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标题: 请问牛顿迭代法如何求方程的重根？谢谢。 [打印本页]

作者: 阿尔法孝直 时间: 2009-8-13 18:26 标题: 请问牛顿迭代法如何求方程的重根？谢谢。

并求出该重根是几重根。

最近在写用牛顿法解方程的程序，但牛顿法貌似只能求单根。

[ 本帖最后由阿尔法孝直于 2009-8-13 18:28 编辑 ]

作者: lzy0274 时间: 2009-8-14 21:54

需要对牛顿迭代法进行适当的改变。
迭代格式采用：X(k)=X(k-1)-Mf(X(k-1))/f'(x(k-1));
其中，M为重根的阶次。

作者: 阿尔法孝直 时间: 2009-8-14 22:00

我是说先把所有根（无论单或重）都求出来，然后一个一个判断是几重根。

作者: lzy0274 时间: 2009-8-15 11:00

感觉有难度，用牛顿法实现这个应该有困难。

作者: KYOKO 时间: 2009-8-15 12:48

假设知道一个方程所有的根，又其中一个是二重根，如何最简单的方法判断哪个根是重根？

（X-A）（X-B）。。。（X-α）=0同原方程做判断？

作者: 阿尔法孝直 时间: 2009-8-17 01:00

可以对逐个根不断求导，知道导数不为零为止。例如对某个方程F(X)=0的一个根X0求导：假设F'(X0)=0，F''(X0)=0，……，F(n-1阶导)(X0)=0，而F(n阶导)(X0)≠0，那么X0就是方程F(X)=0的n重根。

作者: 天宫公主 时间: 2009-8-17 09:03

假设 F(x) = 0 的解是一个有限集，任何一个根的次数也都是有限的*，且 F 足够光滑（具体条件还没想好），以下步骤可以得出 F(x) = 0 的所有解：

记，N(F, x_0) 为初始值为 x_0 时，用牛顿迭代法对方程 F(x) = 0 找到的那个根。

令 f_0 = F，随便挑一个 x_0，N(f_0, x_0) 是 F(x) = 0 的一个根。

i = 1;
while f_i (x) = 0 仍然有根 {

令 f_i = f_{i-1} (x)/(x - N(f_{i-1}, x_0))；
求 N(f_i, x_0)；/* 它仍然是 F(x) = 0 的一个根。
　　　　　　　　　　如果没有重复根，N(f_i, x_0)
　　　　　　　　　　必然不同于以前找到的根。如
　　　　　　　　　　果有重复根，f_{i+1} 必然能让
　　　　　　　　　　f_i 在 N(f_i, x_0) 这个重复根
　　　　　　　　　　上降次。*/
i ++；

}

* 例如，如果 f(x) = e^(1/x)，g(x) = f(x) 的 analytic continuation，以上程序对解 g(x) = 0 就会死机。

[ 本帖最后由天宫公主于 2009-8-17 09:19 编辑 ]

作者: 阿尔法孝直 时间: 2009-8-17 14:57

嗯，明白了，谢谢天宫。

作者: KYOKO 时间: 2009-8-17 23:03

公主的那个只用了牛顿迭代法？

我看光用大学里学的高数都不行啊

作者: 阿尔法孝直 时间: 2009-8-18 01:12

反正我是看懂了，每求出一根，就把当前函数除以(x-当前根)再解，求出一个除一次，就像因式分解那样。

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