标题: 都是对联 来道数学题目 [打印本页]
作者:
青木风亮 时间: 2004-10-19 13:05
在水区出了小题一道 没想到这么快就被解了 看来轩辕网友真是人才济济啊！
再来一道稍难一点的 也是小弟高中做过的 用的知识很浅显
现有凸n边形 连接其所有对角线 没有任意三条或三条以上交于一点 请问这些对角线将多边形内部分成多少个区域？
exp:4边形 4个区域
作者:
梓庭君 时间: 2004-10-19 13:32
这种理科题在这个文科园地估计有难度。
作者:
花影吹笙 时间: 2004-10-19 14:16
没错，我初中平面几何差极了，直到高中学立体几何才好歹争回了些面子，可能是我的逻辑能力比较差，但幸好空间想象能力不错。有点遗传因素在里面吧，要不就是胎教，我妈生我那会儿还在画建筑图哪。
作者:
独孤烈云 时间: 2004-10-19 14:48
该死~~
问我这个数学曾经考了12分的人，你不如拿把柴刀把我幺了！
作者:
梓庭君 时间: 2004-10-19 14:52
原帖由花影吹笙于2004-10-19, 14:16:50发表
没错，我初中平面几何差极了，直到高中学立体几何才好歹争回了些面子，可能是我的逻辑能力比较差，但幸好空间想象能力不错。有点遗传因素在里面吧，要不就是胎教，我妈生我那会儿还在画建筑图哪。
有同感，握手ing。
原来令堂是我等前辈啊，失敬。
作者:
花影吹笙 时间: 2004-10-19 14:55
不敢~~
咳~~我爸妈是我校友，他俩是同学。
作者:
梓庭君 时间: 2004-10-19 15:06
原帖由花影吹笙于2004-10-19, 14:55:52发表
不敢~~
咳~~我爸妈是我校友，他俩是同学。
哇塞，更是“将门虎女”“家学渊源”啊！
佩服！
作者:
kesin 时间: 2004-10-19 16:14
假设k边形分成的区域为f(k)，再增加一个顶点，A(k+1)，考虑对角线A(k+1)Ai，一侧有A1，…，A(i-1)共i-1个顶点，另一侧有A(i+1)，…，Ak共k-i个顶点，两侧之间的点连线，可得A(i+1)Ai与前k边形A1A2…Ak的边及对角线共有(i-1)(k-i)个交点（任三点不共线），这些交点把对角线A(k+1)Ai分成(i-1)(k-i)+1条互不重叠的小线段，每条小线段都把所在的区域一分为二，区域增加了(i-1)(k-i)+1块，取i=1，2，…，k求和，得增加的区域一共为：
f(k-1)-f(k)=(k^3-3k^2-8k)/6。
又由f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+...[f(5)-f(4)]+f(4)及f(4)=4得：
f(n)=(n^4-6n^3+23n^2-42n+24)/24
所以分成的区域为(n^4-6n^3+23n^2-42n+24)/24
作者:
周瑜 时间: 2004-10-19 18:04
1.应该是正的凸n边形吧。
2.另外问一句，不知是否允许三条对角线交于某顶点，即从某顶点引出三条或以上的对角线。
3.原来题理解错误，我以为是正凸多边形，不能用全对角线以防三条以上交于一点，用尽可能多的对角线能分成几部分。
作者:
青木风亮 时间: 2004-10-19 19:00
原帖由周瑜于2004-10-19, 18:04:33发表
应该是正的凸n边形吧。
另外问一句，不知是否允许三条对角线交于某顶点，即从某顶点引出三条或以上的对角线。
不是正多边形
允许啊
作者:
青木风亮 时间: 2004-10-19 19:14
原帖由kesin于2004-10-19, 16:14:10发表
假设k边形分成的区域为f(k)，再增加一个顶点，A(k+1)，考虑对角线A(k+1)Ai，一侧有A1，…，A(i-1)共i-1个顶点，另一侧有A(i+1)，…，Ak共k-i个顶点，两侧之间的点连线，可得A(i+1)Ai与前k边形A1A2…Ak的边及对角线共有(i-1)(k-i)个交点（任三点不共线），这些交点把对角线A(k+1)Ai分成(i-1)(k-i)+1条互不重叠的小线段，每条小线段都把所在的区域一分为二，区域增加了(i-1)(k-i)+1块，取i=1，2，…，k求和，得增加的区域一共为：
f(k-1)-f(k)=(k^3-3k^2-8k)/6。
又由f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+...[f(5)-f(4)]+f(4)及f(4)=4得：
f(n)=(n^4-6n^3+23n^2-42n+24)/24
所以分成的区域为(n^4-6n^3+23n^2-42n+24)/24
kesin强啊 是学信息技术的？ 不愧为护国大将军
不过这只是一种解法 且是较繁的一种解法 当初我用这种方法算得头都大了（小弟我运算能力不强 ）
其实这种方法用的是递推数列 在大学的《组合数学》中才有较详细地阐述 对于高中生和初等数学学习者来说恐怕有些难了 像我如果没看过这类书就想不到这种解法（高中时闲得无聊 ）
那么我就奉上300通宝吧 钱是小事 面子事达 万望笑纳
作者:
青木风亮 时间: 2004-10-19 19:20
原帖由滑膛炮于2004-10-19, 14:52:49发表
有同感，握手ing。
原来令堂是我等前辈啊，失敬。
我也来一个
作者:
kesin 时间: 2004-10-19 22:14
这个方法确实麻烦了点，不过谈不上用大学的知识吧？其核心就是高中的数学归纳法。
期待更简便的解法。
作者:
士风 时间: 2004-10-20 12:34
兄台这样太过分了吧。这是舞文弄墨的地方，出些趣味性的迷题尚可，可像这种纯数学的就算了吧。
btw,高考前这种题做的太多了，简单的排列组合，不用递推。
作者:
青木风亮 时间: 2004-10-20 21:48
原帖由士风于2004-10-20, 12:34:27发表
兄台这样太过分了吧。这是舞文弄墨的地方，出些趣味性的迷题尚可，可像这种纯数学的就算了吧。
btw,高考前这种题做的太多了，简单的排列组合，不用递推。
简单的？
兄台你能不能演示一下？
还有 高考绝对不会出这种题 如果出可以给90分一道
至于场所 是因为斑竹子龙兄的意见我才把这类题发到这里来的 本来我是发在水区的
喜欢做就做吧 不喜欢就不甩我或者随便逛逛
如果要来踢馆的话就请你老兄赐教了 不要光会说简单哦
作者:
士风 时间: 2004-10-22 11:45
没别的意思只是觉得放在这里不太妥,但要是斑竹说的,那就没话说了.不过这种纯数学的题趣味性确实不高呀!
解法如下:
1.n边形对角线交点数为A=C(n,4)
2.n边形对角线所有交点和顶点的连线将多边形分成小三角形数Ｂ＝[360*A+180(n-2)]/180=2A+n-2．（只要再减去不在同一对角线上交点的连线划分的区域数即为所求）
3.围成所有小三角形的线段数为Ｃ＝(3*B+n)/2
4.n边形所有对角线将多边形分成的小线段数为Ｄ＝[A*4+n*(n-3)]/2
5.不在同一对角线上交点的连线数Ｅ＝Ｃ－Ｄ
６．所求区域Ｑ＝Ｂ－Ｅ
看似步骤繁多，但每一步都是定式，不象其他类数学题每一题的方法还要现想，所以隔了这么多年还记得怎么做，故而脱口说了句＂简单＂．青木兄，语有得罪之处还请见谅．不过我们高考前确实是这类题做了很多．
作者:
青木风亮 时间: 2004-10-22 22:45
好 下面是正解
设n边形内部分别有三角形，四边形，...，m边形 N3,N4,...,Nm个
1)n边形内每个区域的顶点数累加
3N3+4N4+...mNm=4C(n,4)+2n+n(n-4)
2)n边形内每个区域的内角和累加
180N3+360N4+...(m-2)180Nm=360C(n,4)+180(n-2)
即N3+2N4+...(m-2)Nm=2C(n,4)+n-2
3)上两式相减
2(N3+N4+...+Nm)=2C(n,4)+n+n(n-4)+2
即N3+N4+...+Nm=C(n,4)+(n^2-3n)/2+1
只有三步
作者:
周瑜 时间: 2004-10-22 22:47
高，实在是高。
作者:
发条 时间: 2004-10-22 22:57
原帖由青木风亮于2004-10-22, 22:45:27发表
下面是正解
设n边形内部分别有三角形，四边形，...，m边形 N3,N4,...,Nm个
1)n边形内每个区域的顶点数累加
3N3+4N4+...mNm=4C(n,4)+2n+n(n-4)
2)n边形内每个区域的内角和累加
180N3+360N4+...(m-2)180Nm=360C(n,4)+180(n-2)
即N3+2N4+...(m-2)Nm=2C(n,4)+n-2
3)上两式相减
2(N3+N4+...+Nm)=2C(n,4)+n+n(n-4)+2
即N3+N4+...+Nm=C(n,4)+(n^2-3n)/2+1
只有三步 比我想的思路简单多了。
作者:
青木风亮 时间: 2004-10-22 23:36
下面我对此提来一个小结 ：
1)kesin的解法采用了递推数列，如果你有相应知识的话，这种方法比较容易想到，但是运算量很大 terrible。。。 想当年。。。
2)士风兄和我一样都是对自己很有自信的人 握手握手
你的解法好像是有悠久历史的 小弟才参加过高考没几年 从来没经过这样的训练 说实话我当初拿到这道题是很棘手的
你的解法提供了较多信息，最关键处是同时从点和角两方面考虑，精彩！不过相对于所求来说在运算过程中有些信息是冗余的
看来研究高考的老师们还是很踏实的园丁啊 按部就班
私下说一下：问题还是那样 关键看我们怎么去想 对吗？(<--臭屁 )
3)小弟的解法很偷懒 围绕最终所求思考 所以侥幸成功
以后我会出一些技巧性趣味性更强的题目（看了该区的许多帖子以后 我会更加注意题目的包装 ） 支持的跟帖啊！（小弟我也有两年没碰数学了 现在专门涂鸦 大家可不要谦虚啊）
作者:
湘江子龙 时间: 2004-10-23 15:32
青木兄弟请把现在这个贴另发吧，做另一组题目好了。
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