令∠POB=φ
由直角三角形OPB，有OP= OB/|cos∠POB|=|cos(j-i)θ|/|cosφ|=| sin [π/2-(j-i)θ|/|cosφ|=|sin[（2n+1）θ/2-(j-i)θ|/|cosφ|=|sin[（n-j+ i +1/2）θ|/|cosφ|
从OP=|cos(j-i)θ|/|cosφ|来看，i和j的大小顺序对计算结果没有影响，类似的，k、l的顺序也是一样，i<k<j<l的假设可以取消。
特殊地，当j- i = l-k时
k- i =l-j
AkAi=AlAj
又易知三角形AlPAj 和AkPAi 的三对角都相等，故两个三角形全等，PAi=PAl
由三角形AjOAi和AkOAl全等可知∠OAiP=∠OAlP
再由OAi=OAl 可知三角形POAi和POAl全等，
∠POAi=∠AlOP=∠AlOAi/2= (l- i)θ
∠POB=∠POAi-∠BOAi=(l- i)θ-(j-i)θ=（l-j）θ
OP=|sin（n-j+ i +1/2）θ|/|cosφ|=| sin（n-j+ i +1/2）θ|/|cos（l-j）θ|
二、构造小正多边形
令AiAi+n（当下标>2n时等效于减去2n+1，以下略）与Ai+1Ai+n+1交于Pi点
Pi与P(i+1)同处于对角线A(i+1)A(i +1+n)上，因此P0P1……Pi……P2n由对角线连成一个2n+1边形。
用上面的方法计算OPi，
此时j= i +n，k= i +1，l= i +1+n，j- i =l-k
故OPi= | sin (（n-j+ i +1/2）)θ|/|cos（l-j）θ|=sin（θ/2）/ cosθ
先看两条对角线AiAj、AkAl中至少有一条不符合条件AiAi+n，，令AiAj不符合且i<j。显然j- i不等于n
另对j- i = n+1，实际上AiAj就是AjAj+n，因此j- i也不是n+1。
即1<j- i <n或n+1< j- i<2 n
OP= | sin (（n-j+ i +1/2）)θ|/|cosφ|>= | sin (（n-j+ i +1/2）)θ|>= sinθ
对正五边形，所有对角线都是PiP(i+1)，因而此时2n+1>=7，θ=π/（2n+1）<=π/7，cos(θ/2)cosθ>1/2
OP>= sinθ=2sin(θ/2)cos(θ/2)> sin(θ/2)/cosθ
再看AiA(i+1)之间的其他交点，令AsA(s+n)与PtP(t+n)交于P，t>s且1<t-s<2n
OP = | sin (（n-j+ i +1/2）)θ|/|cos（l-j）θ| = sin(θ/2)/| cos（t-s）θ|> sin(θ/2)/cosθ
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