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标题: 形式逻辑的死穴：无穷问题 [打印本页]

作者: zeroideal 时间: 2005-4-16 19:42

芝诺悖论

跑得最快的阿基里斯永远追不上爬得最慢的乌龟。大意是说甲跑的速度远大于乙，但乙比甲先行一段距离，甲为了赶上乙，须超过乙开始的A点，但甲到了A点，则乙已进到A1点，而当甲再到A1点，则乙又进到A2点，依次类推，直到无穷，两者距离虽越来越近，但甲永远在乙后面而追不上乙。古希腊的理性传统促生了柏拉图和亚里士多德这样的伟大的思想家，但芝诺悖论却让古希腊理性传统受到了致命的挑战，芝诺使得世人只能陷入这样的犹豫：逻辑，还是事实，这是个问题！

根号2悖论

毕达哥拉斯学派，这个曾今显赫一时的融数学、哲学、宗教于一体学派结果却是被一个名字叫作“根号2”的东西终结了。他们在做几何测量的时候发现一个问题：当等腰直角三角形的直角边等于1的时候，那么斜边是多少？绞尽脑汁推理计算也无法算出这个数来，但事实上这个由直角边为1的等腰直角三角形的斜边的存在是不可否认的。这个问题让迷信数字的毕达哥拉斯学派陷入了恐慌，为了保证学派的信仰的尊严，他们于是封锁消息，禁止成员向外泄露，据说一个泄露了这个秘密的人被无情地抛进了大海。在我们今天看来，其实很好解释，把毕达哥拉斯学派送上归路的其实正是无穷问题。

休谟悖论

我们看到的天鹅都是白的，能否得到结论：所有的天鹅都是白的？太阳从来都是从东方升起，我们能否肯定明天太阳一定从东方升起？休谟认为，不能。我们所得到的结论只能在我们的经验范围内有效，超出了我们的经验，我们完全不敢保证。休谟从经验主义原则出发得到了这样的结论：由培根所开创的归纳法并没有充足的理由得到任何全称命题。归纳法破产了，经验主义破产，归纳法和经验主义为什么会破产，就是因为它们遭遇了无限的问题。

作者: zeroideal 时间: 2005-4-16 19:44

贝克莱悖论

十七世纪后期，牛顿、莱布尼兹创立微积分学，成为解决众多问题的重要而有力的工具，并在实际应用中获得了巨大成功，然而，微积分学产生伊始就遭到了怀疑，原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上，而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。1734年，大主教贝克莱写了本《分析学家》的小册子，在这本小册子中，他十分有效地揭示了无穷小分析方法中所包含的这种逻辑矛盾。这就是所谓的“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为零的问题”就实际应用而言，它必须既是零，又不是零。而从形式逻辑角度而言，这无疑是一个矛盾。贝克莱悖论，动摇了人们对微积分正确性的信念，在当时数学界引起了一定混乱，从而导致了数学史上所谓的第二次数学危机。微积分产生后，一方面在应用中大获成功，另一方面其自身却存在着逻辑矛盾，即贝克莱悖论，也就是说，正确的（尤其是在几何应用上是惊人的）结果却是通过肯定不正确的数学途径得出的。这把数学家们推到了尴尬境地。

傅立叶悖论

微积分产生之初，对基础不牢的指责，以及由此引发的争论，一直就是微积分学奏出的光辉乐章中的不谐和音。然而在十八世纪，它被微积分应用中惊人的成功所赢得的震耳掌声暂时掩盖了。经过数学发明的十八世纪后，数学建筑扩大了，房子盖得更高了，而基础却没有补充适当的强度。十八世纪粗糙的，不严密的工作导致谬误越来越多的局面，不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。下面仅举一无穷级数为例。
　　无穷级数S＝1－1＋1－1＋1………到底等于什么？
　　当时人们认为一方面S＝（1－1）＋（1－1）＋………＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋………＝1，那么岂非0＝1？这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。他在得到

后，令=－1，得出S＝1－1＋1－1＋1………＝1／2！
　　由此一例，即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。问题的严重性在于当时分析中任何一个比较细致的问题，如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、高阶微分的使用以及微分方程解的存在性……都几乎无人过问。尤其到十九世纪初，傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。

柯西与康托尔的努力

柯西于1820年研究了极限定义，并创造性地用极限理论把微积分学中的定理加以严格的系统的证明，使微积分学有了较坚实的理论基础，同时柯西也因之成为加固微积分学基础的第一位巨匠。但柯西工作中仍存在着两点主要的不足。其一，他的极限定义用了描述性语言“无限的趋近”“随意小”，不够精确。这一点由德国数学家魏尔斯特拉斯给出精确描述数列极限的“ε-δ ”方法和函数极限的“ε-δ”方法，把微积分奠基于算术概念的基础上，获得了圆满解决。其二，他对单调有界定理的证明借助了几何直觉。魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系，这样数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。
　　康托尔以其集合论的成就被誉为对20世纪数学发展影响最深的学者之一。他从研究“收敛的傅立叶级数所表示的函数存在不连续”这一事实，提出无穷集合的概念，并以一一对应关系为基本原则，寻求无穷集合的“多少”关系。他把两个能一一对应的集合称为同势，利用势他将无限集进行了分类，最小的无限集为可数集a，即指与自然数集等势的无穷集。进一步，康托尔证明实数集的势c>a，一切实函数的势f>c,并且对任何一个集合，均可造出一个具有更大势的集合，即是说没有最大的势。鉴于此，1896年康托尔根据无穷性有无穷多学说，制订了无限大算术，对各种无穷大建立了一个完整序列，他用希伯来字母表中第一个字母阿列夫来表示这些数。于是，直至无穷。无穷集合自身又构成了一个无穷序列。这就是康托尔创立了超限数理论。康托尔的工作，在发表之初遭到许多人的嘲笑与攻击。克罗内克有句名言：上帝创造了自然数，其它都是人为的。他完全否认并攻击康托尔的工作，称“康托尔走进了超限数的地狱”，更有人嘲笑康托尔关于无穷的等级的超限数理论纯粹为“雾中之雾”。前后经过20余年，康托的工作才最终获世界公认，并赢得极大赞誉。罗素称赞说：“Cantor的工作可能是这个时代所能夸耀的最伟大的成就。”希尔伯特称其超限理论为“数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类智力的最美的表现之一。”康托集合论的提出标志了近代数学的开端。他的观点中，无穷集合是被看作一个现实的，完成的，存在着的整体，是可认识，可抓住的东西。

　极限理论、实数理论使微积分学建立在严格的逻辑基础之上，而实数论又可在自然数论和无穷集合论的基础上发展起来，进一步自然数论完全可在集合论中推出。这样一来，实数论的融贯性就归于集合论的融贯性，归结到集合论，看来数学绝对严格的目的要达到了。1900年在世界数学家大会上，著名数学家庞加莱郑重宣布：“现在我们可以说，数学最终的严格性基础已经确立了。”表达了数学家们欣欣自得的共同心情。尤其通过康托尔的工作，数学家们找到了营造数学大厦的基石：集合论。而他的无穷集合，也就成了数学家们的伊甸园。

作者: zeroideal 时间: 2005-4-16 19:46

罗素悖论

“集合论是有漏洞的！”正当数学家们在无穷集合的伊甸园中优哉游哉，并陶醉于数学绝对严格性的时候，一个惊人的消息迅速传遍了数学界，这就是1902年罗素提出的罗素悖论。
　　危机正是由康托尔研究的无限集合引发的。罗素构造了一个集合U，U由所有不属于自身的集合组成，U显然存在，但U是否属于自身呢？无论回答是否都将导致矛盾，这就是著名的罗素悖论。罗素悖论相当简明，以致几乎没有什么可以辩驳的余地动摇了整个数学大厦的基石：集合论。“绝对严密”“天衣无缝”的数学，又一次陷入了自相矛盾与巨大裂缝的危机之中。　　
危机产生后，包括罗素本人在内的众多数学家投入到解决危机的工作中去。1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统，使原本直观的集合概念建立在严格的公理基础之上，从而避免了罗素悖论的产生，在表层上解决了第三次数学危机。

实无限与潜无限

　　认真考察无穷在数学中的发展历程，可以注意到在数学无穷思想中一直存在着两种观念：实无限思想与潜无限思想。所谓潜无限思想是指：“把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。把无限看作为永远在延伸着的（即不断在创造着的永远完成不了的）过程。所谓实无限思想是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。数学中无限的历史实际上是两者在数学中合理性的历史。
　　亚里士多德只承认潜无限，使其在古希腊数学中占统治地位。文艺复兴时期后，实无限在数学中统治了三个世纪。17世纪下半叶，牛顿、莱布尼兹创立的微积分学也是以实无限小为基础的，在其理论中，无穷小量被看作一个实体,一个对象，正因此，早期微积分又被称之为“无穷小分析”。这种以实无限思想为据的理论在其产生后的一个世纪被广大数学家所使用，因而使这段时期成为实无限黄金时期。微积分被形容为一支关于“无穷的交响乐”。但由于当时人们对无穷小量概念认识模糊，导致产生了贝克莱悖论及一系列荒谬结果。在高斯时代，实无限已开始被抛弃了，尤其到了十八世纪末至十九世纪约百年时间中，随着重建微积分基础工作的完成，无穷小量被拒之于数学大厦之外，无穷小被看作实体的观念在数学分析中亦被驱除了，而代之以“无穷是一个逼近的目标，可逐步逼近却永远达不到”的潜无限观念。这种思想突出表现中现在标准分析中关于极限的定义中，并由此建立起了具有相当牢固基础的微积分理论，使得潜无限思想在这段时期深入人心。然而，到本世纪六十年代，A鲁滨逊创立的非标准分析，使无穷小量再现光辉，荣归故里，重新堂而皇之的登进数学的殿堂，而可与柯西的极限分庭抗衡了。尤其，在康托尔的无穷集合论中，体现的也是“无穷集合是一个现实的、完成的“存在着的整体”的实无限思想。标准分析与非标准分析的使用表明：用两种不同的无穷思想为据，采取不同的方式却可以得出完全相同的结果。这殊途同归的结局，意味着两种无穷思想可以相融共生。
　　在数学无穷发展历程中，我们已经看到征服无穷的路途中，悖论是一次次出现：芝诺悖论、贝克莱悖论、罗素悖论的出现即为例证。虽说，历经几百年，数代数学家的艰苦努力，建立的极限论、实数论、ZF公理系统解决了这些悖论及由此导致的危机。然而悖论的的清除，矛盾的回避也导致了数学确定性的一步步丧失。第三次数学危机只是于表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。希尔伯特曾企图用形式主义“一劳永逸地消除任何对数学基础可靠性的怀疑。”然而其一揽子解决方案在1930年哥德尔发现不完备定理后宣告付之东流了。哥德尔的工作使人们对无穷的认识又上升了一个层次。人们开始更深刻地明白：任何想一劳永逸解决无穷问题的努力是乌托邦式工作不可能成功。认识无穷、征服无穷之途本身就是个极限过程。

作者: 天宫公主 时间: 2005-4-16 19:52

好文，分析学的发展史基本就是这样的。

作者: 初九勿用 时间: 2005-4-16 19:53

問題是，到底有沒有無窮小和無窮大呢？
疑惑中

作者: adomson 时间: 2005-4-17 13:09

芝诺悖论讨论的问题其实是一个陷阱，既然甲的速度比乙快，不要局限于地点，从时间上看是可以追上的！！

作者: yanbbo 时间: 2005-4-18 18:11

楼主这些古代的驳论在现在基本上都有了很好的解释。

作者: superzz_0 时间: 2005-4-18 18:14

其实无穷大和无穷小的定义和上帝差不多．．．．．．．．就是直接给定义的．无法证明，但无法被驳倒．
为什么很多中国人能接受无穷的概念，但是不能接受上帝或者神的概念

作者: yanbbo 时间: 2005-4-18 18:14

1。芝诺悖论
极限问题（在一定时间内，快的无限接近慢的，至乃与之并肩）。用方程解的话，是个小学问题。

作者: 伶州鸠 时间: 2005-4-18 20:04

芝诺悖论的实质是偷换概念，相当于说“阿基里斯在追上乌龟之前的时间内是追不上乌龟的”，哈哈，这不是废话么？

作者: zeroideal 时间: 2005-4-19 13:10

关于芝诺问题，可以理解为该命题有效的时间范围是有限的。
这个命题在一段时间（例如取一定的参数值可以使这段时间为1+0.5+0.25......）中才是正确的，我怀疑他们当时可能不知道无穷正数列的和可以是有限大而不是无穷。

作者: 晨山尚书 时间: 2005-4-19 14:01

芝诺悖论确实不像悖论，感觉特牵强。无穷小和无穷大一直让人疑惑....

作者: 伶州鸠 时间: 2005-4-24 00:19

QUOTE:

原帖由冰血于2005-04-19, 13:10:58发表
他们当时可能不知道无穷正数列的和可以是有限大而不是无穷

这一点也许很有可能

作者: 蒹葭苍苍 时间: 2005-4-24 07:03

是位置。芝诺的问题是你远永不能达到乌龟的位置

作者: zeroideal 时间: 2005-4-24 13:50

位置和时间两个方面都是解得通滴

作者: 奇迹魔术师·杨 时间: 2005-4-24 16:50

芝诺悖论是说这两个物体的距离会不断减小，直到无穷小的0。

作者: 奇迹魔术师·杨 时间: 2005-4-24 16:51

那么无穷小的正数是0吗？

作者: 无知者 时间: 2005-4-24 16:54

芝诺悖论的问题在于无穷这个概念本身。在古希腊人那里，无穷意味着不可完成。所以自古以来，人们都认为不可能有现实存在的无穷。康托对此提出了挑战，不过，至今为止，这个问题并没有解决，仍在争议中。

作者: 陈本布衣 时间: 2005-4-24 17:06

0是无穷小量，但是无穷小不是0。
学过高数就知道，第一章的问题。

芝诺悖论用极限就可以解，高二数学水平就能完成。不存在争议。

通过这些悖论，我们应该明白一个道理，没有数学和物理学基础就研究哲学问题，是会闹笑话的。

作者: 奇迹魔术师·杨 时间: 2005-4-24 18:07

汗~~我初中还没毕业呢

作者: superzz_0 时间: 2005-4-24 18:36

其实在下认为，芝诺悖论的目的是为了说明逻辑的矛盾，问题本身其实不难

作者: zeroideal 时间: 2005-4-24 19:44

QUOTE:

原帖由陈本布衣于2005-04-24, 17:06:50发表
通过这些悖论，我们应该明白一个道理，没有数学和物理学基础就研究哲学问题，是会闹笑话的。

这个我倒不认为，倒是觉得，
数学和物理中很多东西都是不可靠的，需要我们用哲学的头脑去审视。
不懂多点哲学跑去搞数学或者物理会很郁闷滴

ps：本人物理系大三

作者: zeroideal 时间: 2005-4-24 19:49

QUOTE:

原帖由superzz_0于2005-04-24, 18:36:42发表
其实在下认为，芝诺悖论的目的是为了说明逻辑的矛盾，问题本身其实不难

是啊，事物往往需要我们从多个角度去审视

按照目前的极限理论，那个悖论完全不是什么矛盾，很好解释
但是，如果我们离开现在得数学体系，
纯粹从哲学角度解释无限个事物的总和是有限的，谈何容易啊

作者: 陈本布衣 时间: 2005-4-25 08:17

QUOTE:

原帖由冰血于2005-04-24, 19:44:40发表
这个我倒不认为，倒是觉得，
数学和物理中很多东西都是不可靠的，需要我们用哲学的头脑去审视。
不懂多点哲学跑去搞数学或者物理会很郁闷滴

ps：本人物理系大三

我严重同意要用哲学方式思考问题这种说法，但是同样认为物理数学知识不可少。虽然数学物理很多知识有局限性，但是不懂牛顿力学你能明白相对论？不懂欧氏几何你能明白黎曼几何？不懂旧的知识体系，就不可能创建新的知识体系，也就不可能更接近真理。
有哲学的思考方式和有扎实的物理学数学知识，并不矛盾。
很多大物理学家和数学家也都是哲学家嘛。

作者: zeroideal 时间: 2005-4-25 08:43

陈本兄，你说的很有道理，
事实上，我也认为哲学和自然科学是相辅相成的，自然科学懂得多一些应该是利于思考哲学的。
不过哲学史上有一些人物，他们对自然科学根本不懂或者知之甚少，他只作一些纯哲学（或是结合社会科学）的思考，然而提出的某些观点是很可取的。

当然，作为现代社会的一名，我们还是象陈本兄说的“全面发展”为好，毕竟懂哲学和懂自然科学并不冲突。

作者: superzz_0 时间: 2005-4-25 08:53

很多物理，数学家兼哲学家都认为，哲学是一切科学的基础，是所谓的方法论．因此严格意义上说哲学是超越文理界限的

作者: 陈本布衣 时间: 2005-4-25 09:28

QUOTE:

原帖由冰血于2005-04-25, 8:43:26发表
陈本兄，你说的很有道理，
事实上，我也认为哲学和自然科学是相辅相成的，自然科学懂得多一些应该是利于思考哲学的。
不过哲学史上有一些人物，他们对自然科学根本不懂或者知之甚少，他只作一些纯哲学（或是结合社会科学）的思考，然而提出的某些观点是很可取的。

当然，作为现代社会的一名，我们还是象陈本兄说的“全面发展”为好，毕竟懂哲学和懂自然科学并不冲突。

对啊，要是没有这些哲学家的“白痴问题”，那么，很多数学和物理知识就不会得到进一步的研究和探讨，那就更谈不上发展。
笑话不可怕，只要你在认真探讨，但是没有认真研究就闹笑话，那就是自身问题。

作者: mf48 时间: 2005-4-25 09:48

这些基本上都不能叫“悖论”，都是考虑不全面造成的。

作者: 潇湘暮客 时间: 2005-4-30 20:07

芝诺悖论
一看就觉得错，但是照作者的思维去思考，却却如其实

作者: auie32 时间: 2005-5-3 12:27

无穷大和无穷小，发明这2个数字的人了不起，或者这2个数已经不能叫做数了。

作者: jswing 时间: 2005-5-3 16:44

芝诺悖论看起来最简单,却是最本质的问题,决不是有的人认为的那么简单

作者: waitforyou 时间: 2005-5-6 14:35

QUOTE:

原帖由伶州鸠于2005-04-18, 20:04:02发表
芝诺悖论的实质是偷换概念，相当于说“阿基里斯在追上乌龟之前的时间内是追不上乌龟的”，哈哈，这不是废话么？

这位仁兄可谓一针见血啊

作者: Phil 时间: 2005-5-10 14:14

无穷大无穷小容易被理解是因为它们很容易被“证明”。简单地问自己一个问题：世界上最小的数字和最大的数字分别多少？

不预设任何前提的答案，肯定是：都没有。从这点，就可以反正出来无穷大和无穷小的概念的存在了。

而上帝则没有这么简单，要知道，即使是神学家，两千多年来论证上帝也没说出个所以然来。所以，按照奥卡姆剃刀法则，我们通常不认为上帝存在。

作者: 天宫公主 时间: 2005-5-10 14:16

还是Continuum hypothesis这个被证实“非真非假”结论的命题比较牛。有兴趣的可以google一下。

作者: 子夜飞箫 时间: 2005-5-11 07:41

QUOTE:

原帖由蒹葭苍苍于2005-04-24, 7:03:26发表
是位置。芝诺的问题是你远永不能达到乌龟的位置

是时间。此悖论的前提是在时间可以无限划分的情况下，勇士可以无限接近乌龟，而不能追上乌龟。

时间能否无限划分？这是个问题。

作者: 狄人杰 时间: 2005-5-11 10:26

罗素悖论导致元数学的产生。用已有的工具去证明更高级的理论......

作者: Sphynxyu 时间: 2005-5-11 14:31

好像记得其中大部分老师都提过，所以觉得好熟悉呢～～～
好贴！

作者: Sphynxyu 时间: 2005-5-11 14:33

QUOTE:

原帖由狄人杰于2005-05-11, 10:26:37发表
罗素悖论导致元数学的产生。用已有的工具去证明更高级的理论......

对对对！
有谁还记得尺规作图无法平分任意角度的证明？是不是用大型计算机证明的啊？

作者: 随波逐流 时间: 2005-5-13 10:47

QUOTE:

原帖由Sphynxyu于2005-05-11, 14:33:54发表
对对对！
有谁还记得尺规作图无法平分任意角度的证明？是不是用大型计算机证明的啊？

法国数学天才加罗华用代数方法证明的

作者: superzz_0 时间: 2005-5-13 19:15

QUOTE:

原帖由子夜飞箫于2005-05-11, 7:41:45发表
是时间。此悖论的前提是在时间可以无限划分的情况下，勇士可以无限接近乌龟，而不能追上乌龟。

时间能否无限划分？这是个问题。

同意这个说法，哲学上时间分割到无限就会产生很多问题，现在都没办法解释

作者: 子夜飞箫 时间: 2005-5-13 20:43

QUOTE:

原帖由Sphynxyu于2005-05-11, 14:33:54发表
对对对！
有谁还记得尺规作图无法平分任意角度的证明？是不是用大型计算机证明的啊？

“尺规作图无法平分任意角度”？怎么学的几何？

应该是无法“三等分”任意角吧？

作者: Sphynxyu 时间: 2005-5-14 09:38

QUOTE:

原帖由子夜飞箫于2005-05-13, 20:43:36发表

QUOTE:

原帖由Sphynxyu于2005-05-11, 14:33:54发表
对对对！
有谁还记得尺规作图无法平分任意角度的证明？是不是用大型计算机证明的啊？

“尺规作图无法平分任意角度”？怎么学的几何？

应该是无法“三等分”任意角吧？

阁下已经无敌了，我甘败下风。
关于“三等分任意角”（只用圆规和直尺）的问题，是两千年多年来中外数学家们久攻不克的难题。它同方圆问题（作一个正方形使其面积等圆的面积）、立方倍积问题（已知一个立方体，求另一个立方体，使它的体积等于已知立方体的两倍）一起称为“古希腊几何三大难题。”且分别于1837年、1882年被旺策尔、林德曼证明尺规作图是“不可能”的问题。
无法“三等分”任意角好像是初中数学吧？？！！
我都快受不了了，每次都这样，我都不敢回你的帖子了，这还不行？
惹不起我还躲不起吗？。。。。。。

作者: 5288123 时间: 2005-5-14 10:30

哈哈.楼上的说的有趣.

作者: 子夜飞箫 时间: 2005-5-14 10:36

QUOTE:

原帖由Sphynxyu于2005-05-14, 9:38:41发表

QUOTE:

原帖由子夜飞箫于2005-05-13, 20:43:36发表
[quote]原帖由Sphynxyu于2005-05-11, 14:33:54发表
对对对！
有谁还记得尺规作图无法平分任意角度的证明？是不是用大型计算机证明的啊？

“尺规作图无法平分任意角度”？怎么学的几何？

应该是无法“三等分”任意角吧？

作者: zeroideal 时间: 2005-5-14 11:02

QUOTE:

原帖由Sphynxyu于2005-05-11, 14:33:54发表
对对对！
有谁还记得尺规作图无法平分任意角度的证明？是不是用大型计算机证明的啊？

如随波逐流兄所说，用的是代数方法（近世代数，不是我们中学学的代数），
根据其中的群论的理论，证明这个并不是很难，
只是群论在数学史上出现得算比较晚了。

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