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标题: 关于蒙提霍尔悖论 [打印本页]

作者: 桠枫 时间: 2011-8-19 21:22 标题: 关于蒙提霍尔悖论

问题
　　以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述，来自 Craig F. Whitaker 于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）专栏的信件：　　假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？　　以上叙述是对 Steve Selvin 于1975年2月寄给 American Statistician 杂志的叙述的改编版本。如上文所述，蒙提霍尔问题是游戏节目环节的一个引申；蒙提·霍尔在节目中的确会开启一扇错误的门，以增加刺激感，但不会容许玩者更改他们的选择。如蒙提·霍尔寄给 Selvin 的信中所写：　　如果你上过我的节目的话，你会觉得游戏很快—选定以后就没有交换的机会。　　Selvin 在随后寄给 American Statistician 的信件中(1975年8月) 首次使用了“蒙提霍尔问题”这个名称。　　一个实质上完全相同的问题于1959年以“三囚犯问题”（three prisoners problem）的形式出现在马丁·加德纳的《数学游戏》专栏中。葛登能版本的选择过程叙述得十分明确，避免了《展示杂志》版本里隐含的前提条件。　　这条问题的首次出现，可能是在1889年约瑟夫·贝特朗所著的 Calcul des probabilités 一书中。在这本书中，这条问题被称为“贝特朗箱子悖论”（Bertrand's Box Paradox）。　　Mueser 和 Granberg 透过在主持人的行为身上加上明确的限制条件，提出了对这个问题的一种不含糊的陈述：　　参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。　　主持人知道每扇门后面有什么。　　主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。　　主持人永远都会挑一扇有山羊的门。　　如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。　　如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。　　参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。
解答
　　转换选择可以增加参赛者的机会吗？　　问题的答案是可以：当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。　　有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)：　　参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。　　参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。　　参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。　　在头两种情况，参赛者可以透过转换选择而赢得汽车。第三种情况是唯一一种参赛者透过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是透过转换选择而赢的，所以透过转换选择而赢的概率是2/3。　　如果没有最初选择，或者如果主持人随便打开一扇门，又或者如果主持人只会在参赛者作出某些选择时才会问是否转换选择的话，问题都将会变得不一样。例如，如果主持人先从两只山羊中剔除其中一只，然后才叫参赛者作出选择的话，选中的机会将会是 1/2。不过若主持人不知道哪扇门有羊，在参赛者选择后仍开出羊，此时透过转换选择而赢的概率仍为2/3。　　另一种解答是假设你永远都会转换选择，这时赢的唯一可能性就是选一扇没有车的门，因为主持人其后必定会开启另外一扇有山羊的门，消除了转换选择后选到另外一只羊的可能性。因为门的总数是三扇，有山羊的门的总数是两扇，所以转换选择而赢得汽车的概率是2/3，与初次选择时选中有山羊的门的概率一样。

　参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。　
　参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。　
　参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。

不明白这个，我觉得MS玩了文字游戏，应该是这样的：

　参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。　
　参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。　
　参赛者挑汽车，主持人挑山羊一号。转换将失败。
参赛者挑汽车，主持人挑山羊二号。转换将失败。

这样才对啊。

作者: 桠枫 时间: 2011-8-19 21:28

还有个女孩问题：
女孩的概率

1. 你结交一位新朋友，问她是否有孩子。她说有，有两个。你问，有女孩吗？她说有。那么，两个都是女孩的概率是多少？

答：三分之一。

因为生两个孩子的可能性有四种等可能：BB、GG、BG、GB（即男男、女女、男女、女男）。因为我们已知至少有一个女儿，所以BB是不可能的。因此GG是可能出现的三个等可能的结果之一，所以两个孩子都是女儿的概率为三分之一。

这对应了三门问题的第一种情况。

2. 你结交一位新朋友，问她是否有孩子。她说有，有两个。你问，有女孩吗？她说有。第二天，你看见她带了一个小女孩。你问她，这是你女儿吗？她说，是。她的两个孩子都是女孩的概率是多少？

答：二分之一。

这似乎非常奇怪，因为我们所拥有的信息看起来并不比第一种情况时多，但概率却不同。但是这里的问题其实是，那个你没见过的孩子是女孩的概率是多少？这个概率和生女孩的概率相同，二分之一。

这对应了三门问题的第二种情况。当然这里也有语言问题，必须假定这位母亲不是特定带出一个小女孩来给你看的。也就是说你只是碰巧发现了它是位小女孩。

你得到的答案依赖于所讲的故事；它依赖于你是如何得知至少一个孩子是女孩的。

我觉得也玩了文字游戏，生两个孩子的可能性只有3种可能：男男，男女，女女。女男实际上依然是男女，只是顺序上变了，本质没改变。所以得知有个一女孩的情况下，概率怎样都会是1/2。

作者: KYOKO 时间: 2011-8-19 22:19

讨论得很多了。在这种情况下，赛前坚定一个信念，不管主持人搞啥花样，换门就行。

至于第二个也讨论过，是殿下出的题目，大家的观点是都没错，就看你如何理解题意。

ps：全世界所有有两个子女的家庭中（即样本容量足够大），男女，女女，男男的概率各是？

作者: chenwending 时间: 2011-8-19 22:43

这类问题主要还是一个二次限定的问题。出现已有信息后，相当于再次强化信息量。所以概率必然变化即信息墒有变化。这个不是什么文字游戏，慢点想就会明白了。多种情况不代表多种概率，关键还是要看总的样本。

作者: zhouhuan 时间: 2011-8-20 09:23

参赛者挑山羊一号
参赛者挑山羊二号
参赛者挑汽车
这三种情况是等概率出现的，都是1/3。

有了参赛者的选择后，才有主持人的选择，所以楼主的第二种情况应该是这样的：
参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号，概率1/3
参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号，概率1/3
参赛者挑汽车，主持人挑山羊一号，概率1/6
参赛者挑汽车，主持人挑山羊二号，概率1/6

作者: 桠枫 时间: 2011-8-20 09:26

QUOTE:

原帖由 zhouhuan 于 2011-8-20 09:23 发表
参赛者挑山羊一号
参赛者挑山羊二号
参赛者挑汽车
这三种情况是等概率出现的，都是1/3。

有了参赛者的选择后，才有主持人的选择，所以楼主的第二种情况应该是这样的：
参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二 ...

原来如此，懂了，谢谢

作者: humi100 时间: 2011-10-4 01:18

这道题就是决胜21点里面开始的那道题,很多人都会不解,都认为无论在们选择都是三分之一,要详细解释才能知道为什么是三分之二.

[ 本帖最后由 humi100 于 2011-10-4 01:19 编辑 ]

作者: dasha1989 时间: 2011-10-13 13:25

哪来的三分之一？不论你第一次选什么，主持人都会开启一只羊并且让你有重选的机会。那么设定的时候就已经自动摒弃一个错误选项了。所以一选随便选择，二选才是给你一个机会二选一。

作者: KYOKO 时间: 2011-10-13 13:42 标题: 回复 #8 dasha1989 的帖子

就是介样，“不论你第一次选什么，主持人都会开启一只羊并且让你有重选的机会”，如果这句成立的话，重新选择就素2/3？？？

作者: 郝伯道 时间: 2011-10-13 14:38

影响这题答案的关键因素--主持人知道哪个是羊哪个是汽车

其实换个角度解题也行：

一开始随机选一个
是羊的可能性2/3，汽车的可能性1/3
是羊的情况下，主持人开启一扇门后面有山羊，那么剩下一扇门后面必然是汽车
是汽车的情况下，主持人随便开哪扇门，剩下的还是羊
因为主持人是知道内情的，所以主持人开启一扇门之后，之前的概率并不变化，并非剩下的两者各半
前一种情况换了得车，而那种情况本来的可能性就有2/3
结论还是：换了得车可能性更大

题外话：其实弄头羊也不错哈

[ 本帖最后由郝伯道于 2011-10-13 14:49 编辑 ]

作者: KYOKO 时间: 2011-10-13 15:01

俺觉得还有个关键因素——主持人必然给乃选择的机会

如果有10次这样的选择（仅指第一次），而有木有第二次重新选择的机会取决于主持人的主观决定。这样，如果10次中突然有一次给乃重新选择的机会，乃还该重新选吗？

如果乃始终坚持2/3，那俺（主持人）完全可以选择在乃第一次已经选对汽车的情况下才给乃重新选择的机会，那样乃就血本无归。这种情况下貌似进行的素心理博弈，观众要猜到底主持人在哪种情况下会给俺重新选择的机会呢？

作者: dasha1989 时间: 2011-10-13 15:26

我晕……喔
一选选中的情况是三分一
到二选，由于主持人会摒弃一个错误的选项，剩下的选项就是两个了。所以无论你改不改，到二选的时候，你的中奖几率都是二分一啊！
我觉得不存在改选会有比较大赢面的结果发生。

作者: 郝伯道 时间: 2011-10-13 15:28 标题: 回复 #11 KYOKO 的帖子

心理博弈，太复杂，也没有确定的答案

这贴的讨论范畴，应该还是数学层面的

作者: 郝伯道 时间: 2011-10-13 15:31 标题: 回复 #12 dasha1989 的帖子

主持人只能在剩下两扇门中去掉一个错误答案
他（她）不是随机选择的
所以原本属于这扇门的可能性，不是平均分配给剩下的两扇门

作者: KYOKO 时间: 2011-10-13 15:42

呵呵如果主持人不知道哪素汽车哪素羊，观众选择一次以后，他随手打开剩下两扇中的一扇，发现其中素羊，然后再给一次重新选择的机会，这时才是1/2

作者: dasha1989 时间: 2011-10-13 17:09

单纯考虑得到汽车概率的话，参与者就无视第一次选择就好啊！因为有一错项本来就会被剔除的，最终的可能是二分一
不过要是二选重选成功几率的话……

作者: 星义 时间: 2011-10-17 00:59

QUOTE:

原帖由桠枫于 2011-8-19 21:28 发表

因为生两个孩子的可能性有四种等可能：BB、GG、BG、GB（即男男、女女、男女、女男）。因为我们已知至少有一个女儿，所以BB是不可能的。因此GG是可能出现的三个等可能的结果之一，所以两个孩子都是女儿的概率为三分之一。

为什么在这里，男女和女男是不同的？人家又没问题兄妹还是姐弟，人家只是问性别而已啊。

作者: xuerenfeng 时间: 2011-10-26 10:09

第一个问题
第一次选择从计算方面来说只是一个迷惑条件
第二次选择无论主持人选第一只还是第二只他选的只是去掉一个错误答案
所以第二次选择只是从山羊和汽车两个里面选择一个几率是二分之一

第二个问题
从全世界人口出生几率来讲两个孩子有男男、女女、男女、女男四种可能
也就是说有一男一女的父母和有两个同性孩子的父母是一样多的
所以确定有一个是女孩  另一个是男孩的可能是三分之二  都是女孩的可能只有三分之一

第二个问题你没弄明白是因为想少了  只算了一个人男女的几率而没从全世界人口出生的几率来考虑

有点乱不知道你们明白没

[ 本帖最后由 xuerenfeng 于 2011-10-26 10:23 编辑 ]

作者: 00249598 时间: 2011-10-26 10:45

嗨，这么多字，不过是高中概率问题嘛。

作者: KYOKO 时间: 2011-10-26 13:21 标题: 回复 #18 xuerenfeng 的帖子

虽然素乃处女帖，但还素木有明白，反而更糊涂鸟

作者: shicanhui 时间: 2011-11-2 20:22

有人给详实的规则么？我大概明白了什么意思
但LZ的帖子显然没说清
应该是参加一个游戏目的是赢汽车吧
而且游戏者只能选择哪扇门但并不开门给游戏者看吧
问题是：1.游戏者赛前坚定不转换多少赢的几率？（显然1/3）
2.游戏者赛前坚定转换多少赢的几率？应该是讨论问题2吧？

问题2看来复杂其实很简单，答案是2/3。
游戏者第一轮打开汽车门的概率是1/3，打开山羊门的概率2/3（两只羊）；只要坚持转换，第一轮打开汽车门的必输，第一轮打开山羊门的必赢，那么赢的概率自然是2/3。

作者: humi1000 时间: 2011-11-4 00:12

QUOTE:

原帖由 KYOKO 于 2011-10-26 13:21 发表
虽然素乃处女帖，但还素木有明白，反而更糊涂鸟

他完全是瞎解释，只看后面的概率，而没有看第一个的概率，好比翻扑克，4张牌，两黑两红，你翻出同样花色的概率是多少。是三分之一，而不是二分之一。

完全是一种心理博弈的欺骗人的手段，以为都是一半。

[ 本帖最后由 humi1000 于 2011-11-4 00:19 编辑 ]

作者: shicanhui 时间: 2011-11-10 12:20 标题: 回复 #22 humi1000 的帖子

这个当然，第一步完全没意义，就看第二步，翻出剩下的花色自然是三分之一

作者: 错过一个繁华 时间: 2015-6-24 17:27 标题: 回复 #8 dasha1989 的帖子

不对！
排除错误选项是在剩下的2个选项中，排除一个错误选项。所以，第一次选什么是有影响的

作者: shicanhui 时间: 2016-1-21 18:10 标题: 回复 #15 KYOKO 的帖子

正解
这道题主要是假设后问概率和主持人全知的情况下问概率
这和大家都不知道不假设的选择肯定概率不同

作者: shicanhui 时间: 2016-1-21 18:15 标题: 回复 #18 xuerenfeng 的帖子

“所以第二次选择只是从山羊和汽车两个里面选择一个几率是二分之一”——对！但重新选择有两种，一种是坚持不换：三分之一；一种是坚持换：三分之二（见我#21）；相加平均二分之一。

作者: shicanhui 时间: 2016-1-21 18:57 标题: 回复 #2 桠枫的帖子

首先肯定的是一个两个孩子的家庭，不考虑打胎以及遗传环境人种等其他因素的情况下，样本足够大，肯定是二男四分之一，二女四分之一，一男一女二分之一。四种情况：1.男男、2.女女、3.男女、4.女男。第一胎是女孩的可能性二分之一：2+4；第二胎是女孩的可能性同样；那么都是女孩的可能性四分之一。
回到你的问题1。如果已知的女孩是老大，那么排除1和3，老二是女孩子的可能性二分之一；如果已知的女孩子是老二，那么排除1和4，老大是女孩子的可能性是二分之一；如果不知道已知的女孩子是老大还是老二，那不好意思，在排除1后，要么是2和3——二分之一，要么是2和4——二分之一，而不能把不确定混为一谈。
如果你想混为一谈，行，那另一个是女孩子的可能性是老大老二两种可能除以2+3+2+4四种可能，依然是二分之一，三分之一子虚乌有，典型的混淆视听

作者: shicanhui 时间: 2016-1-21 18:59

在每一个悬乎的或悖论的帖子最后我都要加上一句：没有所谓的悖论，都是混淆概念罢了

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