比大小 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


	天宫公主 (司徒家的颖颖)


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#1

发表于 2005-10-11 19:43 资料主页短消息只看该作者

1. k 奇数, 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/k, ln 2.
2. 3 - 23^(1/3), 3/16
3. arctan(9/8) - Pi/4, 8/145
4. arctan(2005/1983) + arctan(1983/2005), Pi/2

如题: 以上几组数, 说出那个大那个小(不许用计算机! - 最好严正, 写出步骤). 可以接受四种选择做答案:

A: 第一个大
B: 第二个大
C: 都一样大
D: 无法判断

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	西晋羊牯

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#2

发表于 2005-10-11 20:35 资料文集短消息只看该作者

2。（3 - 23^(1/3)）/(3/16)
得：16－16/3*23^(1/3)
16/3*23^(1/3)>15
so:16－16/3*23^(1/3)<1

3/16大

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#3

发表于 2005-10-11 21:17 资料主页短消息只看该作者

判断 16/3*23^(1/3) > 15 的步骤能否写的详细一下?

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#4

发表于 2005-10-11 21:33 资料文集短消息只看该作者

16*16*16*23/27>15*15*15
这步我是用计算器算的，

你的题目深的又太深，简单的又是初中高中的基础题，不了解国情。

应该出些趣味性强的题目嘛。

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#5

发表于 2005-10-11 21:47 资料主页短消息只看该作者

这几题都有妙解的.

P.S. 我出题基本是按照蹋鼻子的难度来的... (我想是吧?...)

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#6

发表于 2005-10-11 23:26 资料文集短消息只看该作者

其他三题都好办，就是这题我想不出最简方法。

这些题目第一眼看似曾相识，再一看全是N年前高中的题目。

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	凤凰涅槃

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#7

发表于 2005-10-22 00:18 资料主页短消息只看该作者

第一个用ln2的Taylor展式，后边k为奇数，为递减数列，极限是ln2，故选A

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	凤凰涅槃

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#8

发表于 2005-10-22 01:28 资料主页短消息只看该作者

第二题：等价于3-3/16=45/16=22.5/8与23^(1/3)的大小

则(22.5/8)^3=22.5*(45^2/2^11)=22.5*(2025/2028)<23

虽然是用计算器估算的，但是总算可以比较出来

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#9

发表于 2005-10-22 20:19 资料主页短消息只看该作者

第一题正确。

第二题按计算器。。。
能按计算器的话，1-4没一个不显然的。

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#10

发表于 2005-10-22 21:26 资料短消息只看该作者

1,A
2,B
3,?暂时没仔细想了
4,显然是C,一样大嘛

这个1,4,都是比较明显的
1,按ln(1+x)的在x=0处的泰勒展开,取x=1,哇塞,也太,这个就不说了

4,学过初中数学的大概都知道

2,难算一点,但也不过是展开一下而已,等价于求23^1/3与45/16哪个更小
又等价于求(1-4/27)^1/3与15/16哪个更小
再将前者按(1+x)^1/3展开,哼哼,显然了吧

第三题应该也是可以先取正切再展开算得出来的

我的意思是,这位MM你出的题跟那位塌先生还是有些差别的
那位先生出的题涉及的数学知识比较深哪
既然你对这类数学智力题这么有兴趣,我出一个你瞧瞧

令G(N)=(x^N)*sin(N*A)+(y^N)*sin(N*+(z^N)*sin(N*C)
已知G(1)=G(2)=0且A+B+C=m*Pi
其中,m,N是整数,x,y,其他变量都是实数
证明对任意N为正整数,G(N)=0

怎么要要写的 N*B 的地方字母B成了个图标了,晕

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#11

发表于 2005-10-22 22:39 资料主页短消息只看该作者

什么时候得罪你了，满篇冷嘲热讽之语。

2,3,4 说的具体一点。(我承认4不难，但你的3目前基本没谱)

你那题出的本身有问题吧！
G(1) = 0 -> x sin A + y sin B + z sin C = 0.
考虑到x,y,z可以取任意实数值，由线性独立性，得sin A = sin B = sin C = 0. 则A, B, C皆为Pi的倍数。因此，sin(AN) = sin(BN) = sin(CN) = 0，对所有正整数N成立。故而，G(N) = 0。

这个证明并没有用到 G(2) = 0 和 A+B+C = m*Pi 这两个条件。它们可以从其它条件里推出来的。

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	俺是马甲

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#12

发表于 2005-10-22 22:59 资料短消息只看该作者

怎么能把我的话看成冷潮热讽呢
我的意思是你的这些题基本上算是趣味题吧
好似不涉及特别的数学知识
和塌先生出的题不是一个类型,我晕
另外对于第三题,我前面的贴子本来写成了正弦
其实我当然应该是想说正切啦,现在已经更正了

另外,你对我的题理解有误哦
我并没说x,y,z,A,B,C这些东西是可以乱取的哦
否则还要那么大一堆条件干什么
你怎么能由任意性推出那些个东西呢,我暴汗

说得更直白点吧,x,y,z,A,B,C都是取定的实数
它们满足我给的三个条件,最后才是要证的

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#13

发表于 2005-10-22 23:10 资料主页短消息只看该作者

x,y,其他变量都是实数
=================

你对x,y,z做的唯一假设就是它们是实数。那么在N=1的情况下，
x sin A + y sin B + z sin C = 0
对于所有x, y, z应该是恒等的。不明白你说什么不能乱取，x,y,z 哪些值可以取，哪些不可以取，请明确指出。

P.S. 第三题：你要比较 9/8, tan(Pi/4 + 8/145) ? 据我所知，此路没计算器基本是死路(tan(8/145) 应该不易求得)。

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#14

发表于 2005-10-22 23:30 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由天宫公主于2005-10-22, 23:10:17发表
x,y,其他变量都是实数
=================

你对x,y,z做的唯一假设就是它们是实数。那么在N=1的情况下，
x sin A + y sin B + z sin C = 0
对于所有x, y, z应该是恒等的。不明白你说什么不能乱取，x,y,z 哪些值可以取，哪些不可以取，请明确指出。

P.S. 第三题：你要比较 9/8, tan(Pi/4 + 8/145) ? 据我所知，此路没计算器基本是死路(tan(8/145) 应该不易求得)。

我晕,刚刚发贴失败了???
对于你的第三题按我的思路确实很难算
不过,另外三题我觉得你应该没什么好怀疑的吧

另外,你对我的题目还是没理解啊
这么说吧:

对于给定的一组实数,x,y,z,A,B,C,若他们使得
G(1)=G(2)=0,A+B+C=m*Pi (m为整数)
则请证明对这组实数和任意正整数N,有
G(N)=0

这样够直白了吧,你还搞不懂???

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#15

发表于 2005-10-23 00:07 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由天宫公主于2005-10-22, 20:19:19发表
第一题正确。

第二题按计算器。。。
能按计算器的话，1-4没一个不显然的。

第二题的方法虽然算不上巧妙，但是是可以心算算出来的

主要是我对x^(1/3)的展式不熟

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#16

发表于 2005-10-23 06:09 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由俺是马甲于2005-10-22, 23:30:53发表

QUOTE:

原帖由天宫公主于2005-10-22, 23:10:17发表
x,y,其他变量都是实数
=================

你对x,y,z做的唯一假设就是它们是实数。那么在N=1的情况下，
x sin A + y sin B + z sin C = 0
对于所有x, y, z应该是恒等的。不明白你说什么不能乱取，x,y,z 哪些值可以取，哪些不可以取，请明确指出。

P.S. 第三题：你要比较 9/8,  tan(Pi/4 + 8/145) ? 据我所知，此路没计算器基本是死路(tan(8/145) 应该不易求得)。

我晕,刚刚发贴失败了???
对于你的第三题按我的思路确实很难算
不过,另外三题我觉得你应该没什么好怀疑的吧

另外,你对我的题目还是没理解啊
这么说吧:

对于给定的一组实数,x,y,z,A,B,C,若他们使得
G(1)=G(2)=0,A+B+C=m*Pi (m为整数)
则请证明对这组实数和任意正整数N,有
G(N)=0

这样够直白了吧,你还搞不懂???

由于exp(it) = cos t + i sin t, 我们可以把命题和条件转换成复数式.

条件等价于:
i) Im(exp(ia + ib + ic)) = 0
ii)Im(x*exp(ia) + y*exp(ib) + z*exp(ic)) = 0
iii)Im[(x*exp(ia))^2 + (y*exp(ib))^2 + (z*exp(ic))^2] = 0

命题等价于: Im[(x*exp(ia))^n + (y*exp(ib))^n + (z*exp(ic))^n] = 0

(其中对于复数w = u + iv, Im(w) = v).

我们用强归纳法证明. 先假设命题对1, 2, ... , n-1成立, 欲证命题对n也成立.

0 = Im [(x*exp(ia) + y*exp(ib) + z*exp(ic))^n]
= Im[(x*exp(ia))^n + (y*exp(ib))^n + (z*exp(ic))^n + T]

其中T是多项式展开的残余部分.

命题充分调价: 证明Im(T) = Im[(x*exp(ia))^n + (y*exp(ib))^n + (z*exp(ic))^n] 的倍数.

由多项式展开T 由以下部分组成:
Im[(x*exp(ia))^p(y*exp(ib))^q(z*exp(ic))^r]
= Im[x^p y^q z^r exp(i(pa + qb + rc))]
= Im[x^p y^q z^r exp(i(pa + pb + pc + Qb + Rc))]
= Im[x^p y^q z^r exp(ip(a + b + c)) exp(i(Qb + Rc))]
= 0
其中做了假设, p <= q <= r, Q = q - p, R = r - p.
另外应用条件: Im(exp(ia + ib + ic)) = 0

以上推理当p, q, r皆严格>0时成立. 当其中一个等于零时,
Im[x^p y^(n-p) exp(i(ap + b(n-p)))] + Im[x^p z^(n-p) exp(i (pa + (n-p)c))]
= Im[x^p exp(ipa) (y^(n-p) exp(ib(n-p)) + z^(n-p) exp(ic(n-p)))]
= Im[x^p exp(ipa) (-x^(n-p) exp(i(n-p)a))]
(因为由归纳假设: Im[(x*exp(ia))^(n-p) + (y*exp(ib))^(n-p) + (z*exp(ic))^(n-p)] = 0)
= Im[x^n exp(ina)]

由多项式展开的对称性, 存在同系数项, 通过以上化减得 Im[y^n exp(inb)] 和 Im[z^n exp(inc)].

相加可得: Im[x^n exp(ina)] + Im[y^n exp(inb)] + Im[z^n exp(inc)].

故, Im(T) = Im[(x*exp(ia))^n + (y*exp(ib))^n + (z*exp(ic))^n] 的倍数.

得证!

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#17

发表于 2005-10-23 10:49 资料短消息只看该作者

Im[x^p y^q z^r exp(ip(a + b + c)) exp(i(Qb + Rc))]
= 0
其中做了假设, p <= q <= r, Q = q - p, R = r - p.
另外应用条件: Im(exp(ia + ib + ic)) = 0

这个地方能解释下吗?
好象不能直接得到0的结果

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#18

发表于 2005-10-23 11:25 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由俺是马甲于2005-10-23, 10:49:05发表
Im[x^p y^q z^r exp(ip(a + b + c)) exp(i(Qb + Rc))]
= 0
其中做了假设, p <= q <= r, Q = q - p, R = r - p.
另外应用条件: Im(exp(ia + ib + ic)) = 0

这个地方能解释下吗?
好象不能直接得到0的结果

我也觉得

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#19

发表于 2005-10-23 14:17 资料主页短消息只看该作者

不好意思, 打错了.

Im[x^p y^q z^r exp(ip(a + b + c)) exp(i(Qb + Rc))]
= exp(ip(a + b + c)) Im[x^p y^q z^r exp(i(Qb + Rc))]
= 两变量不等于零的情况.

然后看后面证明即可.

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#20

发表于 2005-10-23 16:15 资料文集短消息只看该作者

第三题取正切后导麦克老林公式求tg8/145

严格意义上3，4题都应该无法判断，至少题目不严密。

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#21

发表于 2005-10-23 16:52 资料主页短消息只看该作者

西晋羊牯: 第四题有人说很简单，你问他吧．

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#22

发表于 2005-10-23 16:59 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由天宫公主于2005-10-23, 16:52:55发表
西晋羊牯: 第四题有人说很简单，你问他吧．

他是直接用两角和公式计算正切，但是有个问题，我们不能确定arctan(2005/1983) + arctan(1983/2005)的值，只能得出它的正切值。

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#23

发表于 2005-10-23 17:10 资料主页短消息只看该作者

第四题确实是初中水平．．．令ABC为一个直角三角形，且假设角ABC为直角．

注意：tan (CA

= CB/BA, tan (BCA) = BA/CB；而且<CAB+<BCA = Pi/2.

因此，对所有x>0都有：arctan(x) + arctan(1/x) = Pi/2.

故而，arctan(2005/1983)+arctan(1983/2005) = Pi/2.

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#24

发表于 2005-10-23 17:15 资料文集短消息只看该作者

你说arctan(2005/1983)+arctan(1983/2005)＝pi/2.我说他等于－pi/2或者3/2pi行不行？你又没说在三角形中。
底下一个你的计算题的帖子也有同样的问题。

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#25

发表于 2005-10-23 17:18 资料主页短消息只看该作者

楼上明白arctan 和 tan^(-1) 的区别吧?

tan^(-1) 的定义是tan的反"函数", 由于它的多值性, 它只有在黎曼曲面上才有严格的生存环境.

arctan 按最正规的定义, arctan(x) := 积分(0, ... , x ) 1/(1+t^2) dt. 然后, 可以证明在-Pi/2 < u < Pi/2的情况下, 以上定义的函数满足: arctan(tan(u)) = u.

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#26

发表于 2005-10-23 17:27 资料文集短消息只看该作者

查了一下，正切反三角函数规定了值域（-pi/2,pi/2），那就没问题了。

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#27

发表于 2005-10-23 17:28 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由天宫公主于2005-10-23, 14:17:19发表
不好意思, 打错了.

Im[x^p y^q z^r exp(ip(a + b + c)) exp(i(Qb + Rc))]
= exp(ip(a + b + c)) Im[x^p y^q z^r exp(i(Qb + Rc))]
= 两变量不等于零的情况.

然后看后面证明即可.

至此亦不能完全说明
因为这样的形式和后面是有区别的
你还没有得到与后面一步完全等价的结果哦

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#28

发表于 2005-10-23 17:30 资料主页短消息只看该作者

正切反三角函数(inverse sin, inverse cos, inverse tan, ...) 理论上说是没有规定值域的, 因为它根本就不该在欧氏空间里呆着. 弧三角函数(arcsin, arccos, arctan)是在欧氏空间有严格定义的, 它们都可以用一个勒比格积分来表达.

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#29

发表于 2005-10-23 17:31 资料短消息只看该作者

不过,也差不多能解决问题了
虽然烦琐了点,还是解决了问题的
要不要我公布一个比较简洁的证明办法啊

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#30

发表于 2005-10-23 17:33 资料主页短消息只看该作者

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原帖由俺是马甲于2005-10-23, 17:28:40发表

QUOTE:

原帖由天宫公主于2005-10-23, 14:17:19发表
不好意思, 打错了.

Im[x^p y^q z^r exp(ip(a + b + c)) exp(i(Qb + Rc))]
= exp(ip(a + b + c)) Im[x^p y^q z^r exp(i(Qb + Rc))]
= 两变量不等于零的情况.

然后看后面证明即可.

至此亦不能完全说明
因为这样的形式和后面是有区别的
你还没有得到与后面一步完全等价的结果哦

行吧行吧... 你爱怎么说怎么说吧.

想贴答案可以啊... 你把标准答案贴出来, 偶也见识见识.

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