标题: 求助，考研题 [打印本页]

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作者: zzw200    时间: 2010-5-17 23:58     标题: 求助，考研题

f(x)=sinx/(1+x^2)
求值域

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作者: KYOKO    时间: 2010-5-18 00:03

虽然不会做，看上去不难。。

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作者: zzw200    时间: 2010-5-18 00:11

额，是一道填空题。

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作者: 阿尔法孝直    时间: 2010-5-18 00:14

1、f(x)是连续函数
2、sin(x)∈[-1,1]，1+x^2在[0,+∞)上单增，在(-∞,0)单减，故f(x)在±∞有极限0，且f(x)图形的形状应该是一条向两端振幅不断衰减的正弦曲线。
3、求导，并令f'(x)=0，得-2xsin(x)+(x^2+1)cos(x)=0，绝对值最小的零点应该是±0.8左右，代入f(x)得值域应该约为[-0.44,0.44]

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作者: zzw200    时间: 2010-5-18 00:18

2xsin(x)+(x^2+1)cos(x)=0  能求出准确解吗？

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作者: 阿尔法孝直    时间: 2010-5-18 00:34     标题: 回复 #5 zzw200 的帖子

因为cos(x)≠0（否则tan(x)=∞），所以除以cos(x)得

-2x*tan(x)+x^2+1=0

我也算不出精确解，看来此法不通。

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作者: 阿尔法孝直    时间: 2010-5-18 00:56

只写了程序算了较精确的值：

[-0.43741415827901,0.43741415827901]

分别在 x=±0.79801699184237 时取到。

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作者: 散发    时间: 2010-5-18 08:12

原方程微分一次后求曲率为零。得

2X(x^2+1)=tan X

用Taylor series解开tan X 后代入求解即可。
若只取头两项则得

2X(x^2+1)=x+3^3/3

解得 f(x)=+- 0.437

若取更高项答案则更精确，就是要解更高度数polynomial而已。

[ 本帖最后由 散发 于 2010-5-18 08:44 编辑 ]

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