求解一个数学题 - 我思我在 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2010-4-26 08:00 资料主页文集短消息只看该作者

求解一个数学题

1:y=cos（x/6）;
x为全体整数；
证明y不是一个周期函数；请给出详细理由，谢谢！

求教求教！

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#2

发表于 2010-4-26 08:31 资料个人空间短消息只看该作者

假设y=cos(x/6)是周期函数，那么应该存在一个非零整数s，使得对于任意整数x，都有

cos[(x+s)/6]=cos(x/6)=cos(x/6+2kπ)，其中k为非零整数

即s/6=2kπ

s=12kπ 为无理数，与s为整数矛盾

故y=cos(x/6)不是周期函数

[ 本帖最后由阿尔法孝直于 2010-4-26 12:12 编辑 ]

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	dimeterio (李秀辰)

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#3

发表于 2010-4-26 11:59 资料个人空间短消息只看该作者

我有一个很大的疑问：按照孝直的证明，那个6根本只有装饰作用，那这道题就有点不伦不类，如果6是有意义的，那么是否存在整数N，使得y=cos(x/N)是周期函数？

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#4

发表于 2010-4-26 12:39 资料个人空间短消息只看该作者

y=cosx就是周期函数，加个>1的分母就肯定不是了？？

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#5

发表于 2010-4-26 12:42 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #4 KYOKO 的帖子

X在这里是整数，定义域变了

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#6

发表于 2010-4-26 12:43 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 KYOKO 于 2010-4-26 12:39 发表
y=cosx就是周期函数，加个>1的分母就肯定不是了？？

看清题目，自变量是整数，那么cosx就不是周期函数

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#7

发表于 2010-4-26 12:48 资料个人空间短消息只看该作者

周期函数嘛，只要证对称轴少于两个不就得了······小志的反证法就行。
额的疑问是 lz的函数应该是 y=1/cos（x/6）吧··。这样的话现设 f（x）=cos（x/6）按小志的方法证就好了。

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#8

发表于 2010-4-26 12:48 资料短消息只看该作者

回复 #2 阿尔法孝直的帖子

这个证明不严谨。没错，对于任何 t，都有 cos(t)=cos(t+2kπ)。但这并不能表明 cos(t) = cos(u) 则 t 和 u 之间一定就差 2π 的倍数。

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#9

发表于 2010-4-26 12:50 资料短消息只看该作者

回复 #3 dimeterio 的帖子

其实 cos(q), q 为有理数，也不是周期函数。不过这个证明起来比较麻烦，需要用到实分析理论。故，原题用 q=x/6，x 整数代替。
想进一步推广的话，q 属于 algebraic numbers 也行，总之 q 只要所属一个对于有理数的 Galois extension 是有限维的域就 OK。

[ 本帖最后由颖颖于 2010-4-26 13:05 编辑 ]

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#10

发表于 2010-4-26 13:16 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由颖颖于 2010-4-26 12:48 发表
这个证明不严谨。没错，对于任何 t，都有 cos(t)=cos(t+2kπ)。但这并不能表明 cos(t) = cos(u) 则 t 和 u 之间一定就差 2π 的倍数。

那么：

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

假设y=cos(x/6)是周期函数，那么应该存在一个非零整数s，使得对于任意整数x，都有

cos[(x+s)/6]=cos(x/6)，其中k为非零整数

即(x+s)/6=x/6+2kπ 或 (x+s)/6+x/6=2kπ

若(x+s)/6=x/6+2kπ，

s=12kπ 为无理数，与s为整数矛盾；

若(x+s)/6+x/6=2kπ

2x+s=12kπ，左边是整数，右边是无理数，矛盾。

故y=cos(x/6)不是周期函数

[ 本帖最后由阿尔法孝直于 2010-4-26 13:17 编辑 ]

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#11

发表于 2010-4-26 13:18 资料文集短消息只看该作者

对于任意的t，都有 cos(t)=cos(t+2kπ)。但这并不能表明 cos(t) = cos(u) 则 t 和 u 之间一定就差 2π 的倍数。

恩，前者t的定义域是（-00，+00），周期是2kπ。而这里的t是属于有理数R。所以周期不一定是2kπ

cos（x）是有理数，就可以否定是2kπ的周期函数了。cos（x）0<x<2π的周期2kπ，周期是无理数。

x作为一个有理数，其定义域与2kn是矛盾的。

但是他是否属于其他周期周期函数。的确是蛮复杂的。

[ 本帖最后由鹰派分子于 2010-4-26 13:24 编辑 ]

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#12

发表于 2010-4-26 13:23 资料短消息只看该作者

回复 #10 阿尔法孝直的帖子＋回复 #11 鹰派分子的帖子
阿尔法孝直 10 楼的证明假设了：如果 cos(x), x 实数有一个周期为 2pi，就不可能有任何其它周期了。怎么说呢，10 楼这个证明不应该算错，因为假设命题本身（可以证明）是正确的，但我总觉得做此假设，有点本末倒置。。。

比如说，如果 t,u 一个是有理数，一个是无理数，就有可能存在一个 f 同时满足：对所有整数 k,m, f(x) = f(x+kt+mu). 但 cos(x) 这个函数比较特殊，它并没有这个特征，这一点我认为需要证明。

习题：以此类推，一个函数最多能有多少个不同的周期？

[ 本帖最后由颖颖于 2010-4-26 13:37 编辑 ]

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#13

发表于 2010-4-26 13:26 资料文集短消息只看该作者

对，我理解颖颖了，定义域的变化，是不能够直接用2kπ来推导出是否是周期函数的。

阿尔法孝直，你一直在假设他的周期是2kπ，但实际上cos（x），x为有理数的周期不是2kπ，却可能是其他的。

必须直接证明cos（x+s）=cos（x）

s为有理数，用2kπ是不恰当的

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#14

发表于 2010-4-27 01:04 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由颖颖于 2010-4-26 13:23 发表

习题：以此类推，一个函数最多能有多少个不同的周期？

以下这个函数：

　　　1　,　x是有理数
y=＜
　　　0　,　x是无理数

无数个周期，但找不到最小正周期。

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#15

发表于 2010-4-27 09:48 资料短消息只看该作者

回复 #14 阿尔法孝直的帖子

不错，我想的也就是这个。

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#16

发表于 2010-4-28 12:50 资料个人空间短消息只看该作者

有个问题，怎么判断所有有理数（无理数）有无连续的区间？

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#17

发表于 2010-4-28 12:54 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #16 KYOKO 的帖子

一个连续的区间，无论多小，必然同时存在有理数和无理数。

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#18

发表于 2010-4-28 12:56 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #17 阿尔法孝直的帖子

问题是如何证明的？

ps：难道构造一个无理数，这个无理数就在这区间之内？这算证明吗

[ 本帖最后由 KYOKO 于 2010-4-28 12:59 编辑 ]

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#19

发表于 2010-4-28 13:06 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 KYOKO 于 2010-4-28 12:56 发表
问题是如何证明的？

ps：难道构造一个无理数，这个无理数就在这区间之内？这算证明吗

举个例子，区间(3.49,3.50)，就有无理数π+0.35在这里面。
随便一个区间，我都可以找到一个数(π+一个有理数)在这里面。

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#20

发表于 2010-4-28 17:08 资料短消息只看该作者

回复 #18 KYOKO 的帖子

这要看你的命题具体是怎么提的。。。如果是“在任何开区间 (a,b) 之间，都存在一个有理数 x 和无理数 y”的话。。。是的，你只要对 x, y 构造出一对例子就算证明了。

当然了，这个命题最强的推广是：在任何开区间 (a, b) 之间，所存在的有理数／无理数的数量，和有理数／无理数的总数一样多。

这个命题证明起来就会复杂一些，你需要构造一个双射函数，使得每个有理数／无理数，都能和 (a,b) 之间的一个有理数／无理数两两对应。

[ 本帖最后由颖颖于 2010-4-28 17:12 编辑 ]

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#21

发表于 2010-4-28 18:02 资料个人空间短消息只看该作者

已知一个无理数s在区间(q1,q2)内(q1,q2为有理数)，则|s/q1|，|s/q2|必定至少一个小于1。（证略）

a)设有两个有理数m1,n1（m1<n1），有理数(m1+n1)/2必然在(m1,n1)内，无理数m1+(n1-m1)|s/q1| 与 m1+(n1-m1)|s/q2|中的至少一个必然在(m1,n1)内。

b)设有两个无理数m2,n2（m2<n2），一个足够大的正有理数p，无理数m2+m2/p在(m2,n2)内。有理数呢？怎么证？我也考虑一下。

c)一个是有理数，一个是无理数呢？

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#22

发表于 2010-4-28 21:38 资料短消息只看该作者

回复 #21 阿尔法孝直的帖子

令 eps = b-a > 0，则只需证明该命题在 (0, eps) 这个区间成立。对于任意 eps > 0，都存在一个足够大的整数 N，使得 1/N < eps (例如，N = {1/eps}，这里 {x} = 大于或等于 x 的最小整数)。即，1/N 便是 (0, eps) 之间的一个有理数。由于 0<1/(N*pi) < 1/N< eps，则 1/(N*pi) 便是 (0, eps) 之间的一个无理数。

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#23

发表于 2010-4-29 14:00 资料个人空间短消息只看该作者

怎么证明π、根号2是无理数的？

ps：哦，有理数必然可以表达成分子分母都是整数的分数形式，那就一定不会带根号了，pi呢？

[ 本帖最后由 KYOKO 于 2010-4-29 14:18 编辑 ]

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#24

发表于 2010-4-29 14:42 资料短消息只看该作者

回复 #23 KYOKO 的帖子

会部分积分法么？会的话，可证（习题）：
令 I_n = int_{-1}^1 (1-x^2)^n cos(a*x) dx
则：
１，I_n*u^{2n+1} = n! (P_n (u) sin(u) + Q_n (u) cos(u)), 其中 P_n(u) 和 Q_n(u) 皆为整系数多项式且 deg(P), deg(Q) < 2n。
２，0 < I_n < 2。（提示：利用不等式，int_s^t f(x) dx < (t-s)max f(x)）

利用以上两点，如果 pi 是有理数，则令 pi/2 = b/a，代入上面等式中的 u。得：b^{2n+1}/n! I_n = P_n (b/a) a^{2n+1}。由于 P_n 是整系数多项式，所以 P_n(b/a) a^{2n+1} 一定是整数。因此，b^{2n+1}/n! I_n 也一定是整数。但由于 I_n < 2 且 b^{2n+1}/n! -> 0，因此当 n 足够大的时候，得： 0 < b^{2n+1}/n! I_n < 1。按此推理，则存在一个在 (0,1) 之间的整数。矛盾！

[ 本帖最后由颖颖于 2010-4-29 17:47 编辑 ]

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#25

发表于 2010-4-29 14:47 资料个人空间短消息只看该作者

根号2是无理数的证明过程：

假设根号2是有理数，那么存在一组非零整数p,q，使得根号2=p/q

于是 2q^2=p^2

如果q能被2^n但不能被2^(n+1)整除(n是自然数)，那么p^2=2q^2能被2^(2n+1)但不能被2^(2n+2)整除

于是p^2不是一个平方数，矛盾。

故根号2是无理数。

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#26

发表于 2010-7-24 14:16 资料短消息只看该作者

高中的内容，有点复杂

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	章剑青

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#27

发表于 2010-9-6 12:46 资料短消息只看该作者

请教一个数学题

(cos1/x)*1/x(x趋向于0）为何极限不是无穷大？为何无界

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#28

发表于 2010-9-6 13:15 资料短消息只看该作者

回复 #27 章剑青的帖子

用 stereographic projection，把它投射到一个黎曼球面上就有解了啊。

60 年代有个叫广中平祐的人，证明了一个关于奇点解消的定理，专门可以用来解决类似问题的。

[ 本帖最后由颖颖于 2010-9-6 13:29 编辑 ]

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#29

发表于 2010-9-6 14:04 资料短消息只看该作者

我以为是1/Y=COS（X/6）

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#30

发表于 2010-9-6 14:21 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 章剑青 于 2010-9-6 12:46 发表
(cos1/x)*1/x(x趋向于0）为何极限不是无穷大？为何无界

话说不是跟COS X/X X->∞一样

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