关于蠕虫悖论 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


	jidongshou (莴笋)

组别	士兵
级别	仁勇校尉
功绩	5
帖子	183
编号	45297
注册	2005-8-10
家族	瓦岗寨

#1

发表于 2006-8-27 17:09 资料个人空间短消息只看该作者

关于蠕虫悖论

这是基诺未能想出来的又一个悖论。一条蠕虫在橡皮绳的一端。橡皮绳长一米。蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行。
在1秒钟之后，橡皮绳就像橡皮筋一样拉长一米。再过一秒钟后，它又拉长为3米，如此下去。蠕虫最后究竟会不会达到终点呢？
根据直觉你会说：蠕虫绝不能爬到终点。可是，它爬到了。试试看，你是否能算出蠕虫要爬多远。
计算是这样的：
第一秒：蠕虫爬了全绳长的1/100，第二秒：蠕虫爬了全绳长的1/200……依次类推
于是，第n秒，蠕虫爬了全绳长的1/n*100
则在第2的k次方秒，蠕虫爬了全绳长的1/2的k次方*100
那么在2的k次方秒这个过程中，蠕虫爬了：
1/100＋1/200＋……＋1/2的k次方*100
将1/100提出后，原式变为：
1/100(1+1/2+1/3+……+1/2的k次方)
整理后得：
1/100[(1+1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+……+(1/{2的k-1次方加1}+……+1/2的k次方)]
为什么要这么整理呢？
试比较下面的式子和上面的式子：
1/100[1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+……+(1/2的k次方+……+1/2的k次方)]
很明显：下面的式子将上面的式子的许多数改小了，所以下面的式子比上面的式子小
我们还可以发现：下面的式子每一个括号里的和都为1/2
那么n个1/2相加为n/2，下面的式子为k个1/2相加，得k/2
当下面的式子等于1时，1+k/2=100,
k/2=99,k=198,
所以，k/2=198,蠕虫爬到了另一头。
这是完整的蠕虫悖论。
我的想法出现了一些问题，先删掉
但我觉得上述即悖论称述中的计算方法值得我们学习。
请大家分析一下。
打得我累死了……

[ 本帖最后由 jidongshou 于 2006-8-27 22:34 编辑 ]

[广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布


	KYOKO (★御姐控★)


	唐国公荆南节度使 ★★

组别	节度使
级别	大将军
功绩	1456
帖子	65615
编号	32
注册	2003-8-19
来自	BWL

#2

发表于 2006-8-27 19:19 资料个人空间短消息只看该作者

按上述解题方法，蠕虫爬了1/100+1/200=3/200,但是，2秒内，蠕虫爬了2cm,绳子长为2m,
其实2秒内蠕虫爬了全长的2/200=1/100,

这里有没有问题呢,2秒内虫子爬2cm?要知道,整根绳子变长为2m,那从起点到虫子现在位子那段绳子是否还是2cm?

[广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！


	jidongshou (莴笋)

组别	士兵
级别	仁勇校尉
功绩	5
帖子	183
编号	45297
注册	2005-8-10
家族	瓦岗寨

#3

发表于 2006-8-27 19:23 资料个人空间短消息只看该作者

这是一个值得讨论的问题
但可以这么假设，哪怕橡皮绳长1m,是每端长0.5m，照此说，蠕虫离绳子头距离是：
二秒：52/200
也不是3/200……
不过这样好像爬得更快

[ 本帖最后由 jidongshou 于 2006-8-27 19:53 编辑 ]

[广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布


	瓦灰

组别	校尉
级别	左将军
功绩	43
帖子	1299
编号	19585
注册	2004-10-26

#4

发表于 2006-8-27 19:55 资料主页文集短消息只看该作者

你的想法是错误的,因为绳子是均匀的,在爬过1CM后,绳子被拉长成200CM,那爬过的1CM同样也被拉长成了2CM.虫子爬过的路程会随着整条绳子的拉长而拉长.
你所说的计算方法应该是高等数学中最基本的求极限思想.

[广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！


	jidongshou (莴笋)

组别	士兵
级别	仁勇校尉
功绩	5
帖子	183
编号	45297
注册	2005-8-10
家族	瓦岗寨

#5

发表于 2006-8-27 20:18 资料个人空间短消息只看该作者

我觉得是要研究一下，我的想法是有问题

[广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌


	llloveee

组别	士兵
级别	忠义校尉
功绩	2
帖子	211
编号	15661
注册	2004-8-16
家族	轩辕狼党

#6

发表于 2006-8-27 21:56 资料短消息只看该作者

1/100[1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+……+(1/2的k次方+……+1/2的k次方)]
很明显：下面的式子将上面的式子的许多数改小了，所以下面的式子比上面的式子小
我们还可以发现：下面的式子每一个括号里的和都为1/2
那么n个1/2相加为n/2，下面的式子为2的k次方个1/2相加，得2的k次方/2

很明显这是错误的, 只有K个,没有K次方个,你还在念高中吧? 要细心, 高考中谨慎比思维能力强更能得分.

[广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布


	shareblue

组别	百姓
级别	破贼校尉
功绩	1
帖子	71
编号	74203
注册	2006-6-30

#7

发表于 2006-8-28 04:25 资料短消息只看该作者

就爬了1米! 呵呵
有点相对论的味道

[广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布


	jidongshou (莴笋)

组别	士兵
级别	仁勇校尉
功绩	5
帖子	183
编号	45297
注册	2005-8-10
家族	瓦岗寨

#8

发表于 2006-8-28 08:48 资料个人空间短消息只看该作者

其实并不只一米

[广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌


	瓦灰

组别	校尉
级别	左将军
功绩	43
帖子	1299
编号	19585
注册	2004-10-26

#9

发表于 2006-8-28 09:47 资料主页文集短消息只看该作者

1/100(1+1/2+1/3+……+1/2的k次方)
---------------------------------------------------------
最后那个1/2的k次方怎么得到的?
我觉得应该是(1+1/2+1/3+.....1/n),能否爬到终点其实就是求这个数列是否收敛,不收敛肯定能爬到,如果收敛收敛于大于100的数也能爬到,事实上这个级数是发散的,所以能爬到.

[广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌


	☆慕容泪☆ (岁月如飞刀)


	夏国公主 ★★

组别	翰林学士
级别	征东将军
好贴	10
功绩	590
帖子	5360
编号	36907
注册	2005-4-16
来自	广州
家族	慕容世家

#10

发表于 2006-8-28 11:55 资料主页个人空间短消息只看该作者

从另一个角度去想吧。第一秒结束前，虫爬了1cm，完成了1/100，第二秒，虫爬了2cm，线增至2m，完成了1/100，第三秒，虫爬了3cm，线增至3m，完成了1/100……………………感觉上就是永远只爬到总线长的1/100。
设y为线的长度，关于时间t的涵数为y=1t
x为虫爬过的长度，关于时间的涵数就为x=0.01t，令y=x，怎么会是t=0，奇怪～～

[广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌


	夜雨落枫 (欧阳枫)

组别	校尉
级别	安东将军
好贴	1
功绩	48
帖子	3224
编号	79763
注册	2006-8-20
家族	网络曹操传

#11

发表于 2006-8-28 12:49 资料个人空间短消息只看该作者

有点头晕……

[广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布


	妖狐


	仁信伯武信军节度使

组别	节度使
级别	左将军
功绩	199
帖子	1229
编号	5143
注册	2004-2-9
来自	涿州
家族	轩辕狼党

#12

发表于 2006-8-28 13:39 资料主页个人空间短消息只看该作者

假设绳长2cm
第一秒  爬了1 剩1
第二秒  绳长4
         爬了3 剩1
第三秒  绳长8
         爬了7 剩1
应该是无限接近于另一端

[广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌


	fy945

组别	百姓
级别	奋威校尉
功绩	1
帖子	102
编号	45383
注册	2005-8-12

#13

发表于 2006-8-28 13:50 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由妖狐于 2006-8-28 13:39 发表
假设绳长2cm
第一秒  爬了1 剩1
第二秒  绳长4
         爬了3 剩1
第三秒  绳长8
         爬了7 剩1
应该是无限接近于另一端

第3秒绳长8，错误，应为6。这才符合绳每秒增长2cm。

[广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布


	zhizhang

组别	百姓
级别	在野武将
功绩	0
帖子	7
编号	80092
注册	2006-8-23

#14

发表于 2006-8-28 14:45 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 fy945 于 2006-8-28 13:50 发表

第3秒绳长8，错误，应为6。这才符合绳每秒增长2cm。

错,绳长每秒伸长1 cm

[广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！


	fy945

组别	百姓
级别	奋威校尉
功绩	1
帖子	102
编号	45383
注册	2005-8-12

#15

发表于 2006-8-28 15:07 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 zhizhang 于 2006-8-28 14:45 发表

错,绳长每秒伸长1 cm

你看清楚，我是针对12楼的数据。

1楼绳增长是每秒1m=100cm

也不是1cm，拜托看题看清楚再给别人纠错……

[广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌


	KYOKO (★御姐控★)


	唐国公荆南节度使 ★★

组别	节度使
级别	大将军
功绩	1456
帖子	65615
编号	32
注册	2003-8-19
来自	BWL

#16

发表于 2006-8-29 01:12 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由妖狐于 2006-8-28 13:39 发表
假设绳长2cm
第一秒  爬了1 剩1
第二秒  绳长4
         爬了3 剩1
第三秒  绳长8
         爬了7 剩1
应该是无限接近于另一端

应该是对的,不管怎么说,至少1cm虫子过不去
离终点差1cm的时候,那1cm绳子又变成2cm了,虫子下回还是差1cm到终点...所以,永远到不了终点
可以不管虫子以前到底爬了多少

[广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布


	妖狐


	仁信伯武信军节度使

组别	节度使
级别	左将军
功绩	199
帖子	1229
编号	5143
注册	2004-2-9
来自	涿州
家族	轩辕狼党

#17

发表于 2006-8-29 01:56 资料主页个人空间短消息只看该作者

对不起诸位  我审题不清  我假设的是绳子伸长一倍的情况
再次假设
假设绳长2cm
第一秒  爬了1 剩1
第二秒  绳长4
         爬了3 剩1
第三秒  绳长6
         爬了3*3/2+1=5.5 剩0.5
第四秒  绳长8
         爬了5.5*4/3+1=8.14
我想推导下去假设绳长3cm 也是成立的，绳长100cm也是成立的
a成立  a+1也成立那么a+n也成立

[广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！


	fy945

组别	百姓
级别	奋威校尉
功绩	1
帖子	102
编号	45383
注册	2005-8-12

#18

发表于 2006-8-29 08:46 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由妖狐于 2006-8-29 01:56 发表
对不起诸位  我审题不清  我假设的是绳子伸长一倍的情况
再次假设
假设绳长2cm
第一秒  爬了1 剩1
第二秒  绳长4
         爬了3 剩1
第三秒  绳长6
         爬了3*3/2+1=5.5 剩0.5
第四秒 ...

这次就对了

楼主那道题是考察1/100+1/200+1/300+...+1/100n+...是否有极限，如果有，极限是否大于1，如果没有极限，或者极限大于1，那么蠕虫可以爬到终点；如果有极限并且极限不大于1，那么蠕虫就不能爬到终点。

事实上k=1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...的k是发散的(证略)，那么当n=1时的k/100也是发散的。故蠕虫可以爬到终点。

只要绳子有限长，匀速增长，蠕虫运输爬行。总能演变到k的某种线性变形……

[ 本帖最后由 fy945 于 2006-8-29 08:48 编辑 ]

[广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌


	瓦灰

组别	校尉
级别	左将军
功绩	43
帖子	1299
编号	19585
注册	2004-10-26

#19

发表于 2006-8-29 09:50 资料主页文集短消息只看该作者

事实上k=1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...的k是发散的(证略)，那么当n=1时的k/100也是发散的。故蠕虫可以爬到终点。
-----------------------------------------------------
思路是对的但出了点小错,k=1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...是收敛的,因为k<1/n+1/n+......1/n=1.
1+1/2+1/3+.....1/n才是发散的

[广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！


	fy945

组别	百姓
级别	奋威校尉
功绩	1
帖子	102
编号	45383
注册	2005-8-12

#20

发表于 2006-8-29 10:29 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由瓦灰于 2006-8-29 09:50 发表
事实上k=1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...的k是发散的(证略)，那么当n=1时的k/100也是发散的。故蠕虫可以爬到终点。
-----------------------------------------------------
思路是对的但出了点小错,k=1/n+1/(n+1)+1/( ...

我那个k是无限项之和，不是n项之和。

所以k还是发散的。

你那个k<1/n+1/n+...=1是n项，不是无限项，请明察。

也是我懒，应该写k=1/n+1/(n+1)+...+1/(n+m)+...，m充分大。

[广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！


	瓦灰

组别	校尉
级别	左将军
功绩	43
帖子	1299
编号	19585
注册	2004-10-26

#21

发表于 2006-8-29 10:42 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 fy945 于 2006-8-29 10:29 发表

我那个k是无限项之和，不是n项之和。

所以k还是发散的。

你那个k<1/n+1/n+...=1是n项，不是无限项，请明察。

也是我懒，应该写k=1/n+1/(n+1)+...+1/(n+m)+...，m充分大。

你的写法有是问题的,你没有定义n是什么,如果n也是无穷大呢?就会出现三种情况k→0,k→常数,k发散.

[广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布


	KYOKO (★御姐控★)


	唐国公荆南节度使 ★★

组别	节度使
级别	大将军
功绩	1456
帖子	65615
编号	32
注册	2003-8-19
来自	BWL

#22

发表于 2006-8-29 10:59 资料个人空间短消息只看该作者

怎么证明1+1/2+1/3+1/4...是发散的?

[广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布


	fy945

组别	百姓
级别	奋威校尉
功绩	1
帖子	102
编号	45383
注册	2005-8-12

#23

发表于 2006-8-29 11:09 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 KYOKO 于 2006-8-29 10:59 发表
怎么证明1+1/2+1/3+1/4...是发散的?

这个，就当是已知定论好了。没必要再去证明。没必要重复古人的工作。

[广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！


	瓦灰

组别	校尉
级别	左将军
功绩	43
帖子	1299
编号	19585
注册	2004-10-26

#24

发表于 2006-8-29 11:30 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 KYOKO 于 2006-8-29 10:59 发表
怎么证明1+1/2+1/3+1/4...是发散的?

这是很常见的一个级数,叫调和级数.
把e的x次方展开成幂级数,e的x次方=1+x+(x~2)/2!+(x~3)/3!+......+(x~n)/n!+......
所以e的1/x次方>1+1/x.
两边取对数得1/x>ln(1+1/x).
所以1+1/2+1/3+......+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+......+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+......+ln[(n+1)/n]=ln2x(3/2)x(4/3)x......x[(n+1)/n]=ln(n+1)
当n→+∞时,lim[ln(n+1)]→+∞,所以1+1/2+1/3+.....1/n是发散的.

[广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌


	瓦灰

组别	校尉
级别	左将军
功绩	43
帖子	1299
编号	19585
注册	2004-10-26

#25

发表于 2006-8-29 11:35 资料主页文集短消息只看该作者

证明方法都有许多种.

[广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌


	fy945

组别	百姓
级别	奋威校尉
功绩	1
帖子	102
编号	45383
注册	2005-8-12

#26

发表于 2006-8-29 12:23 资料短消息只看该作者

1/x的积分ln(x)无界；

简单代数法(n=2的k次方)：
1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+...+[1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n]+...
>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...+(1/2n+1/2n+...+1/2n)+...
=1+1/2+1/2+1/2+...+1/2+...
=∞

[广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布


	天宫公主 (司徒家的颖颖)


	虞国公主 ★

组别	限制发言用户
级别	大将军
好贴	6
功绩	517
帖子	11552
编号	1037
注册	2004-10-25
来自	天津
家族	司徒实业

#27

发表于 2006-8-29 12:26 资料主页短消息只看该作者

如果把蠕虫换成光子，那么我们得到的就是广义相对论中的奇点。

[广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌


	shareblue

组别	百姓
级别	破贼校尉
功绩	1
帖子	71
编号	74203
注册	2006-6-30

#28

发表于 2006-8-29 22:13 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 jidongshou 于 2006-8-28 08:48 发表
其实并不只一米

不断拉长的橡皮绳可以看做一个不断放慢的时空.虫子在这个时空是爬了不止1米, 但是如果以我们的时空为基准,如果虫子能爬到终点的话,就只爬了1米.....

[广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布