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标题: 一道数学题, 平面几何，好久没人发数学题
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木禾侯
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如下图，三角形ABC中AB=AC，在AB、AC上分别取点D、E，连接BE、CD相交于O，OD=OE，
证明：AO垂直于BC


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#2
发表于 2005-5-25 15:35 资料 主页 文集 短消息 只看该作者
好简单的一道初中数学题~~~将AO延长与BC相交于点F，证明三角形ABF和三角形ACF全等不就完了~~~~


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楼上两位不妨写一下过程
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#4
发表于 2005-5-26 00:36 资料 主页 文集 短消息 只看该作者
感觉没有那么简单，貌似缺少条件，至少应确定BOE,COD均在一条直线上。
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QUOTE:
原帖由阿鲁卡德于2005-05-26, 0:36:31发表
至少要证明三次三角形全等。感觉没有那么简单，貌似缺少条件，至少应确定BOE,COD均在一条直线上。

貌似缺少条件，至少应确定BOE,COD均在一条直线上

同意
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QUOTE:
原帖由lcarron78于2005-05-26, 7:26:04发表
貌似缺少条件，至少应确定BOE,COD均在一条直线上

同意

是在一条直线上

已修正
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假设AO垂直于BC，AOC=AOB，
得OB=OC，角ACO=角ABO，且角EBC=角DCB，
则EBC=DCB，再得BD=EC，
则BOD=COE，
得OD=OC
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QUOTE:
原帖由lcarron78于2005-05-26, 8:27:57发表
假设AO垂直于BC，AOC=AOB，
得OB=OC，角ACO=角ABO，且角EBC=角DCB，
则EBC=DCB，再得BD=EC，
则BOD=COE，
得OD=OC



QUOTE:
OD=OC

这个结论推不出来
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#9
发表于 2005-5-26 18:49 资料 主页 短消息 只看该作者
是不是只能用反证法？
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QUOTE:
原帖由青石于2005-05-26, 12:12:27发表

QUOTE:
原帖由lcarron78于2005-05-26, 8:27:57发表
假设AO垂直于BC，AOC=AOB，
得OB=OC，角ACO=角ABO，且角EBC=角DCB，
则EBC=DCB，再得BD=EC，
则BOD=COE，
得OD=OC

这个结论推不出来

OD=OE,打错了。
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QUOTE:
原帖由lcarron78于2005-05-27, 7:08:32发表

QUOTE:
原帖由青石于2005-05-26, 12:12:27发表
[quote]原帖由lcarron78于2005-05-26, 8:27:57发表
假设AO垂直于BC，AOC=AOB，
得OB=OC，角ACO=角ABO，且角EBC=角DCB，
则EBC=DCB，再得BD=EC，
则BOD=COE，
得OD=OC

这个结论推不出来

OD=OE,打错了。 [/quote]
这只是验证了这个题目没有问题

但是并没有证明这个题目
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#12
发表于 2005-5-27 19:32 资料 主页 文集 短消息 只看该作者
lcarron78 ，你的证明是错误的，你所证的是从结论出发证条件，

我一个同学提出了一种很不错的证法：
让D点在线段BA上滑动，先说明滑动过程中|OE|－|OD|的单调性，
据单调性可以证明仅当角DCB＝角EBC时有OE＝OD，
具体过程就不说了。
总的来说，这个方法有投机的嫌疑，  ，
我目前还没有想到仅利用初中几何并且不进行计算的简单证法；要是硬着用解析几何算，也就没有意思了。

另外，我想起我们统计物理老师提到的一个不好证的题：
已知三角形的两条角平分线（原文写成了对角线，失误   ）长度相等，证明为等腰三角形。
大家有兴趣的话可以去想想，^_^
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QUOTE:
原帖由冰血于2005-05-27, 19:32:18发表
已知三角形的两条对角线长度相等，证明为等腰三角形。

应该是角平分线

如果一个三角形的两个内角的角平分线长相等则该三角形是等腰三角形。

这个是Steiner-Lamus定理
直接的平面几何证法至今没有发现
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QUOTE:
原帖由重阳于2005-05-27, 22:53:45发表
时间长了，记性不行了，什么是三角形的对角线啊。

角平分线

估计是冰血写错了
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我自己也对我的方法有疑问。不能确定条件与结论之间的唯一性，那么从结论出发证条件的倒推法是错误的。原题和冰血的题我在高一的时候老师讲过，忘了究竟有没有解(高一的水平)。倒记得老师说越简单的题目越难证。
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#16
发表于 2005-5-29 07:33 资料 主页 文集 短消息 只看该作者


QUOTE:
估计是冰血写错了

确实是粗心写错了的，这两天为了考试的事弄得比较紧张，昨天终于结束了。

QUOTE:
我自己也对我的方法有疑问。不能确定条件与结论之间的唯一性，那么从结论出发证条件的倒推法是错误的。原题和冰血的题我在高一的时候老师讲过，忘了究竟有没有解(高一的水平)。倒记得老师说越简单的题目越难证。

我的同学给出的那种证明方法就是利用单调性对其唯一性进行说明的，可以说是对你的证法的一个补充。
只要满足唯一性，那你的证明过程就可以逆推了，  
对于“越是简单的题目越难”，这点我也深有体会的。
“简单”绝对不等于“容易”，
（同样“复杂”也绝不等于“难”，高考中现在往往就总是出现个别复杂但是不难的题，各位高中的朋友要有信心哦  ）
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#17
发表于 2005-6-1 08:40 资料 文集 短消息 只看该作者 QQ


QUOTE:
原帖由冰血于2005-05-27, 19:32:18发表
lcarron78 ，你的证明是错误的，你所证的是从结论出发证条件，

我一个同学提出了一种很不错的证法：
让D点在线段BA上滑动，先说明滑动过程中|OE|－|OD|的单调性，
据单调性可以证明仅当角DCB＝角EBC时有OE＝OD，
具体过程就不说了。
总的来说，这个方法有投机的嫌疑，  ，
我目前还没有想到仅利用初中几何并且不进行计算的简单证法；要是硬着用解析几何算，也就没有意思了。

另外，我想起我们统计物理老师提到的一个不好证的题：
已知三角形的两条对角线长度相等，证明为等腰三角形。
大家有兴趣的话可以去想想，^_^

晕，单调可是大学高数里的内容诶～～～

中学的话，想了半天，也不知道算什么还是反正法吧（汗！还是高数常用的分块的思想～）～～～

假设角ACD大于角ABE，

因为角ACD小于角ACB，所以角ACD为锐角

因为AB等于AC，角ACD大于角ABE，角BAC等于角BAC

所以AD大于AE

因为锐角ACD大于锐角ABE

角EOC等于角BOD，OD等于OE

所以CE小于BD

所以AB大于AC与已知不符

同理可得当角ACD小于角ABE时CE大于BD与一直不符

同理可得当角ACD等于角ABE时CE等于BD与一直相符

另：三角形哪里有对角线？？？
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#18
发表于 2005-6-1 14:26 资料 主页 文集 短消息 只看该作者
兄台很强，反证法确实是不错的思路，佩服一下  
高中按理应该对单调很了解的，
对初中数学，用通俗点的语言来讲解的话，单调并不过于高深。

另：不是对角线，是角平分线，一时失误^_^，前面的回帖解释过了。
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证明过程基本上是正确的

不过有点繁复
其实有一个更简单的方法

当然了，还是要用反证法
没有发现直接证法
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#20
发表于 2005-6-1 14:51 资料 文集 短消息 只看该作者 QQ


QUOTE:
原帖由冰血于2005-06-01, 14:26:33发表
兄台很强，反证法确实是不错的思路，佩服一下  
高中按理应该对单调很了解的，
对初中数学，用通俗点的语言来讲解的话，单调并不过于高深。

另：不是对角线，是角平分线，一时失误^_^，前面的回帖解释过了。

我怎么是上了大学才知道的单调性这个东西？？？我高考数学也考很好啊～～
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发表于 2005-6-1 15:36 资料 主页 文集 短消息 只看该作者


QUOTE:
原帖由義経と静御前于2005-06-01, 14:51:19发表

QUOTE:
原帖由冰血于2005-06-01, 14:26:33发表
兄台很强，反证法确实是不错的思路，佩服一下  
高中按理应该对单调很了解的，
对初中数学，用通俗点的语言来讲解的话，单调并不过于高深。

另：不是对角线，是角平分线，一时失误^_^，前面的回帖解释过了。

我怎么是上了大学才知道的单调性这个东西？？？我高考数学也考很好啊～～

敢说你高中做数学题肯定有过单调的方法，
只是那时没有明确用“单调性”这个称呼而已，也没有从微分这个角度来考虑。
单调是一种很朴素的思想，甚至小学数学中都有对它的简单应用。
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函数的增减性就是单调性

而且在数列极限的那一章还有选学内容，讲述导数基本知识的
（上述内容指教改以前的高中数学，现在的高中数学还要学微积分，更不用说了）

PS:
高考数学考得好并不表示数学学得好
不过，数学学得好，高考数学应该考得好（意外情况除外）
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loranrowe的证明基本上正确的

有些地方写得比较含糊
不过还是看明白了

就是证明满足题目条件的o点一定在顶角的角平分线上

不过运用了正弦定理
按照现在的课本
正弦定理是高一的内容

实际上，这个题只需要初二几何《三角形》这一章的内容+反证法就完全可以做出来
即使是按照loranrowe的方法
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发表于 2005-6-3 12:19 资料 短消息 只看该作者
现在高一还有平面内容？
我上中学的时候是初中讲完的
高一立几
高二解析几何
现在中学课本改太多了

另外，不要再卖关子了，写出答案吧
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QUOTE:
原帖由loranrowe于2005-06-03, 12:19:48发表
另外，不要再卖关子了，写出答案吧

这么久没人愿意写

那还是我写了  

我的方法是首先证明OB=OC
假设OB和OC不相等，不妨设OB>OC，则角BCO大于CBO， 于是角ACO小于角ABO
另一方面 在OB上取一点F 使OF=OC 则三角形DOF 全等于三角形EOC
所以角ECO=角DFO>DBO角 矛盾
从而OB=OC，又AB=AC，所以AO是BC的中垂线
故有AO垂直于BC
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