概率问题 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2007-3-20 23:51 资料主页短消息只看该作者

概率问题

在一个圆上随便画一条 chord (中文不会说，就是顶端连接圆周的直线)，L。令三角形 ABC 为圆里可以画的最大的全等三角形。计算 L 比 ABC 任意一边要长的概率。

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#2

发表于 2007-3-21 03:16 资料个人空间短消息只看该作者

中文应该叫弦。圆里可以画的最大的全等三角形，不知道是什么意思？就当是三边相等，三个角都是60度的那种吧！

假设L起始于A点，L与BC成的角度可以为0到180度。
若该角度小于60度或大于120度，则L的另一段落于BC之外，则 L 比 ABC 任意一边都要短。
若该角度在60和120度之间，则L的另一段落于BC之间，则 L 比 ABC 任意一边都要长。

所以计算 L 比 ABC 任意一边要长的概率为33.33333%

[ 本帖最后由林冲于 2007-3-21 16:16 编辑 ]

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#3

发表于 2007-3-21 09:09 资料主页短消息只看该作者

用圆周长也可以证明，是1/3的概率。

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#4

发表于 2007-3-21 09:49 资料个人空间短消息只看该作者

如果公主题目中提到的全等三角形真的是指等边三角形的话,那我也觉得概率是1/3

PS:chord按照公主的描述来说应该是指弦吧?

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	lcarron78

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#5

发表于 2007-3-21 11:46 资料主页个人空间短消息只看该作者

圆上有无限个均匀分布的点，各有1/3在圆弧AB，BC，AC上。L(弦)始于A点止于BC则大于任一边。L的止点是随机，因此1/3落在BC上。证毕。

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	sobeit

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#6

发表于 2007-3-21 13:27 资料短消息只看该作者

首先,易证明在半径为R的圆中最大的等边3角型的边长为√3R,弦L的取值范围为［０，２R],根据几何概率模型,概率P=(2r-√3R)/2r=1-√3/2.

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#7

发表于 2007-3-21 21:58 资料主页短消息只看该作者

诸位有没有考虑过：弦长只与它到圆心的距离有关。因此满足要求的弦和与之垂直的直径的交点到圆心的距离必须大于1/2，而直径长为2，所以概率是1/2。

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#8

发表于 2007-3-21 22:48 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #7 天宫公主的帖子

可是1/3的结论是按圆周长算的，又错在那呢？

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#9

发表于 2007-3-22 04:49 资料主页个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 天宫公主 于 2007-3-22 01:58 发表
诸位有没有考虑过：弦长只与它到圆心的距离有关。因此满足要求的弦和与之垂直的直径的交点到圆心的距离必须大于1/2，而直径长为2，所以概率是1/2。

这个答案似乎是对应于这样一个问题：
从任一已知直径上随便作一与之垂直的的弦L，计算 L 比 ABC 任意一边要长的概率。

这个问题不等同于原题。

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	sobeit

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#10

发表于 2007-3-22 10:36 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 天宫公主 于 2007-3-21 21:58 发表
诸位有没有考虑过：弦长只与它到圆心的距离有关。因此满足要求的弦和与之垂直的直径的交点到圆心的距离必须大于1/2，而直径长为2，所以概率是1/2。

反对,L的测度只应该从L本身来考虑,你实际上是做了个映射将L的值域缩小到了半径的值域.

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#11

发表于 2007-3-22 11:04 资料个人空间短消息只看该作者

回公主我没考虑过用弦心距解决问题.答案1/3
以O为圆心做半径为1的圆.AB为任一直径,C,D分别是AO,BO的中点.CM垂直AB交圆于M,DN垂直AB交圆于N(MN在AB的同侧),在所有与AB垂直的弦中,符合条件的概率是弧MN/半圆=1/3而不是CD/AB=1/2.
所以答案是1/3.

[ 本帖最后由墨叶于 2007-3-22 11:13 编辑 ]

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#12

发表于 2007-3-22 12:40 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 sobeit 于 2007-3-22 10:36 发表

反对,L的测度只应该从L本身来考虑,你实际上是做了个映射将L的值域缩小到了半径的值域.

弦是由圆周上两点决定的不是用弦心距求得的

设圆周上有k个点共有C(k,2)=1/2*(k-1)k条弦 (1)
满足条件的弦的数量C(k,1)C(k/3,1)/2=1/2*(k/3)k (2)

(2)/(1)=(k/3)/(k-1) 求极限得1/3

[ 本帖最后由青木风亮于 2007-3-22 20:12 编辑 ]

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#13

发表于 2007-3-24 00:33 资料个人空间短消息只看该作者

同意楼上观点

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#14

发表于 2007-3-24 14:47 资料短消息只看该作者

应该是1/4
圆内的每一条弦都对应着一个中点（两者一一对应，也就是圆内任意一个点只是一条弦的中点），这样圆内的所有点（作为弦的中点）就一一对应（决定）了所有的弦。当中点在1/2半径内的时候，L大于等边三角形的边长，当中点大于1/2半径的时候，L小于等边三角形的边长。这样概率是pi*(r/2)^2/pi*(r)^2=1/4.既半径为r/2的小圆面积与大圆面积之比。感觉1/2，1/3答案看似有道理，其实不够严密，不一定哪里出了问题。

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#15

发表于 2007-3-24 17:20 资料短消息只看该作者

公主还在卖关子......

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#16

发表于 2007-3-24 17:26 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 风暴潮 于 2007-3-24 14:47 发表
应该是1/4
圆内的每一条弦都对应着一个中点（两者一一对应，也就是圆内任意一个点只是一条弦的中点），这样圆内的所有点（作为弦的中点）就一一对应（决定）了所有的弦。当中点在1/2半径内的时候，L大于等边三 ...

似乎圆内所有直径都对应同一个中点

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#17

发表于 2007-3-24 17:55 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 风暴潮 于 2007-3-24 14:47 发表
应该是1/4
圆内的每一条弦都对应着一个中点（两者一一对应，也就是圆内任意一个点只是一条弦的中点），这样圆内的所有点（作为弦的中点）就一一对应（决定）了所有的弦。当中点在1/2半径内的时候，L大于等边三 ...

反对
很多中点重复，比如所有的直径中点都在圆心上

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#18

发表于 2007-3-24 23:39 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 reynolds_wwy 于 2007-3-24 17:20 发表
公主还在卖关子......

嘿嘿。

1/3 的答案也没错，1/2 的答案也很合理，那么到底是哪里错了呢？

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	风暴潮

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#19

发表于 2007-3-25 19:28 资料短消息只看该作者

没考虑直径，失误

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#20

发表于 2007-3-26 09:01 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 sobeit 于 2007-3-22 10:36 发表

反对,L的测度只应该从L本身来考虑,你实际上是做了个映射将L的值域缩小到了半径的值域.

公主的做法有问题

弦到圆心的长度（弦心距）来测度弦出现的概率是不准确的。弦是以其所对应的弧度来定义的。弧度与弦长是一一映射关系，而弦心距的长度与弧长并不是一一映射的关系（也即其按弧度均匀划分时，并不是均匀分布的）。见下图：

d1、d2是被中点分割成两段的半径的两个部分。弦心距d落在d1内时弦长小于圆内接正三角形的边长，在d2内则大于。c1、c2、c3则是其对应的弧。落在c1内时，d落在d1内。大于c1，小于c1＋c2＋c3时，d落在d2内。

c1对应的角度是120度，c2＋c3对应的角度是60度，也即按弦心距长度考虑时d1：d2＝1：1，而按弧长考虑时，c1：c2＋c3＝2：1。

按弦的定义来看，弦是根据角度（弧度）定义的，不是根据弦心距定义的。所以按弦长来判断弦的几率也许更准确。这涉及到实数映射的问题吧。

[ 本帖最后由 whws 于 2007-3-26 09:34 编辑 ]

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#21

发表于 2007-3-26 09:25 资料短消息只看该作者

按弦心距是1/2，按角度是1/3。
如果按1度画一条弦，则这180条弦的角度差异是一样的，可弦心距差异是不一样的（非线型）。
粒度不同，结果自然不同。

这个问题貌似就演化成了类似于"0到1之间的数字多呢？还是0到100之间的数字多呢？"这样的问题。
没法比。至少我不知道怎么比。

还是等达人吧

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#22

发表于 2007-3-26 13:11 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 whws 于 2007-3-26 09:01 发表

公主的做法有问题

弦到圆心的长度（弦心距）来测度弦出现的概率是不准确的。弦是以其所对应的弧度来定义的。弧度与弦长是一一映射关系，而弦心距的长度与弧长并不是一一映射的关系（也即其按弧度均匀划分 ...

并不是映射的原因,而是对应的样本空间不一样,公主的样本空间是半径上的点的集合,你们的样本空间是圆周上任意两点的组合的集合,我考虑的样本空间是弦的集合.不同的样本空间有不同的结果,如果题目这样问:在半径为R的圆中,过半径上一点做半径的垂线,求弦长大于根号3的概率,那么1/2是对的,如果是在圆周上任取两点,求过这两点的弦的长大于根号3的概率,那么1/3是对的,,但是题目是任取一弦,求弦长大于根号3的概率,那么我认为应该这样考虑,首先将弦的集合划分为无穷个相等的子集Ai:Ai={任取直径i,圆内所有同直径i相平行的弦}.那么{A1,A2,A3....Ai}构成了原集合的等价划分.任取一个集合An,显然An中的弦被取中的几率是相等的,这些弦对应区间[-2r,2r]其中弦长大于√3的弦对应区间[√3-2r,2r-√3]
所以概率为1-√3.

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#23

发表于 2007-3-26 13:37 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 sobeit 于 2007-3-26 13:11 发表

并不是映射的原因,而是对应的样本空间不一样,公主的样本空间是半径上的点的集合,你们的样本空间是圆周上任意两点的组合的集合,我考虑的样本空间是弦的集合.不同的样本空间有不同的结果,如果题目这样问:在半径 ...

你是按照弦的长度来分的，可惜弦的长度变化并不是线型的。
如果按照点来选，那应该是公主的1/2

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#24

发表于 2007-3-26 20:21 资料主页短消息只看该作者

大家以为这个答案如何?

弦的中心点必须位于半径为1/2的同心圆之内才满足要求。而此圆的面积是大圆面积的1/4，故所求的概率是1/4.

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#25

发表于 2007-3-27 08:57 资料短消息只看该作者

公主开始折磨人了。
以我的理解，做个类比：
y与x相关。那么x在0-1之间时，y的值在0－0.5之间的概率是多少？
大家默认y=x，那就是0.5了。可是有人说，y=x^2也有道理啊，然后y=x^3也有道理啊。所以争论不出结果……

所以呢，我觉得园上的弦这个定义还不够精确。
1.圆上任意两点间的连线。
2.到圆心距离为r的直线被圆分割成的线段。
3.将圆分割成面积为1:x两个部分的直线被圆分割成的线段。
…………

大概要定义了这个，才能得出正确的概率吧。

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#26

发表于 2007-3-27 09:27 资料主页短消息只看该作者

楼上正解。没有陷阱，不折磨人的题也不轻易往外拿。

这个问题的关键就是“随便”这个词用得比较草率。我只举了三个例子，但其实这个问题的答案可以是(0,1)之间的任何一个数字(但不能是０或１)，无非有些解释主观上感觉比别的牵强，但从逻辑上都能站的住脚。

题外话：此问题被提出后，对１９世纪的概率学造成了相当的打击。它同时也给了 Kolmogorov 等人用测度论作为概率学严格定义的动机。

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#27

发表于 2007-3-27 10:39 资料短消息只看该作者

算你狠

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	lcarron78

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#28

发表于 2007-3-31 03:50 资料主页个人空间短消息只看该作者

回复 #26 天宫公主的帖子

公元0908年4月1日，路人丙扬言要杀路人丁，结果被告上法庭。路人丙辩解说，他是指在网游上杀，无罪。

题外话：次日，刑事法新增对“杀人”的严格定义：
1。杀人者必须作出某种行为，
2。这种行为必须是实质性的，
3。被杀者是存在于物质世界的人，
4。人的严格定义请参照刑事法某条，
5。杀人者的行为要对被杀者造成致死性的伤害，
6。死亡的严格定义请参照刑事法某条，
7。。。。。。。。

PS：公主出的这个题真的很糟糕。

[ 本帖最后由 lcarron78 于 2007-3-31 08:37 编辑 ]

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	reynolds_wwy

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#29

发表于 2007-3-31 14:17 资料短消息只看该作者

回复 #28 lcarron78 的帖子

很糟糕么？我觉得很好啊没这样的motivation说不定概率论就永远停留在古典概率模型上了

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	lcarron78

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#30

发表于 2007-3-31 18:33 资料主页个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 reynolds_wwy 于 2007-3-31 18:17 发表
很糟糕么？我觉得很好啊没这样的motivation说不定概率论就永远停留在古典概率模型上了

那个题真的很“糟糕”。

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