标题:
两个数字谈恋爱
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作者:
天宫公主
时间:
2005-1-26 19:14
有两个数字，甲和乙(均为负整数)，有一天他们聊天是说道，
甲：我的平方加上四倍的你，还是个完全平方数。看，我应该有四个象你这样的老婆。
乙：想的美啊你！我的平方加上四倍的你也是个完全平方数，我是否也应该有四个象你这样的丈夫？
假设男方是奇数，女方是偶数，通过这段对话，找出所有甲，乙的可能身份。
作者:
victorcheng333
时间:
2005-1-26 22:15
設其中一個是-x,另外一個是-y
x>y
x^2-4y=(x-2a)^2
y=ax-a^2
x>ax-a^2>0
因為x>ax-a^2
x<a^2/a-1,所以a=1或x<a+2
另外ax-a^2>0
x>a,所以a=1或a=x-1
兩種情況都得出y=x-1
而y^2-4x也是平方數,所以x^2-6x+1是平方數,
但若x>7,(x-3)^2>x^2-6x+1>(x-4)^2
所以x只能是1,2,3,4,5,6,7
當中只有x=6是解,而y=5
所以甲=-5,乙=-6
作者:
青木风亮
时间:
2005-1-27 16:19
x^2-4y=(x-2a)^2
这一步有点跳 应该有一个关于奇偶性质的说明
阐述不太完整 楼主使自己做的？
作者:
victorcheng333
时间:
2005-1-27 20:57
不太會打中文,所以....
這裡x^2-4y=(x-k)^2
所以4y=2b-b^2
所以b是偶數
這題我在去年做過,原題目還要分正負和正正的情況來考慮,煩得很呢
作者:
天宫公主
时间:
2005-1-27 22:58
victorcheng333答案正确. 嗯, 原题来自于1999年APMO的第四题, 要求找出所有的(M,N)满足M^2+4N, N^2+4M皆为完全平方数. 在下感到题目背景有些枯燥, 而且答案极为繁琐(我做时就因为一个情况忘记写了, 结果才得了3/7! 郁闷呐...), 故而对题目背景添油加醋了一下.
作者:
victorcheng333
时间:
2005-1-27 23:23
若不考慮正負,還有(0,t^2),(-4,-4),(t+1,-t)這幾組解...
To:天公将军
你也有參加數奧比賽呀?那我們有空可以交流一下
你今年三月會不會參加
APMO呢?
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