标题: 求解一个数学题 [打印本页]
作者:
Sphynxyu 时间: 2010-4-26 08:00 标题: 求解一个数学题
1:y=cos（x/6）;
x为全体整数；
证明y不是一个周期函数；请给出详细理由，谢谢！
求教求教！
作者:
阿尔法孝直 时间: 2010-4-26 08:31
假设y=cos(x/6)是周期函数，那么应该存在一个非零整数s，使得对于任意整数x，都有
cos[(x+s)/6]=cos(x/6)=cos(x/6+2kπ)，其中k为非零整数
即s/6=2kπ
s=12kπ 为无理数，与s为整数矛盾
故y=cos(x/6)不是周期函数
[ 本帖最后由 阿尔法孝直 于 2010-4-26 12:12 编辑 ]
作者:
dimeterio 时间: 2010-4-26 11:59
我有一个很大的疑问：按照孝直的证明，那个6根本只有装饰作用，那这道题就有点不伦不类，如果6是有意义的，那么是否存在整数N，使得y=cos(x/N)是周期函数？
作者:
KYOKO 时间: 2010-4-26 12:39
y=cosx就是周期函数，加个>1的分母就肯定不是了？？
作者:
文以载道 时间: 2010-4-26 12:42 标题: 回复 #4 KYOKO 的帖子
X在这里是整数，定义域变了
作者:
阿尔法孝直 时间: 2010-4-26 12:43
原帖由 KYOKO 于 2010-4-26 12:39 发表
y=cosx就是周期函数，加个>1的分母就肯定不是了？？
看清题目，自变量是整数，那么cosx就不是周期函数
作者:
时间轴空转 时间: 2010-4-26 12:48
周期函数嘛，只要证对称轴少于两个不就得了······小志的反证法就行。
额的疑问是 lz的函数应该是 y=1/cos（x/6） 吧··。这样的话现设 f（x）=cos（x/6） 按小志的方法证就好了。
作者:
颖颖 时间: 2010-4-26 12:48 标题: 回复 #2 阿尔法孝直 的帖子
这个证明不严谨。没错，对于任何 t，都有 cos(t)=cos(t+2kπ)。但这并不能表明 cos(t) = cos(u) 则 t 和 u 之间一定就差 2π 的倍数。
作者:
颖颖 时间: 2010-4-26 12:50 标题: 回复 #3 dimeterio 的帖子
其实 cos(q), q 为有理数，也不是周期函数。不过这个证明起来比较麻烦，需要用到实分析理论。故，原题用 q=x/6，x 整数代替。
想进一步推广的话，q 属于 algebraic numbers 也行，总之 q 只要所属一个对于有理数的 Galois extension 是有限维的域就 OK。
[ 本帖最后由 颖颖 于 2010-4-26 13:05 编辑 ]
作者:
阿尔法孝直 时间: 2010-4-26 13:16
原帖由 颖颖 于 2010-4-26 12:48 发表
这个证明不严谨。没错，对于任何 t，都有 cos(t)=cos(t+2kπ)。但这并不能表明 cos(t) = cos(u) 则 t 和 u 之间一定就差 2π 的倍数。
那么：
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
假设y=cos(x/6)是周期函数，那么应该存在一个非零整数s，使得对于任意整数x，都有
cos[(x+s)/6]=cos(x/6)，其中k为非零整数
即(x+s)/6=x/6+2kπ 或 (x+s)/6+x/6=2kπ
若(x+s)/6=x/6+2kπ，
s=12kπ 为无理数，与s为整数矛盾；
若(x+s)/6+x/6=2kπ
2x+s=12kπ，左边是整数，右边是无理数，矛盾。
故y=cos(x/6)不是周期函数
[ 本帖最后由 阿尔法孝直 于 2010-4-26 13:17 编辑 ]
作者:
鹰派分子 时间: 2010-4-26 13:18
对于任意的t，都有 cos(t)=cos(t+2kπ)。但这并不能表明 cos(t) = cos(u) 则 t 和 u 之间一定就差 2π 的倍数。
恩，前者t的定义域是（-00，+00），周期是2kπ。而这里的t是属于有理数R。所以周期不一定是2kπ
cos（x）是有理数，就可以否定是2kπ的周期函数了。cos（x）0<x<2π的周期2kπ，周期是无理数。
x作为一个有理数，其定义域与2kn是矛盾的。
但是他是否属于其他周期周期函数。的确是蛮复杂的。
[ 本帖最后由 鹰派分子 于 2010-4-26 13:24 编辑 ]
作者:
颖颖 时间: 2010-4-26 13:23
回复 #10 阿尔法孝直 的帖子 ＋ 回复 #11 鹰派分子 的帖子
阿尔法孝直 10 楼的证明假设了：如果 cos(x), x 实数有一个周期为 2pi，就不可能有任何其它周期了。怎么说呢，10 楼这个证明不应该算错，因为假设命题本身（可以证明）是正确的，但我总觉得做此假设，有点本末倒置。。。
比如说，如果 t,u 一个是有理数，一个是无理数，就有可能存在一个 f 同时满足：对所有整数 k,m, f(x) = f(x+kt+mu). 但 cos(x) 这个函数比较特殊，它并没有这个特征，这一点我认为需要证明。
习题：以此类推，一个函数最多能有多少个不同的周期？
[ 本帖最后由 颖颖 于 2010-4-26 13:37 编辑 ]
作者:
鹰派分子 时间: 2010-4-26 13:26
对，我理解颖颖了，定义域的变化，是不能够直接用2kπ来推导出是否是周期函数的。
阿尔法孝直，你一直在假设他的周期是2kπ，但实际上cos（x），x为有理数的周期不是2kπ，却可能是其他的。
必须直接证明cos（x+s）=cos（x）
s为有理数，用2kπ是不恰当的
作者:
阿尔法孝直 时间: 2010-4-27 01:04
原帖由 颖颖 于 2010-4-26 13:23 发表
习题：以此类推，一个函数最多能有多少个不同的周期？
以下这个函数：
1 , x是有理数
y=＜
0 , x是无理数
无数个周期，但找不到最小正周期。
作者:
颖颖 时间: 2010-4-27 09:48 标题: 回复 #14 阿尔法孝直 的帖子
不错，我想的也就是这个。
作者:
KYOKO 时间: 2010-4-28 12:50
有个问题，怎么判断所有有理数（无理数）有无连续的区间？
作者:
阿尔法孝直 时间: 2010-4-28 12:54 标题: 回复 #16 KYOKO 的帖子
一个连续的区间，无论多小，必然同时存在有理数和无理数。
作者:
KYOKO 时间: 2010-4-28 12:56 标题: 回复 #17 阿尔法孝直 的帖子
问题是如何证明的？
ps：难道构造一个无理数，这个无理数就在这区间之内？这算证明吗
[ 本帖最后由 KYOKO 于 2010-4-28 12:59 编辑 ]
作者:
阿尔法孝直 时间: 2010-4-28 13:06
原帖由 KYOKO 于 2010-4-28 12:56 发表
问题是如何证明的？
ps：难道构造一个无理数，这个无理数就在这区间之内？这算证明吗
举个例子，区间(3.49,3.50)，就有无理数π+0.35在这里面。
随便一个区间，我都可以找到一个数(π+一个有理数)在这里面。
作者:
颖颖 时间: 2010-4-28 17:08 标题: 回复 #18 KYOKO 的帖子
这要看你的命题具体是怎么提的。。。如果是“在任何开区间 (a,b) 之间，都存在一个有理数 x 和无理数 y”的话。。。是的，你只要对 x, y 构造出一对例子就算证明了。
当然了，这个命题最强的推广是：在任何开区间 (a, b) 之间，所存在的有理数／无理数的数量，和有理数／无理数的总数一样多。
这个命题证明起来就会复杂一些，你需要构造一个双射函数，使得每个有理数／无理数，都能和 (a,b) 之间的一个有理数／无理数两两对应。
[ 本帖最后由 颖颖 于 2010-4-28 17:12 编辑 ]
作者:
阿尔法孝直 时间: 2010-4-28 18:02
已知一个无理数s在区间(q1,q2)内(q1,q2为有理数)，则|s/q1|，|s/q2|必定至少一个小于1。（证略）
a)设有两个有理数m1,n1（m1<n1），有理数(m1+n1)/2必然在(m1,n1)内，无理数m1+(n1-m1)|s/q1| 与 m1+(n1-m1)|s/q2|中的至少一个必然在(m1,n1)内。
b)设有两个无理数m2,n2（m2<n2），一个足够大的正有理数p，无理数m2+m2/p在(m2,n2)内。有理数呢？怎么证？我也考虑一下。
c)一个是有理数，一个是无理数呢？
作者:
颖颖 时间: 2010-4-28 21:38 标题: 回复 #21 阿尔法孝直 的帖子
令 eps = b-a > 0，则只需证明该命题在 (0, eps) 这个区间成立。对于任意 eps > 0，都存在一个足够大的整数 N，使得 1/N < eps (例如，N = {1/eps}，这里 {x} = 大于或等于 x 的最小整数)。即，1/N 便是 (0, eps) 之间的一个有理数。由于 0<1/(N*pi) < 1/N< eps，则 1/(N*pi) 便是 (0, eps) 之间的一个无理数。
作者:
KYOKO 时间: 2010-4-29 14:00
怎么证明π、根号2是无理数的？
ps：哦，有理数必然可以表达成分子分母都是整数的分数形式，那就一定不会带根号了，pi呢？
[ 本帖最后由 KYOKO 于 2010-4-29 14:18 编辑 ]
作者:
颖颖 时间: 2010-4-29 14:42 标题: 回复 #23 KYOKO 的帖子
会部分积分法么？会的话，可证（习题）：
令 I_n = int_{-1}^1 (1-x^2)^n cos(a*x) dx
则：
１，I_n*u^{2n+1} = n! (P_n (u) sin(u) + Q_n (u) cos(u)), 其中 P_n(u) 和 Q_n(u) 皆为整系数多项式且 deg(P), deg(Q) < 2n。
２，0 < I_n < 2。（提示：利用不等式，int_s^t f(x) dx < (t-s)max f(x)）
利用以上两点，如果 pi 是有理数，则令 pi/2 = b/a，代入上面等式中的 u。得：b^{2n+1}/n! I_n = P_n (b/a) a^{2n+1}。 由于 P_n 是整系数多项式，所以 P_n(b/a) a^{2n+1} 一定是整数。因此，b^{2n+1}/n! I_n 也一定是整数。但由于 I_n < 2 且 b^{2n+1}/n! -> 0，因此当 n 足够大的时候，得： 0 < b^{2n+1}/n! I_n < 1。按此推理，则存在一个在 (0,1) 之间的整数。矛盾！
[ 本帖最后由 颖颖 于 2010-4-29 17:47 编辑 ]
作者:
阿尔法孝直 时间: 2010-4-29 14:47
根号2是无理数的证明过程：
假设根号2是有理数，那么存在一组非零整数p,q，使得 根号2=p/q
于是 2q^2=p^2
如果q能被2^n但不能被2^(n+1)整除(n是自然数)，那么p^2=2q^2能被2^(2n+1)但不能被2^(2n+2)整除
于是p^2不是一个平方数，矛盾。
故根号2是无理数。
作者:
柳伊 时间: 2010-7-24 14:16
高中的内容，有点复杂
作者:
章剑青 时间: 2010-9-6 12:46 标题: 请教一个数学题
(cos1/x)*1/x(x趋向于0）为何极限不是无穷大？为何无界
作者:
颖颖 时间: 2010-9-6 13:15 标题: 回复 #27 章剑青 的帖子
用 stereographic projection，把它投射到一个黎曼球面上就有解了啊。
60 年代有个叫广中平祐的人，证明了一个关于奇点解消的定理，专门可以用来解决类似问题的。
[ 本帖最后由 颖颖 于 2010-9-6 13:29 编辑 ]
作者:
《苍狼白鹿传》 时间: 2010-9-6 14:04
我以为是1/Y=COS（X/6）
作者:
《苍狼白鹿传》 时间: 2010-9-6 14:21
原帖由 章剑青 于 2010-9-6 12:46 发表
(cos1/x)*1/x(x趋向于0）为何极限不是无穷大？为何无界
话说不是跟COS X/X X->∞一样
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