想到一道关于对称性的问题 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2006-6-12 15:58 资料个人空间短消息只看该作者

想到一道关于对称性的问题

在有限区域内(不包括无限延伸),有无数条对称轴的二维图形除了圆以外还有吗?
有无都给出证明
ps:命题是自己想到的,可能不严密

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#2

发表于 2006-6-12 16:09 资料个人空间短消息只看该作者

直线的，既然是二维图形，就需要由线来组成，这样就只有正多边形的对称轴才会最多，而正无穷多边性就是圆了。
如果要是曲线组成的图形，那就复杂了，我现在还想不出来。

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#3

发表于 2006-6-12 21:56 资料主页文集短消息只看该作者

还可以是两个圆、三个圆、四个圆、五个圆……

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#4

发表于 2006-6-13 12:32 资料短消息只看该作者

回复 #1 KYOKO 的帖子

楼主想问的应该是平面上的连通的有界闭曲线如果有无穷多条对称轴，那么它一定是圆对吧

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#5

发表于 2006-6-13 13:09 资料主页短消息只看该作者

未必啊。可以参考一下构造：集合=X，x 为 X 里的一个元素。
1。令phi = 2*pi*theta, 则用phi去量角度，所有的角度都在0和1之间。
2。先设 X 包括有理集。当 phi = arg(x) 是有理数的情况下，令 |x| = 1。
3。取任何无理数 y，对所有X里的x，当phi = arg(x) + y 的情况下，令|x|= phi。
4。如此类推，可以得出无穷多个有无数条对称轴的二维图形。

简单的说，无穷多个对称轴对于一个有理圆就足够了（圆，但只取有理数角度上的那些点）。然后我们选择任何无理数，把该有理圆旋转无理数角，再放大那么多倍。每一个不同的无理数，都会给我们一个不同的“形状”，而且都有无穷条对称线。因此，楼主所问的情况有无穷多种组合。

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#6

发表于 2006-6-13 13:14 资料个人空间短消息只看该作者

虽然天宫公主的推理看的不大懂，但我也认为还会存在这样的图形，如果公主能举一个例子就好了

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#7

发表于 2006-6-13 13:21 资料主页短消息只看该作者

比如说哈，画两个同心圆，一个半径=1，一个半径=2。然后给第一个圆，“对称地”打无穷多个孔（这里就用到了有理数），把打过孔的相形角度的位置给第二个圆。然后画一个半径=1.5的，继续打孔。在画个半径1.25, 1.75的，再继续打孔。最后这些个千疮百孔的圆，是可以连成一个连续形状的。打孔的角度有无穷多种选择，所以这种形状也有无穷多个。

[ 本帖最后由天宫公主于 2006-6-13 13:22 编辑 ]

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#8

发表于 2006-6-13 14:01 资料个人空间短消息只看该作者

”把打过孔的相形角度的位置给第二个圆“
公主，这句话什么意思，看不太懂，请指教！

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#9

发表于 2006-6-13 14:06 资料短消息只看该作者

回复 #5 天宫公主的帖子

昨天我也举了单位圆上所有有理点的例子（这样就已经有无穷多条对称轴了），但是后来想想楼主想要表达的应该是一个R^2上的Hausdorff dimension=1的曲线或者说是一个整体的嵌入1-manifold，所以后来自己删掉了。
我相信这个命题加上诸如连通之类的条件以后是正确的

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#10

发表于 2006-6-13 14:25 资料主页短消息只看该作者

如果要求Hausdorff dim = 1的话，那么应该只有圆了。我刚刚按个构造，按Hausdorff dimension计算，应该是在1和2之间的一个的一个小数。

Hausdorff dim > 1 因为用一维的 Lebesgue outer measure 去测X等于无穷（X无穷长，不然自身不可能满足拓扑连续性），但由于有理集合可数，所以按二维的 Lebesgue outer measure 去测X，结果又肯定等于0。因此，1 > dim (X) > 2 （两边都是严格不等）。

[ 本帖最后由天宫公主于 2006-6-13 14:29 编辑 ]

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#11

发表于 2006-6-13 14:40 资料短消息只看该作者

刚刚想了一下关于对称的问题得到以下几个结论，如果太trivial了别笑我:)

1.如果有界平面图形I有两条对称轴则它们必然相交，设夹角为\phi则I是2\phi度旋转不变的。

2.如果有界平面图形I有三条对称轴则它们必然交于同一点。

3.设有界平面图形I有若干条（有限或无限，大于1）对称轴，根据2，设它们的交点为原点，其中一条为x轴，那么所有对称轴的角度构成一个加法群（在mod 2\pi 的意义下）

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#12

发表于 2006-6-13 14:44 资料主页短消息只看该作者

嗯，补充一下，如果不要求拓扑连续性，那么 X ={x in S^1 : arg(x) in Q} U {x in 2S^1 : arg(x) in Q' } 还是满足 Hausdoff dim = 1 的。因为无理集的Lebesgue 测度和实数没有区别，而有理集的测度永远=0。所以X还是可以被一个一维outer measure 测出来的。但如果要求拓扑连续性 + hausdorff dim = 1的话，那么似乎就真的只有圆了。

注：S^1 = {(x,y) in R^2 : x^2 + y^2 = 1}, 2S^1 = {2 x : x in S^1}.

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#13

发表于 2006-6-13 14:51 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 reynolds_wwy 于 2006-6-13 14:40 发表
刚刚想了一下关于对称的问题得到以下几个结论，如果太trivial了别笑我

1.如果有界平面图形I有两条对称轴则它们必然相交，设夹角为\phi则I是2\phi度旋转不变的。

2.如果有界平面图形I有三条对称轴则它们必 ...

其实对称性就是表现在群结构中。但群结构和拓扑结构（第一个例子）和几何结构（第二个例子）不完全一致，所以才有反例出来。但如果把两个都结合起来，我们其实是在问有多少个一维空间的李群 (up to isomorphism).

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#14

发表于 2006-6-15 08:01 资料主页个人空间短消息只看该作者

以前看到的一个人声称证明的结论：
有无穷个对称轴的Jordan曲线一定是圆

他的证明的基本的思路

QUOTE:

1.对称轴共点
2.对称轴的极限还是对称轴
3.利用一个极限形式的对称轴(先证明其存在性),证明点在某个圆周上处处稠密
4.利用闭性证明曲线包含一个圆周
5.证明原命题

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#15

发表于 2006-6-19 06:27 资料短消息只看该作者

不知道..看看...

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	智商250

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#16

发表于 2006-6-21 23:32 资料短消息只看该作者

能在这发贴的，除了疯子就是傻子，没一个正常淫涅。

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