5

发表于 2004-10-19 14:52 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由花影吹笙于2004-10-19, 14:16:50发表
没错，我初中平面几何差极了，直到高中学立体几何才好歹争回了些面子，可能是我的逻辑能力比较差，但幸好空间想象能力不错。有点遗传因素在里面吧，要不就是胎教，我妈生我那会儿还在画建筑图哪。

有同感，握手ing。
原来令堂是我等前辈啊，失敬。

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	花影吹笙


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#6

发表于 2004-10-19 14:55 资料主页文集短消息只看该作者

不敢~~
咳~~我爸妈是我校友，他俩是同学。

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#7

发表于 2004-10-19 15:06 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由花影吹笙于2004-10-19, 14:55:52发表
不敢~~
咳~~我爸妈是我校友，他俩是同学。

哇塞，更是“将门虎女”“家学渊源”啊！
佩服！

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	kesin


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#8

发表于 2004-10-19 16:14 资料文集短消息只看该作者

假设k边形分成的区域为f(k)，再增加一个顶点，A(k+1)，考虑对角线A(k+1)Ai，一侧有A1，…，A(i-1)共i-1个顶点，另一侧有A(i+1)，…，Ak共k-i个顶点，两侧之间的点连线，可得A(i+1)Ai与前k边形A1A2…Ak的边及对角线共有(i-1)(k-i)个交点（任三点不共线），这些交点把对角线A(k+1)Ai分成(i-1)(k-i)+1条互不重叠的小线段，每条小线段都把所在的区域一分为二，区域增加了(i-1)(k-i)+1块，取i=1，2，…，k求和，得增加的区域一共为：
f(k-1)-f(k)=(k^3-3k^2-8k)/6。
又由f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+...[f(5)-f(4)]+f(4)及f(4)=4得：
f(n)=(n^4-6n^3+23n^2-42n+24)/24

所以分成的区域为(n^4-6n^3+23n^2-42n+24)/24

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	周瑜


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#9

发表于 2004-10-19 18:04 资料主页文集短消息只看该作者

1.应该是正的凸n边形吧。
2.另外问一句，不知是否允许三条对角线交于某顶点，即从某顶点引出三条或以上的对角线。
3.原来题理解错误，我以为是正凸多边形，不能用全对角线以防三条以上交于一点，用尽可能多的对角线能分成几部分。

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#10

发表于 2004-10-19 19:00 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由周瑜于2004-10-19, 18:04:33发表
应该是正的凸n边形吧。
另外问一句，不知是否允许三条对角线交于某顶点，即从某顶点引出三条或以上的对角线。

不是正多边形
允许啊

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#11

发表于 2004-10-19 19:14 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由kesin于2004-10-19, 16:14:10发表
假设k边形分成的区域为f(k)，再增加一个顶点，A(k+1)，考虑对角线A(k+1)Ai，一侧有A1，…，A(i-1)共i-1个顶点，另一侧有A(i+1)，…，Ak共k-i个顶点，两侧之间的点连线，可得A(i+1)Ai与前k边形A1A2…Ak的边及对角线共有(i-1)(k-i)个交点（任三点不共线），这些交点把对角线A(k+1)Ai分成(i-1)(k-i)+1条互不重叠的小线段，每条小线段都把所在的区域一分为二，区域增加了(i-1)(k-i)+1块，取i=1，2，…，k求和，得增加的区域一共为：
f(k-1)-f(k)=(k^3-3k^2-8k)/6。
又由f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+...[f(5)-f(4)]+f(4)及f(4)=4得：
f(n)=(n^4-6n^3+23n^2-42n+24)/24

所以分成的区域为(n^4-6n^3+23n^2-42n+24)/24

kesin强啊是学信息技术的？不愧为护国大将军
不过这只是一种解法且是较繁的一种解法当初我用这种方法算得头都大了（小弟我运算能力不强  ）
其实这种方法用的是递推数列在大学的《组合数学》中才有较详细地阐述对于高中生和初等数学学习者来说恐怕有些难了像我如果没看过这类书就想不到这种解法（高中时闲得无聊  ）

那么我就奉上300通宝吧钱是小事面子事达万望笑纳

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#12

发表于 2004-10-19 19:20 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由滑膛炮于2004-10-19, 14:52:49发表
有同感，握手ing。
原来令堂是我等前辈啊，失敬。

我也来一个

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#13

发表于 2004-10-19 22:14 资料文集短消息只看该作者

这个方法确实麻烦了点，不过谈不上用大学的知识吧？其核心就是高中的数学归纳法。

期待更简便的解法。

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	士风

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#14

发表于 2004-10-20 12:34 资料短消息只看该作者

兄台这样太过分了吧。这是舞文弄墨的地方，出些趣味性的迷题尚可，可像这种纯数学的就算了吧。
btw,高考前这种题做的太多了，简单的排列组合，不用递推。

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#15

发表于 2004-10-20 21:48 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由士风于2004-10-20, 12:34:27发表
兄台这样太过分了吧。这是舞文弄墨的地方，出些趣味性的迷题尚可，可像这种纯数学的就算了吧。
btw,高考前这种题做的太多了，简单的排列组合，不用递推。

简单的？
兄台你能不能演示一下？
还有高考绝对不会出这种题如果出可以给90分一道

至于场所是因为斑竹子龙兄的意见我才把这类题发到这里来的本来我是发在水区的
喜欢做就做吧不喜欢就不甩我或者随便逛逛
如果要来踢馆的话就请你老兄赐教了不要光会说简单哦

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	士风

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#16

发表于 2004-10-22 11:45 资料短消息只看该作者

没别的意思只是觉得放在这里不太妥,但要是斑竹说的,那就没话说了.不过这种纯数学的题趣味性确实不高呀!
解法如下:
1.n边形对角线交点数为A=C(n,4)
2.n边形对角线所有交点和顶点的连线将多边形分成小三角形数Ｂ＝[360*A+180(n-2)]/180=2A+n-2．（只要再减去不在同一对角线上交点的连线划分的区域数即为所求）
3.围成所有小三角形的线段数为Ｃ＝(3*B+n)/2
4.n边形所有对角线将多边形分成的小线段数为Ｄ＝[A*4+n*(n-3)]/2
5.不在同一对角线上交点的连线数Ｅ＝Ｃ－Ｄ
６．所求区域Ｑ＝Ｂ－Ｅ
看似步骤繁多，但每一步都是定式，不象其他类数学题每一题的方法还要现想，所以隔了这么多年还记得怎么做，故而脱口说了句＂简单＂．青木兄，语有得罪之处还请见谅．不过我们高考前确实是这类题做了很多．

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#17

发表于 2004-10-22 22:45 资料主页文集短消息只看该作者

好下面是正解
设n边形内部分别有三角形，四边形，...，m边形 N3,N4,...,Nm个
1)n边形内每个区域的顶点数累加
3N3+4N4+...mNm=4C(n,4)+2n+n(n-4)

2)n边形内每个区域的内角和累加
180N3+360N4+...(m-2)180Nm=360C(n,4)+180(n-2)
即N3+2N4+...(m-2)Nm=2C(n,4)+n-2

3)上两式相减
2(N3+N4+...+Nm)=2C(n,4)+n+n(n-4)+2
即N3+N4+...+Nm=C(n,4)+(n^2-3n)/2+1

只有三步

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#18

发表于 2004-10-22 22:47 资料主页文集短消息只看该作者

高，实在是高。

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	发条


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#19

发表于 2004-10-22 22:57 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由青木风亮于2004-10-22, 22:45:27发表
下面是正解
设n边形内部分别有三角形，四边形，...，m边形 N3,N4,...,Nm个
1)n边形内每个区域的顶点数累加
3N3+4N4+...mNm=4C(n,4)+2n+n(n-4)

2)n边形内每个区域的内角和累加
180N3+360N4+...(m-2)180Nm=360C(n,4)+180(n-2)
即N3+2N4+...(m-2)Nm=2C(n,4)+n-2

3)上两式相减
2(N3+N4+...+Nm)=2C(n,4)+n+n(n-4)+2
即N3+N4+...+Nm=C(n,4)+(n^2-3n)/2+1

只有三步比我想的思路简单多了。

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#20

发表于 2004-10-22 23:36 资料主页文集短消息只看该作者

下面我对此提来一个小结：
1)kesin的解法采用了递推数列，如果你有相应知识的话，这种方法比较容易想到，但是运算量很大 terrible。。。想当年。。。

2)士风兄和我一样都是对自己很有自信的人握手握手
你的解法好像是有悠久历史的小弟才参加过高考没几年从来没经过这样的训练说实话我当初拿到这道题是很棘手的

你的解法提供了较多信息，最关键处是同时从点和角两方面考虑，精彩！不过相对于所求来说在运算过程中有些信息是冗余的
看来研究高考的老师们还是很踏实的园丁啊按部就班

私下说一下：问题还是那样关键看我们怎么去想对吗？(<--臭屁  )

3)小弟的解法很偷懒围绕最终所求思考所以侥幸成功

以后我会出一些技巧性趣味性更强的题目（看了该区的许多帖子以后我会更加注意题目的包装  ）支持的跟帖啊！（小弟我也有两年没碰数学了现在专门涂鸦    大家可不要谦虚啊）

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#21

发表于 2004-10-23 15:32 资料主页个人空间短消息只看该作者

青木兄弟请把现在这个贴另发吧，做另一组题目好了。

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