初中时的猜测，求证 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2006-9-19 22:47 资料主页短消息只看该作者

初中时的猜测，求证

任意维度的欧氏空间中高底相同的锥形体积是柱形的维度数分之一

就是说：
一维：线段长度=1/1线段长度（等长度）
二维：三角形面积=1/2平行四边形面积（等底等高）
三维：锥体体积=1/3柱体体积（等底面积等高）
四维：四维锥体空间积=1/4四维柱体空间积（等底体积等高）
……
N维：N维锥体空间积=1/N*N维柱体空间积（等底N-1维空间积等高）

呃……表述得很不数学化，但愿有哪位大人看懂了并且给出证明（成立或不成立）
扔这里似乎也不合适，因为我不知道解答，算是请教问题
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#2

发表于 2006-9-20 10:36 资料主页短消息只看该作者

无论多少维，按你这个定义体积应该都是1/3. 目前正在考虑在什么定义下，体积会等于 1/n.

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#3

发表于 2006-9-20 11:36 资料主页个人空间短消息只看该作者

楼主不是说了空间积吗
只是不止道究竟如何定义

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	shadewither

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#4

发表于 2006-9-20 11:39 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 末日朝阳 于 2006-9-19 22:47 发表
初中时的猜测，求证

任意维度的欧氏空间中高底相同的锥形体积是柱形的维度数分之一

就是说：
一维：线段长度=1/1线段长度（等长度）
二维：三角形面积=1/2平行四边形面积（等底等高）
三维：锥体体积=1/3柱体体积（等底面积等高）
四维：四维锥体空间积=1/4四维柱体空间积（等底体积等高）
……
N维：N维锥体空间积=1/N*N维柱体空间积（等底N-1维空间积等高）

呃……表述得很不数学化，但愿有哪位大人看懂了并且给出证明（成立或不成立）
扔这里似乎也不合适，因为我不知道解答，算是请教问题
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可以成立的
证明无非是用归纳法证明一下
但是实际操作中稍有点问题就是体积的定义，是要认定某种现成的定义，还是自己定义一个

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	瓦灰

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#5

发表于 2006-9-20 14:47 资料主页文集短消息只看该作者

这个我还真不知道,你说的空间积不好定义,4维情况在高数中可以抽象成3维物体的质量(密度是某一函数),照你的猜想要密度是一个特定函数才能得出1/4,再加维度就不好定义了,多维情况我只学过希尔伯特空间,也不是学得很系统,在量子力学的教程中只是一笔代过,只会用基矢什么的来表表状态,具体怎么运算就不知道了(毕竟我也不是数学专业).

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	末日朝阳 (猫尾巴被踩)

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#6

发表于 2006-9-20 20:23 资料主页短消息只看该作者

楼上想复杂了，和密度没关系，纯粹是欧氏几何
我和4楼的影随想法差不多，就是不会证（可能是觉得太麻烦）
空间积我的意思就是：对于几何体所在空间占有的空间量
线段的空间积是长度，面的空间积是面积，体的空间积是体积……

还想到过0维空间（点？），负数维，无理数维，复数维……
我被自己搞晕菜了

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#7

发表于 2006-9-20 21:30 资料个人空间短消息只看该作者

恐怕得定义空间积是什么

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	shadewither

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#8

发表于 2006-9-26 23:29 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 蕭異嵐 于 2006-9-26 22:18 发表
用积分的方法算三维的底面不规则的椎体体积都很不好算的，因为底面面积元对应的高h不好求。

尽量简单地设想一下四维的情况吧，
四维时，暂取三维体积为半径为R的球（不知道取正方体会好算些不），设高为H，
...

其实这是定义，不是证明

椎体的高还是简单的，很容易写出n维的共式，用行列式

n维时：也可以不做积分反过来看
0。对锥体，那个积分是收敛的；
1。等底等高的锥体体积相等；
2。一个柱体可以分成n个体积相等锥体；
3。体积是唯一的。

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#9

发表于 2006-9-26 23:30 资料主页短消息只看该作者

楼上的上面同学
窃以为用解析几何+归纳法比微积分好得多

其实这只是个引子
底牌未翻

[ 本帖最后由末日朝阳于 2006-9-26 23:36 编辑 ]

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#10

发表于 2006-9-26 23:40 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 shadewither 于 2006-9-26 23:29 发表

其实这是定义，不是证明

椎体的高还是简单的，很容易写出n维的共式，用行列式

n维时：也可以不做积分反过来看
0。对锥体，那个积分是收敛的；
1。等底等高的锥体体积相等；
2。一个柱体可以分成n个体积 ...

我就是这意思
影随你算证出来了？
茫然不解中…………

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	shadewither

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#11

发表于 2006-9-27 03:10 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 末日朝阳 于 2006-9-26 23:40 发表

我就是这意思
影随你算证出来了？
茫然不解中…………

上面的n维体积还是通过n-1维重积分定义的

和2、3维差不多，这个“体积”对有限片“光滑曲面”构成的几何体应该是没有问题的

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#12

发表于 2006-9-27 18:47 资料主页短消息只看该作者

呵呵可能证明过程麻烦
我当时的另一个设想就是对n为球体的函数表示：
1维：x^2=a^2
2维：x^2+y^2=a^2
3维：x^2+y^2+z^2=a^2
4维：x^2+y^2+z^2+u^2=a^2
…………
N维：x^2+y^2+z^2+u^2+…………(N个参量的平方和)=a^2

后来还在高中语文课上（每堂课一人上去演讲5分钟题目自拟）说了这个
老师很寒很汗

不过我最终的底牌是：
欧氏几何扩展至a维（a为任意数）所形成的空间，有多少现有的欧式几何定理可适用？
比如：a维锥体空间积=1/a*a维柱体空间积(a=自然数分数无理数……只要是数)
以上纯属YY

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#13

发表于 2006-9-27 20:59 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 蕭異嵐 于 2006-9-27 17:25 发表
个人感觉欧氏空间体积应该理解为对应的N重积分，重新定义不见得必要。

这就算定义了嘛

QUOTE:

原帖由 蕭異嵐 于 2006-9-27 17:25 发表
相反，对于“高维椎体”的定义，我觉得不理解。
不知道是否可以将椎体抽象为：作高H的垂面截得的“截面”相似于底面（记垂点为M），并且截 ...

n维空间，n+1个点可以组成稳定的几何体，就是“锥体”

QUOTE:

原帖由 末日朝阳 于 2006-9-27 18:47 发表
呵呵可能证明过程麻烦
我当时的另一个设想就是对n为球体的函数表示：
1维：x^2=a^2
2维：x^2+y^2=a^2
3维：x^2+y^2+z^2=a^2
4维：x^2+y^2+z^2+u^2=a^2
…………
N维：x^2+y^2+z^2+u^2+…… ...

n维球体本来就是这么定义的

QUOTE:

原帖由 末日朝阳 于 2006-9-27 18:47 发表
后来还在高中语文课上（每堂课一人上去演讲5分钟题目自拟）说了这个
老师很寒很汗

老师不寒就不正常了<_<

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#14

发表于 2006-9-28 19:52 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 蕭異嵐 于 2006-9-27 23:07 发表

这个解释有问题的
圆椎不满足，三维空间中底面为不规则形状的也不满足
假设取三维立方体为四维椎体的底，貌似应该为9个顶点而非5个

影随说的是必要条件
唉……

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#15

发表于 2006-12-11 10:01 资料短消息只看该作者

这个问题也不难吧。
只要你承认在N维空间中，形状完全相同的东西
其体积与其线度的N次方成正比就行了。
（这东西其实可以用微积分的办法证明的，因为N维空间
中体积是N维积分，对每个积分变量进行一个伸缩就可以了
只是数学形式我不方便说，就这样讲了）
接下来就可以用锥体的定义证明平行于底面的任一
截面其形状与底面一样，其线度之比等于底面与截面到顶点的距离（即高）之比。
（这个高并不难定义，与直线到点和平面到点的距离定义完全一致）
然后就是用积分求体积了。呵呵。
设底面积是S，高为h，则柱体体积为：S*h
而锥体体积为S*(x/h)^(N-1)在0到h上的积分值，显然是1/N*S*h
所以可以证明结论是对的

[ 本帖最后由俺是马甲于 2006-12-15 15:40 编辑 ]

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发表于 2006-12-15 16:41 资料短消息只看该作者

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#17

发表于 2006-12-21 23:33 资料短消息只看该作者

用空间的内积来定义应该比较合适吧

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