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青石 (临照轩) 木禾侯 谏议大夫 ★ 组别 翰林学士 级别 征东将军 功绩 380 帖子 5724 编号 18288 注册 2004-9-25

#1 发表于 2009-4-15 11:47 资料 主页 个人空间 短消息 只看该作者 素数题目一枚 昨天偶然看到一个题目：求所有的素数对(p,q)使得5^p+5^q是pq的倍数。 5换成其他素数也可以吧 比如 求所有的素数对(p,q)使得2^p+2^q是pq的倍数 求所有的素数对(p,q)使得3^p+3^q是pq的倍数 求所有的素数对(p,q)使得7^p+7^q是pq的倍数 求所有的素数对(p,q)使得11^p+11^q是pq的倍数 如果换成合数呢？比如 求所有的素数对(p,q)使得6^p+6^q是pq的倍数 如果是三个的话会怎么样？ 求所有的素数对(p,q,r)使得5^p+5^q+5^r是pqr的倍数 [ 本帖最后由 青石 于 2009-4-15 11:49 编辑 ] [广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布

青石 (临照轩) 木禾侯 谏议大夫 ★ 组别 翰林学士 级别 征东将军 功绩 380 帖子 5724 编号 18288 注册 2004-9-25

#2 发表于 2009-4-15 17:51 资料 主页 个人空间 短消息 只看该作者 求所有的素数对(p,q)使得5^p+5^q是pq的倍数 显然（5，2） （2，5），（5，5）满足条件 p=q 只有一组解（5，5） [广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布

KYOKO (★御姐控★) 唐国公 荆南节度使 ★★ 组别 节度使 级别 大将军 功绩 1456 帖子 65612 编号 32 注册 2003-8-19 来自 BWL

#3 发表于 2009-4-15 23:23 资料 个人空间 短消息 只看该作者 如何解呢？可以的话仅用初等数学 [广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布

司徒苍月 (kagami☆sama) 越国公 荆南节度使 枢密直学士 ★ 组别 节度使 级别 大将军 好贴 7 功绩 2823 帖子 28883 编号 52341 注册 2005-11-2 来自 创界山 家族 司徒实业

#4 发表于 2009-4-16 12:26 资料 主页 个人空间 短消息 只看该作者 此类算法先确认大致范围 因为有 n^m<=nm 所以数值范围不会太大 而后用穷举法破解 以上是挖的思路 或许用小程序计算更快 [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

青石 (临照轩) 木禾侯 谏议大夫 ★ 组别 翰林学士 级别 征东将军 功绩 380 帖子 5724 编号 18288 注册 2004-9-25

#5 发表于 2009-4-16 18:38 资料 主页 个人空间 短消息 只看该作者 n^m<=nm 这个有范围的  不是对任意的都正确 [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

wotaifu (ww) 组别 士兵 级别 忠义校尉 功绩 2 帖子 209 编号 315928 注册 2009-3-26

#6 发表于 2009-4-17 12:19 资料 短消息 只看该作者 如果p=q,那么5^p+5^q=2*5^p.只有素因子2，5.显然p=q=2时不成立。因此(5,5)是一对。 如果p不等于q,不妨设p>q。5^p+5^q=[5^(p-q)+1]*5^q.如果q=2,那么p=5成立。如果p不等于5，则5^p-5能被p整除（费马小定理）。因此5^p+5^2=5^p-5+30.要求p能整除30.于是p=3.(5,2)(3,2)都成立。 显然(5,3)不成立。如果q=5,则5^p+5^q=5^p-5+3130.p要被3130整除，又p>q,于是只能p=313.(313,5)成立。 当q>5时，首先p,q都是奇数。然后用费马小定理有5^pq-5能被pq整除。但是5^p+5^q=5^p-5+5+5^q能被p整除，因此5^pq+5^p是5^q+5的倍数也能被p整除。然后得到5^pq+5能被p整除。同理可证5^pq+5能被q整除。于是10=(5^pq+5)-(5^pq-5)是pq的倍数，矛盾。 所以一共可行的数组有(5,5)(5,2)(2,5)(3,2)(2,3)(313,5)(5,313) 这些根本不能算是初等数学内容吧，不过是初等数论- - 本帖最近评分记录 青石 2009-4-18 11:38 +50 基本是对的 [广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌

青石 (临照轩) 木禾侯 谏议大夫 ★ 组别 翰林学士 级别 征东将军 功绩 380 帖子 5724 编号 18288 注册 2004-9-25

#7 发表于 2009-4-18 11:55 资料 主页 个人空间 短消息 只看该作者 QUOTE: 原帖由 wotaifu 于 2009-4-17 12:19 发表 用费马小定理有5^pq-5能被pq整除 这个有问题。 比如取p=3 q=2 但是5^6-5=5x(5^5-1)=5x3124=2x2x5x11x71不是6的倍数 取p=11 q=7  但是5^77-5=5x(5^76-1)也不是77的倍数 费尔马小定理要求指数是素数。 噢，如此看来你的解答后面一部分是有问题的。 [ 本帖最后由 青石 于 2009-4-18 12:01 编辑 ] [广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布

wotaifu (ww) 组别 士兵 级别 忠义校尉 功绩 2 帖子 209 编号 315928 注册 2009-3-26

#8 发表于 2009-4-22 20:44 资料 短消息 只看该作者 汗忘记定理成立条件了。全都大于5的数组的情况暂时还没头绪，不过倾向于认为没有 [广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布

青石 (临照轩) 木禾侯 谏议大夫 ★ 组别 翰林学士 级别 征东将军 功绩 380 帖子 5724 编号 18288 注册 2004-9-25

#9 发表于 2009-5-8 01:17 资料 主页 个人空间 短消息 只看该作者 大概2的情况比较特殊 奇素数的情况解法估计是一样的 [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

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