唯一可能论 - 我思我在 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2003-10-11 23:08 资料文集短消息只看该作者

在书里常常可以看到“唯一可能的是……”这句话
从语法上来说是错误的
但是语言是一种习惯的养成……

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	东胜瀛洲

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#2

发表于 2003-10-12 00:04 资料主页短消息只看该作者

以前的推理片中经常有这一句：……只剩下一种可能（性）……。

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	黑火关羽

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#3

发表于 2003-10-12 06:56 资料主页短消息只看该作者

可能的理解有误，这里的可能并不是平常说的可能，而是可以能够（的情况）的意思．

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	cctvns3 (极乐童子)

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#4

发表于 2006-11-9 00:57 资料短消息只看该作者

这是受了英语的影响

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	古漢魂

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#5

发表于 2006-11-9 20:11 资料短消息只看该作者

不是的！

这是在论证过程中的用语，在论证未完成时一切仍然属于"可能"，在论证完结时若仅存一个"可能"，而我们必须有结论，它便成了结论。

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	颖颖 (司徒家的颖颖)


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#6

发表于 2006-11-9 23:06 资料短消息只看该作者

逻辑的漏洞就在于为什么一定要有结论？比如 Continuum hypothesis?

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	疯猫

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#7

发表于 2006-11-13 21:37 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由颖颖于 2006-11-9 23:06 发表
逻辑的漏洞就在于为什么一定要有结论？比如 Continuum hypothesis?

逻辑的目的就是为了寻找结论.(对不起,我鸟文不好,看不懂鸟文,只对中文做答.)

[ 本帖最后由疯猫于 2006-11-13 21:38 编辑 ]

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#8

发表于 2006-11-14 04:24 资料主页短消息只看该作者

回复 #7 疯猫的帖子

逻辑是鸟文音译词
更一般的说法应该是关系
某种事物之间的关联情况
自成因果的逻辑其结论就是自身或者说是逻辑过程本身，从中无法得出逻辑以外的东西，所以相对外界得不到任何推论，也可以说是一种没有结论的逻辑

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	颖颖 (司徒家的颖颖)


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#9

发表于 2006-11-14 12:51 资料短消息只看该作者

疯猫：逻辑就是个系统，仅此而已。你可以利用这个系统去寻找答案，但同时也要想清楚这个系统可以给你什么答案。比如 Continuum hypothesis 目前就是一个不能回答的问题，其实 Axiom of Choice 也可以算一个。（对不起我中文不好，这个术语的中文还真不知道）

说起 Axiom of choice，我倒可以举出一个比较形象的例子。在有限个集合上，很明显都会存在一个选择函数，使得我们可以从这些集合中的每一个集合，挑出一个元素出来。例如：你去吃火锅，从每个盘子上的食品都是一个集合，不同集合的元素不一样，有些是羊肉，有些是海鲜，有些是蔬菜。但你肯定可以从每一个盘子中挑出一个东西出来，放到锅里去涮。好，那么下一个问题是，对于任意集合 X，其中 X 的元素 X_a 全都是集合，我们是否可以从 X_a 中各自挑出一个元素出来？当 |X| = 无穷大的时候，我们会发现这个命题既不能肯定，也不能否定。也就是说，如果某个餐馆给你无穷多种食品让你涮着吃，我们不知道你是否可以从每个盘子里挑出一样东西出来。最后数学界把这个既不能肯定也不能否定的命题写成一个公理了，至今有一批 constructivists 还对这个公理及其不满。

[ 本帖最后由颖颖于 2006-11-14 13:03 编辑 ]

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	whws


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#10

发表于 2006-11-14 15:04 资料个人空间短消息只看该作者

Continuum hypothesis：连续统假设
简单的说就是对无穷集之间是否可比的讨论。
Axiom of choice：选择公理
我没读懂

[ 本帖最后由 whws 于 2006-11-14 15:34 编辑 ]

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#11

发表于 2006-11-14 21:07 资料主页短消息只看该作者

回复 #9 颖颖的帖子

关于无限的问题有好多，说实话我总觉得数学上对无限的定义似乎还不能满足我们对无限概念的需求

且不管，一直有个疑问：无限接近取值和值本身在数学上目前怎么理解的究竟？也就是极限和极限所趋向的数值本身，计算上似乎是等同的？概念上呢？
继续长见识……

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	颖颖 (司徒家的颖颖)


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#12

发表于 2006-11-14 21:25 资料短消息只看该作者

中学对于极限的教育等于扯淡。大学本科一般也喜欢避重就轻，认为对实数上做个严密的定义就完事了。而对极限比较完善的定义（任意有序集合，任意拓扑空间上的定义），其实是需要网理论的。

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	慕容秋水

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#13

发表于 2006-11-15 20:23 资料短消息只看该作者

因为是推断，所以是“可能” 因为自己在现有的证据下推不出别的情况所以是唯一！
所以就有了唯一可能之言

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	古漢魂

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#14

发表于 2006-11-15 22:08 资料短消息只看该作者

QUOTE:

逻辑的漏洞就在于为什么一定要有结论？比如 Continuum hypothesis?

结论不一定要是"肯定"或"否定"，"不知道"也是个结论。在"不知道"中，我们有"仍未知道"及"不可能知道"。

"仍未知道"可能是资料(前题)不足够，也可能是资料(前题)与结论无关。但这是属于可知，知道了并不违反逻辑。

"不可能知道"却是知道时会违反逻辑。例子如数学的Theory of Everything与Gödel的Incompleteness Theorem有所抵触。

至于Continuum hypothesis，Gödel证明了不能从Set Theory的Axiom中推论出Continuum hypothesis。这不是一个结论吗？前题与结论是独立无关。

其实Incompleteness Theorem已说明在数学中永远有些东西是不能被明证或否证，这些东西或其等价都可以新Axiom形式加进体系中而不违背原有体系，但新体系却又仍会是Incomplete，永不完整。Continuum hypothesis是其一，但肯定不止于此，而且是永远不止。

QUOTE:

说起 Axiom of choice，...至今有一批 constructivists 还对这个公理及其不满。

Axiom of Choice基本上已无人认为它与Set Theory的其它Axiom有关又或有所抵触，但仍有人怀疑它会在别的地方出毛病。容许别人去怀疑是做学术应有的心胸。

两点能成一直线是欧氏几何的Axiom，直观得无人怀疑，但它仍是明列出来的Axiom。Axiom of Choice是Axiom的原因并非在于无限集合，而是在于无法从其它Axiom中推论出来。

QUOTE:

一直有个疑问：无限接近取值和值本身在数学上目前怎么理解的究竟？也就是极限和极限所趋向的数值本身

这是很基本的问题，牛顿、Leibniz没弄明白，反正管用便行。这要到十九世纪中叶才弄清楚。

简单说，若极限存在，无论我们以任何方法去迫近它，得到的极限值应该一样。换句话说，若有一个以上的极限值存在，那极限便不存在。例如零的零次方。

函数在该点的数值与极限值可以无关，相等时则说在该点连续。

没有数学"目前"的理解，这便是数学的理解！

这是大学数学分析基本入门课，若大学念数而不懂，这绝不可能过关。

QUOTE:

中学对于极限的教育等于扯淡。大学本科一般也喜欢避重就轻

极限好懂，无限我们真的不太懂。Continuum hypothesis已叫我们顶级的数学家花上了不少时间才弄明白，发现并不能从原有Axiom中可证之。无限可分级数，级数间并无中间级数称之为连续，但连续却又会产生新的无限。这些无限的级数可数不可数？

谈极限，在拓扑空间中，Archimedean Axiom是否有效？

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	颖颖 (司徒家的颖颖)


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#15

发表于 2006-11-16 00:20 资料短消息只看该作者

1. Axiom of Choice是Axiom的原因并非在于无限集合，而是在于无法从其它Axiom中推论出来。
> 有限集合甚至可数集合的 Axiom of choice 都可以从别的 axiom 中推出来。这个公理的本质是针对无限集合而定的。

2. 函数在该点的数值与极限值可以无关，相等时则说在该点连续。
> 个人爱好，我更喜欢 f^{-1} (开集) 仍然是开集，则 f 连续的那个定义。我觉得连续性是拓扑性质，而拓扑学的根本在于开集。一味的依赖于实变函数，反而会忽略拓扑本质的结构。

一个函数 f : X → Y，X, Y 皆为拓扑空间，在 x 连续当且仅当对于每一个网 (x_α) 满足lim x_α = x，则 lim f(x_α) = f(x)，其中 lim 这里代表网收敛。注意，这个定理如果我们把网改成数列，一般来说它是不成立的（当 X 不是 first-countable 的时候会出麻烦）。

3. 谈极限，在拓扑空间中，Archimedean Axiom是否有效？
> 一般来说，一个在拓扑空间上的网可能有大于一个极限。但只要 X 是 Hausdorff，那么网的极限只要存在就只有一个。反过来，如果 X 不是 Hausdorff，那么永远会存在一个网，有两个不同的极限。所以如果想把讨论升级到纯粹的拓扑空间中，那么仅仅靠实变函数那些是不够的。但现在的大学本科越来越喜欢让学生这么想。

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#16

发表于 2006-11-16 07:09 资料主页短消息只看该作者

1、极限=数值吗？（我以为两者还是有差异的，不同的定义会指向相同的点么？）
2、我们现在所知道的所有数可以完全填满的数轴么？还是我们仅仅是定义它是连续的？就像小时候曾经定义自然数、整数、有理数在数轴上连续一样？也许哪天发现有一种数和已知的数都不同，而原先的那个数轴仍然有空隙留出来……

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#17

发表于 2006-11-16 14:55 资料主页短消息只看该作者

吓人，这么古的帖子都出来了，貌似我还回了帖的

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#18

发表于 2006-11-19 12:33 资料短消息只看该作者

QUOTE:

有限集合甚至可数集合的 Axiom of choice 都可以从别的 axiom 中推出来。这个公理的本质是针对无限集合而定的。

是的，指出得好！例子在无限集合中。

但无论例子在有限集合、无限集合、还是特定的无限集合，Axiom of Choice存在的原因就是推论不出来。这是所有Axiom存在的必要条件之一。

QUOTE:

而拓扑学的根本在于开集。一味的依赖于实变函数，反而会忽略拓扑本质的结构

对！对！对！但实数不是开集吗？整数不也是个开集吗？

拓扑学是橡皮几何，但世界并不都是橡皮做的。别的研究也重要吧！

QUOTE:

3. 谈极限，在拓扑空间中，Archimedean Axiom是否有效？
> 一般来说，一个在拓扑空间上的网可能有大于一个极限。但只要 X 是 Hausdorff，那么网的极限只要存在就只有一个。反过来，如果 X 不是 Hausdorff，那么永远会存在一个网，有两个不同的极限。所以如果想把讨论升级到纯粹的拓扑空间中，那么仅仅靠实变函数那些是不够的。但现在的大学本科越来越喜欢让学生这么想。

古某在想：Archimedean Axiom无效的话，拓扑空间中的点能否"开"？

是的！不考虑拓扑学，实变函数也是不够的！

复变函数的研究把零跟无限大扯上了。

突然想起了非整数维数的空间，是另一个无限，又一门数学。

数学中很多门都谈到极限无限，不仅是拓扑学，但我们仍然属于所知不多。

QUOTE:

、极限=数值吗？（我以为两者还是有差异的，不同的定义会指向相同的点么？）

看不明白！再看，还是不明白！

QUOTE:

也许哪天发现有一种数和已知的数都不同，而原先的那个数轴仍然有空隙留出来……

实数线上是没有，这是完全性／完整性(Completeness)的问题，数学家又怎会忽略了。

说到实数，古希腊的数学家已知道无理数的存在，但不喜欢它们。有想过"无理数"中的"无理"何解？正是古希腊的数学家骂这些数实在是"无道理"。但却没留意到他们最喜欢的"黄金比例"正正是一个无道理的数字。

古希腊的数学家甚至也知道零，但不并认为它是数字。

连续就是中间没空隙，这也是为何数学家叫Continuum Hypothesis这莫名其妙的名字。

QUOTE:

吓人，这么古的帖子都出来了，貌似我还回了帖的

噢！没注意到。该闭嘴了！

再想，也许我们已成功地回到过去...

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#19

发表于 2006-11-19 22:53 资料主页短消息只看该作者

看不明白！再看，还是不明白！
---------------------------------
极限为1和1我总觉得是有区别的，虽然相等，可感觉毕竟是两种东西……

零是数字，不是数字的是虚无，零不能代表虚无，也许虚无这个词也不能代表，这个不知道古希腊的大闲人们想到过没（亚里士多德：智慧源自闲暇）

非整数维空间么？有的分形就是阿（我竟然知道这个不简单）维数说不定可以拓展到所知的所有数上去呢

看来已经证明实数连续了，我学到的仅仅是定义它连续

也许我们没回到过去而是前进到过去——时间是个圆，有限无界……

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#20

发表于 2006-11-20 00:11 资料短消息只看该作者

古漢魂:
1. 所谓拓扑学是橡皮几何，无非是说拓扑学中有一个 homeomorphic 的概念，把两个由一个连续函数连接的集合化作等价。而一个函数是否连续完全取决于空间的开集结构，所以我认为还是先有开集，后有橡皮几何。例如，X = 实数，开集 = <(a,b)>，Y = 实数，开集 = <[a,b)>，那么 F: X -> Y, F(x) = x 这个函数都不是连续的(原因: F^(-1)([a,b)) 关于 X 的拓扑结构不是开集，而 [a,b) 关于 Y 的拓扑结构是开集)。因此在两个不同的开集结构上，一个空间可能和自己都不同胚，与其说是橡皮几何还不如说是碎玻璃碴子几何呢。

2. Archimedean Axiom无效的话，我们将步入非典分析的领域 (non-standard analysis).

3. 数学除了拓扑之外，虽然也有很多门在谈论极限，但它们真正取极限的过程却是要 map 到一个拓扑空间去的（一般是实数）。因为极限的真正含义是从拓扑空间的开集中产生的：令 A 为一个 directed set, 对于每一个 neighbourhood N of x (in X - topological space)，都存在 a (in A) 使得对于所有 b >= a，有 x_b in N. 则，我们称 lim x_a = x. 不管是测度空间，还是非正数维空间(具体讨论见4)，它们想说任何极限概念，都要作出一个 map 把问题先 map 到一个拓扑空间，在那里去做该做的极限。

4. 所谓维这个概念我觉得更多的是个代数概念，而不是几何/拓扑概念。为什么这么说呢，因为用代数的概念去定义维非常简单，而在几何/拓扑上定义维则需要测度论中的概念。因为借助了“外界”思想，我觉得维这个概念本身并不属于几何。至于说非正数维空间，其实主要是说非正数的 Hausdorff dimension，也是一个测度论上的概念。在拓扑空间上最干净的维定义我觉得应该是 inductive dimension，这个只用到了拓扑空间本身的结构，但它貌似不能取非整数值。

5. 楼上的应该看看实数是怎么定义的... sqrt(2) 和 {1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ... } 的关系就很明朗了.

[ 本帖最后由颖颖于 2006-11-20 00:48 编辑 ]

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#21

发表于 2006-11-20 00:32 资料短消息只看该作者

极限为1和1我总觉得是有区别的
---------------------------------------
当然，如果你走出实数域的话，有可能会出现以下情况：例如，A = L^1_m (R ) = { f: R -> R | int_R f(x) dm(x) < inf }, 其中代数乘法定义为 (f*g) (x) = int_R f(y) g(x - y) dy. 这个代数系统中就没有 1 元素，但的确存在一个数列 f_n 使得 f_n ---> 1.

关于"1"的定义，1 是一个唯一的元素使得等式 f*1 = f, 对于所有 f in A 都成立。

这里要特别注意的是，1 是一个代数概念，它会跟随代数乘法的定义而变得。极限是一个拓扑概念，它会随着拓扑空间的开集结构而变。如果想构造出一个反例出来，那么最好的办法就是找出代数和拓扑两个概念不融合的情况。

[ 本帖最后由颖颖于 2006-11-20 00:39 编辑 ]

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#22

发表于 2006-11-20 00:38 资料个人空间短消息只看该作者

唯一可能就是唯一可能,有什么好奇怪的
救火就是救火,火有什么好救的

可是,当真的着火了,大多数人还是说:快来救火啊!而不是:快来扑灭火啊!

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#23

发表于 2006-11-20 20:14 资料主页短消息只看该作者

代数几何拓扑……算了我还是别问了，过几年在想这个问题

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#24

发表于 2006-11-29 20:22 资料短消息只看该作者

本要闭嘴，但闭不成。

QUOTE:

极限为1和1我总觉得是有区别的，虽然相等，可感觉毕竟是两种东西……

大数学家才对数学用感觉，古某未敢"感觉数学"。

古某不明的是：它们本不相同，乃基本概念，为何会"以为两者还是有差异"？从未有人说过它们相同！

1在x中，但极限谈的1是f(x)中。

QUOTE:

零是数字，不是数字的是虚无，零不能代表虚无，也许虚无这个词也不能代表

不！零代表虚无，但零不仅仅代表虚无。

古希腊不认同零是数字的原因是他们的数学基础是几何，几何谈比例，零是什么比例？同样原因，为何"无理数"无理？无理数不是比例！古希腊也不谈负数，什么形状有负数的边长？零的边长亦无意义。

假设四边形有一边长为零，古某在胡说什么？！

假设四边形有两边长为零！？！

假设有个零边形...。古某被痛打一顿，再被轰走了......

QUOTE:

Archimedean Axiom无效的话，我们将步入非典分析的领域 (non-standard analysis).

"非典"？

Archimedean Axiom有效，无限能产生零。零吃掉information。来个无限缩小再无限放大会如何？

Archimedean Axiom无效效果不同。但工具来自实数，Archimedean Axiom有效。实数线上的问题与特性带了进来。

QUOTE:

所谓维这个概念我觉得更多的是个代数概念

非整数维数并不从代数来，亦不从拓扑来。它是从有限中的无限而来。

QUOTE:

唯一可能就是唯一可能,有什么好奇怪的

有两种"可能性"：

1. 他／她把机率中的可能性与推理中的可能性假设混在一起。机率中零及一均不以"可能性"称呼，零为不可能，一为肯定。

2. 可能性是可能性假设的简称，按文法，"可能性假设"是名词，但"可能性"并非名词。他／她或许指文法错误。"唯一的可能性"是"唯一的可能性假设"的简称。

QUOTE:

可是,当真的着火了,大多数人还是说:快来救火啊!而不是:快来扑灭火啊!

着火了？先谈谈可能性，再谈极限，再来个拓扑还未迟。不急不急！

QUOTE:

代数几何拓扑……算了我还是别问了，过几年在想这个问题

过几年更不用想。

学海无涯，回头是岸！

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#25

发表于 2006-11-29 21:51 资料主页短消息只看该作者

不好意思，在下做事感觉成分过多，哪怕是用理性，也是以有感觉为先决条件
（理性在我看来仍是一种感觉——思维感觉，早几十年会被批评成唯心，现在生物学进步了不少……所以……）

数学方面决定暂不发表意见（这个暂搞不好就是永远……）实在是不在一层面上，我讨论的概念出发点落后多了

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#26

发表于 2006-11-30 05:43 资料短消息只看该作者

QUOTE:

不好意思，在下做事感觉成分过多，哪怕是用理性，也是以有感觉为先决条件

有什么不好意思？"感觉数学"者，大数学家也！

但你混淆了三个概念：感觉，直觉与个人偏好。

"感觉数学"是以直觉处理数学问题，这直觉必须在对学科掌握很好时才可靠，古某未到此阶段，故不敢。

个人偏好属感性，不可用于论证中。但除此以外，并无不好。

真"感觉"属五官生理之事，与此无关。

"唯心"？古某一生从未用过此词语，猜它是用来批抨别人吧！"心"无不好，"唯"却不好。

直觉无不好，唯直觉不好。

个人偏好无不好，唯偏好不好。

推理无不好，唯推理亦不好。

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#27

发表于 2006-12-1 02:46 资料短消息只看该作者

Non-standard analysis (非典分析) 本来就没有用实数，而是实数的一个 super structure。

零吃掉information。来个无限缩小再无限放大会如何？- 非典分析中其实包括了严密的无穷小的处理，有兴趣的话可以看一些关于 hyperreals 的材料。

hyperreals 包括了一个元素 H = 无穷大，和 d = 1/H = 无穷小。

其实我说这些也没有别的意思，只是对大学本科课程把实数在分析领域中神圣化感到极其不满和误导而已。

[ 本帖最后由颖颖于 2006-12-1 03:14 编辑 ]

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#28

发表于 2006-12-3 07:03 资料短消息只看该作者

QUOTE:

其实我说这些也没有别的意思，只是对大学本科课程把实数在分析领域中神圣化感到极其不满和误导而已。

实数分析很基本，很重要，但并不神圣。

数学中很多时把原来的限制拿走，便发现新题目。抽象化后再抽象化，实际上是为了把限制拿走。

古某想：无限大有限制吗？很浅易的问题，答案似乎是"没有"。"似乎"？

是的！无限大有它的限制，背后仍有规律限制。抽象化目的是把规律显现出来。这方便把限制再拿走。拓扑空间能比实数空间"大"，走的便是这方向，让限制更少。

无穷大，无穷小。但古某时间也穷得真很。学海无涯，回头是岸啊！

有能力的人是不会被误导得太久的。一直被误导而不知的人也是该当如此。不必生气。生气时复制会出错变了样。

古某也没别的意思，没有不满，连被误导都未曾。仅胡言乱语一翻。

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#29

发表于 2006-12-6 02:53 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 古漢魂 于 2006-12-3 07:03 发表

实数分析很基本，很重要，但并不神圣。

数学中很多时把原来的限制拿走，便发现新题目。抽象化后再抽象化，实际上是为了把限制拿走。

古某想：无限大有限制吗？很浅易的问题，答案似乎是"没有&qu ...

服了你了

想问太多,只问一个

在数学上,等式:0.99999999...=1,该命题对吗?

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#30

发表于 2006-12-6 06:13 资料短消息只看该作者

在 R 上正确，在 *R 上不正确。我和古汉魂一直讨论的 Archemedes Axiom, Hausdorff 特征, 拓扑结构/网结构，等等都是在讨论这个问题。

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