标题: 出几个有趣的级数问题 [打印本页]
作者:
天宫公主 时间: 2004-12-25 11:55
对下列求和:
1. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
2. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...
3. 1 + (-1/2 + 1/3 + 1/5) + (- 1/4 + 1/7 + 1/9 ) + (-1/6 + 1/11 + 1/13) + ...
4. (-1/2 - 1/4 - 1/6 + 1) + (-1/8 - 1/10 - 1/12 - 1/14 + 1/3) + ...
注: 第二, 三, 四题的答案差别很大!
5. 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...
6. 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 + 1/216 + ...
7. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + ...
注: 第六题难度很高!
作者:
疾风jf 时间: 2004-12-25 14:03
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
=1+(nxn-n-1)/(nxn-n)
作者:
青木风亮 时间: 2004-12-25 14:07
原帖由疾风jf于2004-12-25, 14:03:35发表
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
=1+(nxn-n-1)/(nxn-n)
过程 过程 过程 过程。。。。。。
作者:
疾风jf 时间: 2004-12-25 14:30
原帖由
青木风亮于2004-12-25, 14:07:29发表
原帖由疾风jf于2004-12-25, 14:03:35发表
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
=1+(nxn-n-1)/(nxn-n)
过程 过程 过程 过程。。。。。。
n=1 s=1 =1
n=2 s=1+1/2 =3/2 =1+1/2 =1+(1x2-1)/1x2
n=3 s=1+1/2+1/3 =11/6 =1+5/6 =1+(2x3-1)/2x3
n=4 s=1+1/2+1/3+1/4 =23/12 =1+11/12 =1+(3x4-1)/3x4
......................................
n=n s=1+{n(n-1)-1}/n(n-1)=1+(nxn-n-1)/(nxn-n)
作者:
青木风亮 时间: 2004-12-25 14:33
疾风可能还没学过数学归纳法
找些书看看 套一下吧
作者:
慕容血 时间: 2004-12-25 15:40
这几个题就不和大家抢了，高尚一把
作者:
天宫公主 时间: 2004-12-25 15:59
jf兄: 我以上列的求和可都是加到无穷的啊.
慕容兄: 我认为第六题难度还是相当高的, 不妨一试.
作者:
青石 时间: 2004-12-25 16:28
1. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
这个级数发散，如果非要说和，那就是无穷大
2. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...
=ln2
3. 1 + (-1/2 + 1/3 + 1/5) + (- 1/4 + 1/7 + 1/9 ) + (-1/6 + 1/11 + 1/13) + ...
=3ln2/2
4. (-1/2 - 1/4 - 1/6 + 1) + (-1/8 - 1/10 - 1/12 - 1/14 + 1/3) + ...
这个还没算出来 我猜和是0
注: 第二, 三, 四题的答案差别很大!
5. 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...
=pi^2/6
6. 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 + 1/216 + ...
该级数收敛，但是具体数值至今没有人算出来
7. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + ...
该级数发散，和是无穷大
作者:
天宫公主 时间: 2004-12-25 16:53
青石岭人: 1,2,5,6,7都对(不过我本来希望谁能算出第六题来...). 3, 4跟我想的答案不一样, 不过因为我没写下通向公式, 也怨不得. 3应该是正无穷, 4应该是负无穷.
对了, 有兴趣帖一下步骤/证明么?
作者:
瓦灰 时间: 2004-12-25 17:06
楼主啊,高数书上的有关级数的题都比你出的难.
作者:
天宫公主 时间: 2004-12-25 17:14
瓦灰: 我的前四题基本就是大一难度. 第五题稳近大二程度. 第七题一般大学本科课程里不应该讲过(除非你专业数学). 第六题尚为千古未解之题. 至少不觉得最后三题比高数课本里的简单, 若有不当之处, 还请指教.
但我想没学过级数的朋友们还是有希望硬算出来的, 计算以上级数的技巧都够灵活(例如, 第五题我见过十五种不同的证法*).
*相关文献: http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.pdf
作者:
青石 时间: 2004-12-25 17:34
3 4两题算错了？
呵呵 回头我再看看 学的东西太久没看 都忘的差不多了
具体过程 过段时间再写出来吧 如果有必要的话
作者:
瓦灰 时间: 2004-12-25 17:36
级数求和无非就是这几部:写通项引入幂级数判断敛散求和,求和方法比较多可以求极限,或者利用导数积分等求.
你出的题我没怎么细看有可能比较难,不过学过高数的人要求解应该不是什么难事.
作者:
青石 时间: 2004-12-25 17:37
原帖由天公将军于2004-12-25, 16:53:32发表
青石岭人: 1,2,5,6,7都对(不过我本来希望谁能算出第六题来...). 3, 4跟我想的答案不一样, 不过因为我没写下通向公式, 也怨不得. 3应该是正无穷, 4应该是负无穷.
对了, 有兴趣帖一下步骤/证明么?
如果谁能算出第6题，去申请数学博士学位应该没什么问题
我觉得
作者:
青木风亮 时间: 2004-12-26 19:08
《射规》说出题最好不要涉及大学内容
尽量在初等数学的范围内解决
作者:
潇湘暮客 时间: 2004-12-29 18:03
都用到发散和收敛及级数了，都是高等数学的
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