出一道题 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


	天痕


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#1

发表于 2005-1-6 05:34 资料主页个人空间短消息只看该作者

有N对夫妇跳舞，规定男士只能邀请女士跳舞，请问任何一对舞者都不是夫妇的概率有多大？
这个概率的极限是多少？

全对赏200通宝，对一题不得奖赏

懂德语的可以看下面的原题

An einer Feier nehmen n Ehepaare teil . Dabei wird den Maennern fuer den ersten Tanz zufaellig eine Tanzpartnerin zugeteilt .

1：Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafuer , dass bei N teilnehmenden Ehepaaren kein Ehemann mit seiner Ehefrau tanzt .
2：Was ist der Grenzwert der Wahrscheinlichkeit aus 2 .

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	金圭子


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#2

发表于 2005-1-6 09:12 资料文集短消息只看该作者

天痕是不是学医的？所以必须学德语？？？

感觉学了德语也过了几年了。现在was、ist、der这种还看的懂，其他的就◎_◎了

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	loranrowe

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#3

发表于 2005-1-6 11:05 资料短消息只看该作者

第一题是错排问题的变例，可以叫做错组问题？
第二题需要用到函数的麦克劳伦展开，没学过高数的估计想破头都解不出
答案就不给出了，通宝留给别人吧

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	青石 (临照轩)


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#4

发表于 2005-1-6 11:22 资料主页个人空间短消息只看该作者

任何一对舞者都不是夫妇的概率:1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+...+1/N!*(-1)^N
这个概率的极限是:当N趋向无穷大时，
1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+...+1/n!*(-1)^n+...
=1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+...+1/n!*(-1)^n+...
=1/e

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#5

发表于 2005-1-6 11:34 资料文集短消息只看该作者

岂不是如果1人答1题楼主就不用出钱了？特别一个是概率问题，一个是高数问题，很容易就是有人会前者不会后者，有人高数好但是概率不行的…………卑鄙啊 (;-_-)凸

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#6

发表于 2005-1-6 11:43 资料主页个人空间短消息只看该作者

大汗～～就会这一句了ich bin student，其他滴都还给老师了

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#7

发表于 2005-1-6 16:05 资料主页个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由青石于2005-01-06, 11:22:57发表
任何一对舞者都不是夫妇的概率:1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+...+1/N!*(-1)^N
这个概率的极限是:当N趋向无穷大时，
1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+...+1/n!*(-1)^n+...
=1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+...+1/n!*(-1)^n+...
=1/e

青石兄的答案对了，不过请把两问的步骤写详细一点，毕竟答案不是给我一个人看的。

回金圭子，我学的本是德语，英语的水平则羞于见人。

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#8

发表于 2005-1-6 16:42 资料主页文集短消息只看该作者

汗啊，答案看得我眼花……佩服死青石兄了。

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	最优停时

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#9

发表于 2005-1-6 16:56 资料主页文集短消息只看该作者

1、设事件 Ai 代表男i 恰邀到自己夫人， i=1, 2...n

2、则n对夫妇组合后至少有一对夫妇配对成功的概率记为 P(A1 U A2...U An)，于是原题即为求1- P(A1 U A2...U An)

3、P(A1 U A2...U An)=sigma P (Ai) - sigma P(AiAj) + sigma P(AiAjAk) ... +(-1)^(n-1) P(A1 A2...An)

代入:
P(Ai) = 1/n, sigma P (Ai) = C(n, 1)* P(Ai) = 1
P(AiAj) = 1/n(n-1), sigma P(AiAj)=C(n, 2)*1/n(n-1)=1/2!
P(AiAjAk) = 1/n(n-1)(n-2), sigma P(AiAjAk)=C(n, 3)*1/n(n-1)(n-2)=1/3!
....
P(A1A2...An) = 1/n!,

即得 P(A1 U A2...U An) = 1-1/2!+1/3!-...+(-1)^(n-1)*1/n!

4、于是原题所求概率为
1-P(A1 U A2...U An)= 1/2!-1/3!-...+(-1)^n*1/n!

极限倒是想不起来怎么求了。。。//blush

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#10

发表于 2005-1-6 17:42 资料主页个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由天痕于2005-01-06, 16:05:49发表

QUOTE:

原帖由青石于2005-01-06, 11:22:57发表
任何一对舞者都不是夫妇的概率:1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+...+1/N!*(-1)^N
这个概率的极限是:当N趋向无穷大时，
1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+...+1/n!*(-1)^n+...
=1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+...+1/n!*(-1)^n+...
=1/e

青石兄的答案对了，不过请把两问的步骤写详细一点，毕竟答案不是给我一个人看的。

回金圭子，我学的本是德语，英语的水平则休于见人。

呵呵

最优停时兄已经写了第一问的

至于第二问，因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+...
所以1/e=1-1/1!+1/2!-1/3!+...=1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+...+1/n!*(-1)^n+...

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发表于 2005-1-6 17:44 资料主页个人空间短消息只看该作者

这是概率论中很有名的匹配问题，在组合学中则叫做错位排列

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