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标题: 塌先生2005系列问题24 [打印本页]

作者: 塌鼻子先生 时间: 2005-7-15 10:13

1）（麦克斯韦/玻尔兹曼Maxwell-Boltzmann统计学模型）将2005个不同的球放入3个不同的盒子中，有多少种方法？

2）（玻色/爱因斯坦Bose-Einstein统计学模型）将2005个相同的球放入3个不同的盒子中，有多少种方法？

3）（费米/狄拉克Fermi-Dirac统计学模型）将2005个相同的球放入3个相同的盒子中，有多少种方法？

作者: kesin 时间: 2005-7-15 11:11

是否允许有空盒子？

如果允许：
1.因为球是不同的，等价于每个球依次丢入3个盒子中，则每步都有三种放法，由乘法原理共3^2005（幂）种放法。
2.球是相同的，等价于用2个不同的挡板将球分为3堆，无空盒时共有2004个位置可以放挡板，有C（2004，2）＝2007006种方法。再加上空盒的情况：1个空盒3x2004种方法，2空盒3种方法，所以共有2013021种方法。
3.和2类似，但是2里面的3堆是是不同的，也就是2是排过序的，所以无空盒时3有2007006/6=334501种方法，1空盒时1002种方法，2空盒时1种方法，所以共有335504种方法。

若不允许有空盒子：
2、3里面都已经有了结果。只看1。
若有1空盒，相当于先选定1个空盒，然后2005个不同球放入2不同盒中，但要去掉这2盒中又出现空盒的方法2种，为3x(2^2005-2)种方法。若有2个空盒有3种方法。所以无空盒的方法共为3^2005-3x(2^2005-2)-3种方法。

作者: 塌鼻子先生 时间: 2005-7-15 11:56

2与3不对，还要再想。

作者: kesin 时间: 2005-7-16 08:18

没想出来哪里出错了，给点提示吧。

作者: fengxv 时间: 2005-7-16 10:11

2、C（2005，3）×（3+3×2001）＝1341349010

作者: 塌鼻子先生 时间: 2005-7-16 15:31

回kesin君：

分配问题，如果没有特别指明，都是允许有空盒的。

下面把将M个相同的球放入N个不同的盒子的方法数记为B（M，N），把将M个相同的球放入N个相同的盒子的方法数记为F（M，N）。

容易知道，B（5，3）=21：
005，014，023，032，041，050，
104，113，122，131，150，
203，212，221，230，
302，311，320，
401，410，
500.

F（5，3）=5：
005，014，023，113，122.

作者: 英布之勇 时间: 2005-7-16 20:08

QUOTE:

原帖由kesin于2005-07-15, 11:11:50发表
2.球是相同的，等价于用2个不同的挡板将球分为3堆，无空盒时共有2004个位置可以放挡板，有C（2004，2）＝2007006种方法。再加上空盒的情况：1个空盒3x2004种方法，2空盒3种方法，所以共有2013021种方法。

3.和2类似，但是2里面的3堆是是不同的，也就是2是排过序的，所以无空盒时3有2007006/6=334501种方法，1空盒时1002种方法，2空盒时1种方法，所以共有335504种方法。

2没错吧，简单一点可以这样看：挡板有2006个放置点，然后一号挡板放在顶头的时候，二号有2006个放置点；一号若右移一个放置点，二号就剩2005个放置点……以此类推，最后总的放法数应该是2006+2005+2004+…+1=2013021

3没有考虑两个盒子中球数相同的情况，比如2003、1、1，这种情况下放在题目2的情况中算3种方法，所以全部除以6是不行的。题目3中，2005个球分出两盒子相等的情况一共1003种，所以最后放法数是(2013021-1003·3)/6+1003=336005

作者: 塌鼻子先生 时间: 2005-7-17 17:03

对的。

把将M个相同的球（ball）放入N个相同的盒子（box）中的方法数记为F（M，N）。
显然F（M，1）=1。
对于F（M，2），则有F（0，2）=1，F（1，2）=1，F（2，2）=2，F（3，2）=2，F（4，2）=3，F（5，2）=3，……一般地，F（2n，2）=n+1，F（2n+1，2）=n+1，最后，F（2004，2）=1003，F（2005，2）=1003。

对于F（M，3）显然要用递推方法。
把M个相同的球放入3个相同的盒子中，分为以下数种情况：
最少的一个盒子中球数为0。此时有F（M，2）种方法。
最少的一个盒子中球数为1，那就先拿三个球垫底，则有F（M-3，2）种方法。
最少的一个盒子中球数为2，那就先拿六个球垫底，则有F（M-6，2）种方法。
……
最少的一个盒子中球数为k，那就先拿3k个球垫底，则有F（M-3k，2）种方法。当然3k≤M。
于是F（2005，3）=F（2005，2）+F（2002，2）+F（1999，2）+…+F（4，2）+F（1，2）=336005。

作者: zeroideal 时间: 2005-8-15 07:58

统计物理的课本上有现成答案的，

作者: 青石 时间: 2005-8-15 10:22

QUOTE:

原帖由冰血于2005-08-15, 7:58:48发表
统计物理的课本上有现成答案的，

太坏了

何必说出来呢？

作者: 金圭子 时间: 2005-9-12 19:55

问一个其实毫无关系的问题…………………………………………

就是………………………………………………

为什么这题和下面这题：
http://www.xycq.net/forum/index.php?showtopic=63388
都是塌鼻子先生2005系列问题24呢？

另外，您在搞脑筋中的24题是红黄键摁到23那题，当然这两个论坛本来就没关系——因为其他也是如此——只是在搞脑筋看到一题，回来看这儿的时候，按照发帖人塌鼻子先生的顺序一排，啊哦，两个帖子标题一模一样？

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