标题: 求教一个数学问题， [打印本页]
作者:
ptcn 时间: 2014-10-29 23:04 标题: 求教一个数学问题，
把求和式
Σ cos(wt+An)
表示成单一的正弦或余弦函数的形式cos(wt+Xn)
其中求和是对n进行。
作者:
三鬼夏树 时间: 2014-10-29 23:21
傅里叶变换公式？
抱歉完全看不懂....
真是感觉我的未来是一坨屎.....
作者:
3_141592653589 时间: 2014-10-30 14:04
这个不是傅立叶变换，傅立叶变换是频率分解，pt这个的变量是相位。
pt你用欧拉公式，把cos(wt+An)换成(e^i(wt+An)+e^-i(wt+An))/2
有误，删除：
[strike]然后你就会发现，除非你的相差A是pi/2的整数倍，否则你的要求不可能达成。
别说n个叠加了，你用2个相加就能得到这个结论。[/strike]
[ 本帖最后由 3_141592653589 于 2014-10-31 11:12 编辑 ]
作者:
ptcn 时间: 2014-10-30 20:35
原帖由 3_141592653589 于 2014-10-30 14:04 发表
这个不是傅立叶变换，傅立叶变换是频率分解，pt这个的变量是相位。
pt你用欧拉公式，把cos(wt+An)换成(e^i(wt+An)+e^-i(wt+An))/2
然后你就会发现，除非你的相差A是pi/2的整数倍，否则你的要求不可能达成。
...
这个题居然N久没人应，好不容易你应了又是这样的结论。
不过咱设想了一种方法：
Σ cos(wt+An)＝Σ (coswt*cosAn-sinwt*sinAn)
=coswt*ΣcosAn-sinwt*ΣsinAn
令：
ΣcosAn＝BcosX
ΣsinAn=BsinX
则原式＝BcosXcoswt － BsinXsinwt = Bcos (wt + X)
对否？
有问题没有。
原题可以代表有相位关系的多个点n的振动效应。
作者:
ptcn 时间: 2014-10-30 20:49
因为这等于是说：多个不同相位的同频率振动可以叠加成一个单一的正弦振动，
所以，咱还是觉得有点不踏实。
还有没有高手发表意见？
作者:
muzhi 时间: 2014-10-30 21:15
合起来就是正弦吧
搞电路算交流电时不都这样么——虽然印象中一般是直接用复数算
也可以求出确切相位：
cos(wt+An) = (e^i(wt+An)+e^-i(wt+An))/2
则
Σ cos(wt+An)
= (e^iwt/2 * Σ (e^iA)^n) + (e^-iwt/2 * Σ (e^-iA)^n)
= (e^iwt/2 * (1 - e^iAN)/(1 - e^iA)) + (e^-iwt/2 * (1 - e^-iAN)/(1 - e^-iA))
= (1 - e^iAN)/(1 - e^iA) * e^(-iA(N-1)/2) * (e^i(wt + A(N-1)/2) + e^-i(wt + A(N-1)/2))/2
= B * cos(wt + A(N-1)/2)
其中 B = (1 - e^iAN)/(1 - e^iA) * e^(-iA(N-1)/2) = (e^-iAN/2 - e^iAN/2)/(e^-iA/2 - e^iA/2) 是实数
以上按n=0,...,N-1
我也十几年没算过了，楼主你也再检查一下吧……
[ 本帖最后由 muzhi 于 2014-10-31 08:36 编辑 ]
作者:
Liongareth 时间: 2014-10-31 10:43
靠，看到这些公式才发现以前学的全还给老师了。
作者:
3_141592653589 时间: 2014-10-31 11:16
回复 #5 ptcn 的帖子
我后面想错了，当时拍脑门想当然觉得做不下去，其实按木之的思路是可以做下去的。
回复 #6 muzhi 的帖子
[strike]大体没问题，中间好像应该有一次变号，出来的应该是(e^i(wt + A(N-1)/2) - e^-i(wt + A(N-1)/2))/2 = i * sin(wt + A(N-1)/2)
这样的话那个B似乎是个纯虚数。
叠加和积分很像，积分cos出来是sin，那叠加出来的应该也是。[/strike]
[ 本帖最后由 3_141592653589 于 2014-10-31 12:18 编辑 ]
作者:
muzhi 时间: 2014-10-31 11:30 标题: 回复 #8 3_141592653589 的帖子
你这个变号是没有的……
你可以把N=1代入试一试……
一组实数加起来也不会是纯虚数啊……
这么做确实繁琐了……
如果真有必要，楼主不妨找本电路原理的书看一眼交流电部分
[ 本帖最后由 muzhi 于 2014-10-31 11:38 编辑 ]
作者:
3_141592653589 时间: 2014-10-31 12:21 标题: 回复 #9 muzhi 的帖子
是没有，果然是把好多东西还给老师了。
作者:
ptcn 时间: 2014-10-31 19:47
原帖由 muzhi 于 2014-10-31 11:30 发表
你这个变号是没有的……
你可以把N=1代入试一试……
一组实数加起来也不会是纯虚数啊……
这么做确实繁琐了……
如果真有必要，楼主不妨找本电路原理的书看一眼交流电部分
这个好像不是交流电问题，而是有相位关联的多点振动的表示。
好吧，也可能是交流电，或许是一回事。
咱只是要一个统一的正弦表示。如果楼上咱的表示各位都没看出问题，那咱就放心了。
作者:
ptcn 时间: 2014-10-31 23:49
从复数解析几何角度理解，多个同频振荡相当于一个单一振荡没问题的。
咱只是之前比较害怕那个相位关系。
作者:
ptcn 时间: 2015-2-13 23:22
顶一下，以配合高中老师的三角讨论。这个例题里，咱用的是和差，中间某人用了欧拉，欧拉也肯定可以做的，但他没做完。咱这个题已经过去了，就无意追究欧拉了。
但实际上，咱当初是低估了相关问题的复杂程度了，因为之后实际写出的表达比本贴里写的要复杂些，至少COS之前还有个随n改变的系数，而且还夹杂有其他运算，但总体上还是三角运算。
作者:
穎穎 时间: 2015-2-13 23:45
从傅立叶的角度看，由于所有相加的函数频率都是一样的，所以总和也是一个 sin 或 cos（具体选哪个看个人偏好）。
3 楼和 6 楼的出发点都有问题。3 楼把问题复杂化了，6 楼假设了 An 是等差数列了吧？
Σ exp(i(wt+An)) = exp(iwt) Σexp(iAn) = exp(iwt)z
这里 z = Σexp(iAn) = Σ cos(An) + i Σ sin(An).
所以，|z| = sqrt((Σ cos(An))^2 + (Σ sin(An))^2)，arg(z) = arctan(Σ sin(An) / Σ cos(An))。
因此，Σexp(i(wt+An)) = |z|exp(iwt + arg(z))
实数部分：Σ cos(wt + An) = sqrt((Σ cos(An))^2 + (Σ sin(An))^2) cos(wt + arctan(Σ sin(An) / Σ cos(An)))。
[ 本帖最后由 穎穎 于 2015-2-14 00:57 编辑 ]
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