类似的等式大家能找几个？ - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2007-7-18 14:38 资料主页短消息只看该作者

类似的等式大家能找几个？

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 24^2 = 70^2.

[ 本帖最后由天宫公主于 2010-1-26 19:40 编辑 ]

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#2

发表于 2007-7-18 16:18 资料主页短消息只看该作者

3^2+4^2=5^2 这个不知算不算类似

另外楼上的3^3似乎是笔误吧

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	nalanqx (纳兰茜雪)

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#3

发表于 2007-7-18 16:34 资料短消息只看该作者

7^0+7^1+7^2+7^3=20^2

这个算不?

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	天宫公主 (司徒家的颖颖)


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#4

发表于 2007-7-19 19:28 资料主页短消息只看该作者

都算都算，大家一齐想，弄出一个名单好玩。

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	KYOKO (★御姐控★)


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#5

发表于 2007-7-21 14:06 资料个人空间短消息只看该作者

X^3+Y^3=Z^3怎么证明不存在自然数解???

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	霸王高宠

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#6

发表于 2007-8-5 18:26 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 KYOKO 于 2007-7-21 14:06 发表
X^3+Y^3=Z^3怎么证明不存在自然数解???

抱歉,费马大定律暂无证明

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#7

发表于 2007-8-8 19:48 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 霸王高宠 于 2007-8-5 18:26 发表

抱歉,费马大定律暂无证明

晕，有了吧，大哥，初中书上都说有了。（我同学还说，费马这家伙，根本不配叫数学家，只会提猜想，还要别人给他证）

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	skdm

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#8

发表于 2007-8-9 05:44 资料短消息只看该作者

ls的请注意措辞

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#9

发表于 2007-8-9 19:50 资料个人空间短消息只看该作者

根据1^2+2^2+3^2+……+n^2=1/6 *n*(n+1)*(2n+1)可知，所求N必须满足1/6 *n*(n+1)*(2n+1)为完全平方数。设1/6 *n*(n+1)*(2n+1)=k^2
用EXCEL算了下
n---------- k
=======
貌似是一堆近似值，全都不是……
试到3553都没有
估计公主是设了圈套让偶们钻了

[ 本帖最后由夜雨落枫于 2007-8-9 20:01 编辑 ]

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#10

发表于 2007-8-9 19:59 资料个人空间短消息只看该作者

公主的意思是，符合1^2+2^2+3^2+……+n^2=p^2的（n，p)共有多少对吧
于是，问题转化为求所有满足1/6 n（n+1）（2n+1）为完全平方数的n的问题
我再仔细想想……

[ 本帖最后由夜雨落枫于 2007-8-9 20:09 编辑 ]

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#11

发表于 2007-8-23 07:34 资料个人空间短消息只看该作者

前两天想了想，因为6=2*3，而p^2=1/6 n（n+1）（2n+1），于是n,n+1,2n+1之中只能有最多两个数的乘积被6整除，于是其中必有至少一个数为完全平方数
现在只能证明n不是完全平方数，其他的还没想出来

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#12

发表于 2007-8-25 09:57 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 霸王高宠 于 2007-8-5 18:26 发表

抱歉,费马大定律暂无证明

费尔马大定理中 n=3 的 case 还是很容易证的，很标准的中学生的竞赛难度。据说，费尔马本人就证出了 n=3 的情况，然后不知道智商卡被打劫了还是怎么的，就声称所有的 n 都没有解。

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	zhangzhang

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#13

发表于 2009-12-19 19:54 资料短消息只看该作者

public class Square {
public static void main(String[] args) {
int i,j,k;
String s="";
for(i=1;i<=10000;i++){
s="";
int all=0;
for(j=1;j<=i;j++){
all+=j*j;
s+="+"+j+"*"+j;
}
k=1;
while(k*k<all){
k++;
}
if(k*k==all){
s+="="+k+"*"+k;
System.out.println(s);

}
}
}
}

1*1=1*1
1*1+2*2+3*3+4*4+5*5+6*6+7*7+8*8+9*9+10*10+11*11+12*12+13*13+14*14+15*15+16*16+17*17+18*18+19*19+20*20+21*21+22*22+23*23+24*24=70*70
一万以内就这么两个。。。

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#14

发表于 2010-1-26 19:10 资料短消息只看该作者

当n>1时，n,n+1,2n+1是两两互素的，因此需要找的n只可能是三种情形之一：（1）n/6，n+1,2n+1是完全平方数(2)n,(n+1)/6,2n+1是完全平方数(3)n,n+1,(2n+1)/6是完全平方数。
第三种n显然是不存在的。对于前两种，设2n+1=(2l+1)²,因此n=2l²+2l是偶数。对于情况2，设n=(2k)²，于是2k²=l²+l=l(l+1).又因为l,(l+1)互素，所以必须要有l=1,k=1.于是n=4.这也是不成立的。于是只能是情形1.设n=6m².于是3m²=l²+l.又由l和l+1互素知必须m=2,l=3.于是只有唯一的可能n=24.
从上述证明得出结论：公主从一开始就没安好心

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托塔李天王

2010-1-27 21:53

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#15

发表于 2010-1-26 19:39 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 wotaifu 于 2010-1-26 19:10 发表
当n>1时，n,n+1,2n+1是两两互素的，因此需要找的n只可能是三种情形之一：（1）n/6，n+1,2n+1是完全平方数(2)n,(n+1)/6,2n+1是完全平方数(3)n,n+1,(2n+1)/6是完全平方数。
第三种n显然是不存在的。对于前两种，设2n+1=(2l+1)²,因此n=2l²+2l是偶数。对于情况2，设n=(2k)²，于是 2k²=l²+l=l(l+1).又因为l,(l+1)互素，所以必须要有l=1,k=1.于是n=4.这也是不成立的。于是只能是情形1.设 n=6m².于是3m²=l²+l.又由l和l+1互素知必须m=2,l=3.于是只有唯一的可能n=24.
从上述证明得出结论：公主从一开始就没安好心

耶！请斑竹加分！

不过大家不觉得这个等式很酷么？

[ 本帖最后由天宫公主于 2010-1-26 19:42 编辑 ]

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#16

发表于 2010-1-27 18:07 资料短消息只看该作者

思考的不算太周密，没考虑2和3不是同一个数的因数的情况。不过昨天急着吃饭，就没改。现在补上。
(4)如果3|(2n+1),设2n+1=3(2l-1)².n=6l²-6l+1.于是n+1是偶数。设n+1=2k²,n=(2s-1)²,于是2k²-(2s-1)²=1.k²=2s²-2s+1=s²+(s-1)².s-1,s,k是勾股数组。这样的数组只有3,4,5.于是s=4,k=5.n=49.但这样一来(2n+1)/3=33不是完全平方数，n不存在。
(5)如果3|(n+1)且2不整除n+1,由于2n+1是奇数,于是设n=2s².2n+1也是完全平方数，设其为l².于是l²-4s²=1.此方程不存在正整数解。
(6)如果3|n且2不整除n,设n+1=2k²,2n+1=l²,则4k²-l²=1,依旧不存在正整数解。

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	托塔李天王


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#17

发表于 2010-1-27 21:53 资料文集短消息只看该作者

LS看来是个数学高手. 应公主所请, 加分奖励.

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