初一数学题（难度相当大） - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2006-10-22 18:53 资料个人空间短消息只看该作者

初一数学题（难度相当大）

若P是>3的素数，且3n=(2^2p)-1,求证：n整除(2^n) —2

[ 本帖最后由夜雨落枫于 2006-10-22 22:15 编辑 ]

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#2

发表于 2006-10-22 18:59 资料个人空间短消息只看该作者

忘记说了，必须用初中知识解

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#3

发表于 2006-10-22 19:56 资料短消息只看该作者

可不可以不要弄数学的东西。这里是游戏的地盘

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#4

发表于 2006-10-22 20:15 资料短消息只看该作者

这要求n>4
不知道是不是这样证明的：(2^n)-2=(2*2^(n-1))-2=2(2^(n-1)-1)
又3N=(2^2p)-1,，设(n-1）=p，则有2(2^(n-1)-1)=2（2^2p-1）=2*3N，因此可以证明上式成立。

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	风暴潮

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#5

发表于 2006-10-22 20:52 资料短消息只看该作者

别老整初一的，有本事你整个初三的。
你的题目意思都没说清，n是什么东西？自然数？还是存在这样一个自然数？

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#6

发表于 2006-10-22 21:04 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 风暴潮 于 2006-10-22 20:52 发表
别老整初一的，有本事你整个初三的。
你的题目意思都没说清，n是什么东西？自然数？还是存在这样一个自然数？

你自己没看清啊
整除，2^2P-1足以说明N是正整数

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	风暴潮

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#7

发表于 2006-10-23 16:14 资料短消息只看该作者

更糊涂了，n和N是一个东西？

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#8

发表于 2006-10-23 18:15 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 风暴潮 于 2006-10-22 20:14 发表
更糊涂了，n和N是一个东西？

不好意思，大小写打错了
是同一个

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#9

发表于 2006-10-23 18:39 资料主页个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 gsyzj 于 2006-10-22 20:15 发表
这要求n>4
不知道是不是这样证明的：(2^n)-2=(2*2^(n-1))-2=2(2^(n-1)-1)
又3N=(2^2p)-1,，设(n-1）=p，则有2(2^(n-1)-1)=2（2^2p-1）=2*3N，因此可以证明上式成立。

我也是这样证的,LZ看对不?

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#10

发表于 2006-10-23 18:50 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 wt890920 于 2006-10-22 22:39 发表

我也是这样证的,LZ看对不?

但是n针对任意正整数

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	whws


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#11

发表于 2006-10-23 21:48 资料个人空间短消息只看该作者

n>4不是问题。因为p>3

但是这个证明本身似乎有点问题。(n-1）=p的假设是怎么来的呢？

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#12

发表于 2006-10-23 22:34 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 whws 于 2006-10-23 01:48 发表
n>4不是问题。因为p>3

但是这个证明本身似乎有点问题。(n-1）=p的假设是怎么来的呢？

看到WHWS兄的一些解答，看得出兄水平应该相当高吧
现在偶有了用费马小定理的解法，有没有不用费马小定理的解法呢（因为费马小定理是高中内容）
还有那个N-1=P似乎未必吧，应该不能这样假设

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#13

发表于 2006-10-23 23:29 资料短消息只看该作者

要是在初中或许可以，现在全忘了

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	whws


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#14

发表于 2006-10-24 20:02 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 夜雨落枫 于 2006-10-23 22:34 发表

看到WHWS兄的一些解答，看得出兄水平应该相当高吧
现在偶有了用费马小定理的解法，有没有不用费马小定理的解法呢（因为费马小定理是高中内容）
还有那个N-1=P似乎未必吧，应该不能这样假设

我的水平不高，只不过用中学的残留记忆做点头脑运动，再就是在网上搜点感兴趣的东西看看。

其实觉得像这样的问题，就是间接的让学生证明费马小定理。

如果是我的话，可能会用组合数学去证明。（a+b）^n=a^n+Cn,1×a^(n-1)×b+Cn,2×a^(n-2)×b^2+……+Cn,(n-1)×a×b^(n-1)+b^n
取a=b=1,

2^n=sum(Cn,i)；i=0、1、2……n。

2^n-2=sum(Cn,i)；i=1、2、……n-1。

Cn,i=n!/(i!*(n-i)!)

因此只要证明各项Cn,i之和能够被n整除就可以了。也就是证明sum((n-1)!/(i!*(n-i)!))是整数。

(n-1)!/(i!*(n-i)!)=Cn-1,i×(n-1-i)!/(n-i)!=1/(n-i)*Cn-1,i

所以要证明sum(1/(n-i)*Cn-1,i)是整数，i=1,2,...n-1

剩下的证明，我再想想

[ 本帖最后由 whws 于 2006-10-24 20:28 编辑 ]

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#15

发表于 2006-10-24 20:32 资料个人空间短消息只看该作者

对了，想起一件事，组合数学初中学了没有？

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#16

发表于 2006-10-24 20:55 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 whws 于 2006-10-24 20:32 发表
对了，想起一件事，组合数学初中学了没有？

？
如果是那PX,X和CX,X（排列组合？）
那是学过的
别的不清楚
多谢了
留下慢慢消化

[ 本帖最后由夜雨落枫于 2006-10-24 20:58 编辑 ]

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#17

发表于 2006-10-24 20:57 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 whws 于 2006-10-24 20:02 发表
如果是我的话，可能会用组合数学去证明。（a+b）^n=a^n+Cn,1×a^(n-1)×b+Cn,2×a^(n-2)×b^2+……+Cn,(n-1)×a×b^(n-1)+b^n

这个不是二项式定理吗，记得证过的

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#18

发表于 2006-10-24 21:15 资料个人空间短消息只看该作者

想了一下，用费马小定理的确很容易证明。可以先证明n-1=kp，k为正整数。再利用gsyzj给出的证明方法证明原命题。

这样吧，实在懒得费劲了。把费马小定理的证明转贴过来吧。

费马小定理：若p是质数，且p不能整除a，则a^(p-1)=1mod(p)

证明：因为p不能整除a，考虑1×a、2×a、……(p-1)×a，这p－1个数对p不同余，且都不能整除p。所以1×a×2×a×……×(p-1)×a=a^(p-1)×(p-1)!＝1×2×3×……×p-1＝(p－1)!mod(p)

所以a^(p-1)=1mod(p)

[ 本帖最后由 whws 于 2006-10-24 21:19 编辑 ]

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#19

发表于 2006-11-4 14:44 资料文集短消息只看该作者

弱弱的问一下
^ 这个符号在这里是什么含义？
偶怎么一点印象都没有啊~！

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#20

发表于 2006-11-8 13:06 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 西门飘烟 于 2006-11-4 14:44 发表
弱弱的问一下
^ 这个符号在这里是什么含义？
偶怎么一点印象都没有啊~！

A^N表示A的N次方

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#21

发表于 2006-11-15 21:30 资料短消息只看该作者

我们没学.我上初2.数学每次是校前三.就是没学这个.绝对没记错.楼主标题炒做.无法用初一知识解.

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#22

发表于 2006-11-15 21:51 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 最爱碧落赋 于 2006-11-15 21:30 发表
我们没学.我上初2.数学每次是校前三.就是没学这个.绝对没记错.楼主标题炒做.无法用初一知识解.

我汗……当我华罗庚金杯赛差1分就一等奖的是吃干饭的啊
校前三，也要看什么学校的啊
问题就是偶们现在就学这个
再说我有没说用初一知识解
说的是用初中知识解

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#23

发表于 2006-12-9 11:47 资料主页短消息只看该作者

不懂

[ 本帖最后由天生傲骨于 2006-12-9 11:49 编辑 ]

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#24

发表于 2006-12-9 12:32 资料个人空间短消息只看该作者

初中的时候这种奥赛题做过很多，估计当时做没问题
不过现在都忘光了

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#25

发表于 2006-12-10 16:11 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 夜雨落枫 于 2006-11-15 21:51 发表

我汗……当我华罗庚金杯赛差1分就一等奖的是吃干饭的啊
校前三，也要看什么学校的啊
问题就是偶们现在就学这个
再说我有没说用初一知识解
说的是用初中知识解

我当年差几分(忘记了) 就可以代表中国参加IMO 竞赛了呢....

我觉得数学问题,解题的局限性不要太大，不然就阻碍了思维的发挥..
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#26

发表于 2006-12-13 00:40 资料短消息只看该作者

想学好数学，就必须把它看成一个积木城堡。你拆一块下来，看看塌多少，塌的太多了再把它安回去。反复如此，就可以体会出各个定理之间的关系和证明技巧了。懂一个定理，并不是说能背出它的证明就行了，而是应该试着用同样的技巧去证明别的东西，一直到证不动了为止。然后体会这些结果的相似和不同。

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#27

发表于 2006-12-13 12:24 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 Indelibe 于 2006-12-10 16:11 发表

我当年差几分(忘记了) 就可以代表中国参加IMO 竞赛了呢....

我觉得数学问题,解题的局限性不要太大，不然就阻碍了思维的发挥..
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学妹你太猛了那你还学什么文科啊国家集训队不用上高三的各大高校直接包了...

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#28

发表于 2006-12-13 13:33 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 Indelibe 于 2006-12-10 16:11 发表

我当年差几分(忘记了) 就可以代表中国参加IMO 竞赛了呢....

我觉得数学问题,解题的局限性不要太大，不然就阻碍了思维的发挥..
如果你没学,你可以先学 ,你应该走在老师同学们的前面才对

也许当年你确实很牛。但你不一定就比人家数学专业本科毕业的普通学生数学强。

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