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标题: 三道分棋子的题 [打印本页]

作者: 沧海一笑 时间: 2009-12-24 10:22 标题: 三道分棋子的题

1）有15枚黑子、30枚白子，两个人轮流抓取，每次只能拿同色的1-3枚，拿到最后一枚的获胜，如果你先抓，怎样才能保证必胜。
2）有15枚黑子、30枚白子和50枚红子，两个人轮流抓取，每次只能拿同色的1-3枚，拿到最后一枚的获胜，如果你先抓，怎样才能保证必胜。
3）有15枚黑子、30枚白子和50枚红子，两个人轮流抓取，每次可以拿同色的任意枚，拿到最后一枚的获胜，如果你先抓，怎样才能保证必胜。

作者: 沧海一笑 时间: 2009-12-24 11:07

答案是否正确，可以自行验证。
各位道友解决问题后，回复并给出第一步即可。

作者: ukyo007 时间: 2009-12-24 23:23

错了，再想

[ 本帖最后由 ukyo007 于 2009-12-27 23:44 编辑 ]

作者: 墨叶 时间: 2009-12-25 08:52

QUOTE:

原帖由 沧海一笑 于 2009-12-24 10:22 发表
三道分棋子的题
1）有15枚黑子、30枚白子，两个人轮流抓取，每次只能拿同色的1-3枚，拿到最后一枚的获胜，如果你先抓，怎样才能保证必胜。
2）有15枚黑子、30枚白子和50枚红子，两个人轮流抓取，每次只能拿同色的1-3枚，拿到最后一枚的获胜，如果你先抓，怎样才能保证必胜。
3）有15枚黑子、30枚白子和50枚红子，两个人轮流抓取，每次可以拿同色的任意枚，拿到最后一枚的获胜，如果你先抓，怎样才能保证必胜。

第一题：白3。
第二题：白1或者红1。
第三题：红34。

作者: 沧海一笑 时间: 2009-12-25 09:32 标题: 回复 #4 墨叶的帖子

第一题正确
第二题正确的开始之一，有几种策略都可以。
第三题再想想，如有需要可以给你一个红34后的应对。

作者: 墨叶 时间: 2009-12-25 09:43 标题: 回复 #5 沧海一笑的帖子

我是按照别人给的一种方法做的，还没有去证明。
看错了，应该是33。看错行了。

作者: KYOKO 时间: 2009-12-25 14:16

难度有点高啊

墨叶老弟就说说第一题。。

作者: 墨叶 时间: 2009-12-25 15:18 标题: 回复 #7 KYOKO 的帖子

答案楼主自然会公布的。急什么。
你可以先考虑棋子很少的情况，再考虑棋子多的情况。

最后题很有意思，相当有意思。

作者: samuel831 时间: 2009-12-25 16:47

第一题拿1个黑的和3个白的都可以吧。

作者: samuel831 时间: 2009-12-25 16:50

第三题把黑色拿完就可以赢了吧有没有其他拿法还没仔细想

作者: samuel831 时间: 2009-12-25 16:53

我能想到的就是 1种颜色的时候当然最简单，保证你先手之后剩到的数字是4的整数就行。

2中颜色我想到的解就是先手以后棋子数字之差为4的倍数就行。第三题就是根据这个原则解的。

第二题研究中

作者: samuel831 时间: 2009-12-25 16:58

第2题拿3个黑的应该可以吧。我怎么觉得第2题是在第3题基础上跟进一步呢

作者: 墨叶 时间: 2009-12-25 17:01 标题: 回复 #12 samuel831 的帖子

第一题拿1个黑的和3个白的都可以吧。应该对的。
第三题的解题思路和第二题完全不同。
不过我不知道正确答案。

作者: samuel831 时间: 2009-12-25 17:04

第三题把黑的拿完那不就是直接等于第一题了吗

作者: samuel831 时间: 2009-12-25 17:06

第2题就等于单颜色黑棋子的游戏和双颜色的第一题一起玩。
我这样分解的。暂时还找不到能推翻我拿法的反例

作者: samuel831 时间: 2009-12-25 17:11

第三题我弄错了。但是第2题应该是对的。第三题确实不一样

作者: samuel831 时间: 2009-12-25 17:23

第三题任意先抓完一种就行了

作者: samuel831 时间: 2009-12-25 17:26

不对错了。下班下周再纠结

作者: samuel831 时间: 2009-12-25 17:42

第三题把任意一个颜色拿成1个。

这样该他拿的时候有个原则。如果他拿完一个颜色则我需要把另外一个颜色拿到和剩下的颜色一样的数据。如果他拿了以后有任意2个颜色数目一样，我则拿完另外一个颜色。如果不符合上面2个条件我则把剩下2个颜色任意一个拿成剩一个。

作者: samuel831 时间: 2009-12-25 17:43

终于可以安心下班了

作者: 墨叶 时间: 2009-12-25 17:53

QUOTE:

原帖由 samuel831 于 2009-12-25 17:42 发表
第三题把任意一个颜色拿成1个。

这样该他拿的时候有个原则。如果他拿完一个颜色则我需要把另外一个颜色拿到和剩下的颜色一样的数据。如果他拿了以后有任意2个颜色数目一样，我则拿完另外一个颜色。如果不符合上面2个条件我则把剩下2个颜色任意一个拿成剩一个。

最后的方案不可行。对方把第三种颜色拿光，你就输了。

15枚黑子、30枚白子和50枚红子
假设你拿黑14个。现在是1；30；50。
我拿白1个，变成1；29；50。
按照你的说法，你会拿白28个（或者黑49个），这样是1；1；50。
我拿掉50个红的，剩下1黑1白，你输了。

作者: samuel831 时间: 2009-12-26 16:13

恩后来思考了下正确答案是拿5个红的。而且是唯一答案.

我拿黑2.
反正我拿的原则就是我拿了以后数目少的2种旗子加起来等于数目最多的那种棋子，并且过程中我拿的时候要避免拿了以后有2个颜色数目相等。这个是可以做到的。
最后的结果会变成 3种颜色分别剩 1 2 3个这个时候轮到你你已经必输了。你可以按我的思路拿，你看能拿出我输的情况不

[ 本帖最后由 samuel831 于 2009-12-26 23:33 编辑 ]

作者: 墨叶 时间: 2009-12-26 17:39 标题: 回复 #22 samuel831 的帖子

你是说第3题吗？我觉得不对。
你拿红5个，我拿红28个。现在是15枚黑子、30枚白子和17枚红子。轮到你了。

你可以编辑22楼，免得版聊。

作者: 墨叶 时间: 2009-12-26 17:42 标题: 回复 #1 沧海一笑的帖子

目前答案：
第一题：黑1或者白3。
第二题：黑3或者白1或者红1。
第三题：红33。

现在我在思考以下问题：
1）有15枚黑子、30枚白子，两个人轮流抓取，每次只能拿同色的1-3枚，拿到最后一枚的输，如果你先抓，怎样才能保证必胜。
2）有15枚黑子、30枚白子和50枚红子，两个人轮流抓取，每次只能拿同色的1-3枚，拿到最后一枚的输，如果你先抓，怎样才能保证必胜。
3）有15枚黑子、30枚白子和50枚红子，两个人轮流抓取，每次可以拿同色的任意枚，拿到最后一枚的输，如果你先抓，怎样才能保证必胜。

作者: samuel831 时间: 2009-12-26 23:40

你自己给自己出的题应该是无解的。

作者: samuel831 时间: 2009-12-26 23:42

你第2题解里拿白1和红1 先手，后面你按什么原则拿保证必胜？

作者: 墨叶 时间: 2009-12-27 00:10 标题: 回复 #25 samuel831 的帖子

怎么可能无解呢。
“1）有15枚黑子、30枚白子，两个人轮流抓取，每次只能拿同色的1-3枚，拿到最后一枚的输，如果你先抓，怎样才能保证必胜。”我分析出来了。
其他的还没。

原第2题先拿白1和红1 ，接下来保证每次2个人共拿4个，或者使3堆余数满足2个小的之和等于大的余数。

22楼的我先想想。明天回复你。
楼主也该出来公布答案了。

作者: 墨叶 时间: 2009-12-27 09:10

QUOTE:

原帖由 samuel831 于 2009-12-26 16:13 发表
恩后来思考了下正确答案是拿5个红的。而且是唯一答案.

我拿黑2.
反正我拿的原则就是我拿了以后数目少的2种旗子加起来等于数目最多的那种棋子，并且过程中我拿的时候要避免拿了以后有2个颜色数目相等。这个是可以做到的。
最后的结果会变成 3种颜色分别剩 1 2 3个这个时候轮到你你已经必输了。你可以按我的思路拿，你看能拿出我输的情况不

你是说第3题吗？我觉得不对。
你拿红5个，我拿红28个。现在是15枚黑子、30枚白子和17枚红子。用A（15；30；17）表示。

A（15；30；17）；B（13；30；17）
A（13；28；17）；B（11；28；17）
A（11；28；6）；B（11；17；6）
A（11；12；6）；B（11；12；1）
A（11；10；1）；B（9；10；1）
A（9；8；1）；B（7；8；1）
A（7；6；1）；B（5；6；1）
A（5；4；1）；现在轮到你了。

中间有疑问可以说明。
我的思路是转化为二进制，保证3个数各个位置出现1的个数均为偶数。

[ 本帖最后由墨叶于 2009-12-27 09:13 编辑 ]

作者: samuel831 时间: 2009-12-27 11:28

作者: 沧海一笑 时间: 2009-12-28 12:19 标题: 回复 #24 墨叶的帖子

墨叶是高手。

第一题是初中数学竞赛题，后二题是自己扩展的，以为有难度，不想这么快就被墨叶解决了，呵呵。
其他道友可以继续试试。

作者: 墨叶 时间: 2009-12-28 18:08 标题: 回复 #30 沧海一笑的帖子

哈哈。最后道不是自己想的。看别人的答案，觉得很有意思，就记下了。一看题马上想到这种方法了。
其实你可以公布答案了，这个论坛玩数学的很少。

你也可以看下24题我提出的问题。
我有点头绪，还没去认真做。

作者: KYOKO 时间: 2009-12-28 22:23 标题: 回复 #31 墨叶的帖子

至少在轩辕主观性强点的题目跟风的人就N多

就像一瓶啤酒五毛钱，2个瓶子可以换一瓶啤酒，你有5块钱可以喝多少瓶啤酒

作者: 天宫公主 时间: 2010-1-13 13:54

QUOTE:

原帖由墨叶于 2009-12-26 17:42 发表
现在我在思考以下问题：
1）有15枚黑子、30枚白子，两个人轮流抓取，每次只能拿同色的1-3枚，拿到最后一枚的输，如果你先抓，怎样才能保证必胜。
2）有15枚黑子、30枚白子和50枚红子，两个人轮流抓取，每次只能拿同色的1-3枚，拿到最后一枚的输，如果你先抓，怎样才能保证必胜。
3）有15枚黑子、30枚白子和50枚红子，两个人轮流抓取，每次可以拿同色的任意枚，拿到最后一枚的输，如果你先抓，怎样才能保证必胜。

1+2 其实是一道题，可以同时解答（第一题只是第二题对前两位空间的一个投影）。

先贴答案，证明稍后附上。

令 (b, w, r) 为三种颜色棋子的个数，e_1 = (1, 0, 0), e_2 = (0, 1, 0), e_3 = (0, 0, 1)。则所有的必败态，都可以写成 (b, w, r)* + 4(a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3) ，其中 a_1, a_2, a_3 是正整数，(b, w, r)* 是 (0,0,1), (0,2,2), (0,3,3), (1,1,1) 或 (1,2,3) 或其中的任意一个重排序之一。其他所有情况都是必胜态。

取胜战术：凡处于必胜态的情况，都能拿走任何一个颜色的 1-3 个棋子，使得对方处于必败态。

至于说 (15, 30, 50)，先走方该怎么办。。。这个需要解方程：
4(a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3) = (15, 30, 50) - (b, w, r)* or 右边 = (15, 30, 0). 由于左侧为斜矩阵，不难靠穷具得出，此方程对 (a_1, a_2, a_3) 没有正整数解。因此，(15, 30, 50) 和 (15, 30, 0) 在第一/二题的情况都是必胜态。

[ 本帖最后由天宫公主于 2010-1-13 13:55 编辑 ]

作者: wu.john90 时间: 2010-1-13 18:56 标题: 回复 #1 沧海一笑的帖子

第三题
1.  任意把一个颜色全數取走. 例如紅色. --> (15黑 , 30白 , 0红)
2.  對方取 n 粒子, 例如白色       --> (15黑 , 30-n白 , 0红)
3a.  看情況, 如果白多黑少, 取白色    --> (15黑 , 15白 , 0红)
3b.  看情況, 如果白少黑多, 取黑色    --> (30-n黑 , 30-n白 , 0红)
4.  無論對方取哪種色, 只要保持黑白兩色的數量相同, 就必定取得最后一枚.

另一情況:
2.  對方取 n 粒子, 例如黑色       --> (15-n黑 , 30白 , 0红)
3.  由於白多黑少, 取白色          --> (15-n黑 , 15-n白 , 0红)
4.  無論對方取哪種色, 只要保持黑白兩色的數量相同, 就必定取得最后一枚.

作者: wu.john90 时间: 2010-1-13 19:10 标题: 回复 #32 KYOKO 的帖子

就像一瓶啤酒五毛钱，2个瓶子可以换一瓶啤酒，你有5块钱可以喝多少瓶啤酒

1. 5块钱  --> 10瓶啤酒
2. 10瓶子 -->  5瓶啤酒
3. 5瓶子 -->  2瓶啤酒 ... 餘下1瓶子
4. 2瓶子 -->  1瓶啤酒 ... 飲完後, 連用手上的1瓶子, 共2個空瓶子
5. 2瓶子 -->  1瓶啤酒
6. 如果可以的話, 問老闆 "借一個空瓶子", 連用手上的1瓶子, 共2個空瓶子
7. 2瓶子 -->  1瓶啤酒
8. 將手上的那個空瓶子, 還給老闆.

所以共: 10+5+2+1+1+1 = 19.

作者: 墨叶 时间: 2010-1-21 17:24

QUOTE:

原帖由 wu.john90 于 2010-1-13 18:56 发表
回复 #1 沧海一笑的帖子
第三题
1.  任意把一个颜色全數取走. 例如紅色. --> (15黑 , 30白 , 0红)
2.  對方取 n 粒子, 例如白色       --> (15黑 , 30-n白 , 0红)
3a.  看情況, 如果白多黑少, 取白色    --> (15黑 , 15白 , 0红)
3b.  看情況, 如果白少黑多, 取黑色    --> (30-n黑 , 30-n白 , 0红)
4.  無論對方取哪種色, 只要保持黑白兩色的數量相同, 就必定取得最后一枚.

另一情況:
2.  對方取 n 粒子, 例如黑色       --> (15-n黑 , 30白 , 0红)
3.  由於白多黑少, 取白色          --> (15-n黑 , 15-n白 , 0红)
4.  無論對方取哪種色, 只要保持黑白兩色的數量相同, 就必定取得最后一枚.

第一种情况还有3C，對方取15个白子，留下 (15黑 , 15白 , 0红)。

作者: 墨叶 时间: 2010-1-21 17:52 标题: 回复 #33 天宫公主的帖子

第一题：(15, 30, 0)=（3，2，0）。所以先拿一个黑。
第二题：(15, 30, 50) =（3，2，2）。所以拿3个黑。

这个证明还真麻烦。

作者: 茅延安 时间: 2010-1-22 09:43

24楼的前两问，
直接走成(2,2)
或构造(3,2,1)接下来走成(1,1,1)或(2,2)

楼主和24楼的最后一问都还没想通。

作者: 茅延安 时间: 2010-1-22 15:30

看了28楼的最后一行。

二进制还真是比较神奇，让人感受到一种平衡的力量。

那么24楼最后一问，是不是红34就可以了？

作者: 墨叶 时间: 2010-1-22 15:43 标题: 回复 #39 茅延安的帖子

最后一题我也不知道。不过可以从最简单开始归纳。

我也觉得原第三题的二进制太神奇。马上记住解题方法。

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