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标题: 求教个简单的数学题 [打印本页]
作者: fengxv    时间: 2008-7-3 11:02     标题: 求教个简单的数学题

A+B=100
A*B最大时A,B是多少?
作者: wj2003    时间: 2008-7-3 11:05

因为B=100-A,所以A*B=A*(100-A)=100A-A^2=2500-(A-50)^2,
又1<=A<=99,故-49<=A-50<=49,
因此当A=50时,A*B有最大值2500,
作者: fengxv    时间: 2008-7-3 11:10

……
谢谢

不是故意灌水的，确实一时没想起来～～
作者: yu58584339    时间: 2008-7-3 11:47

貌似很简单啊
A*B取最大值，那么A和B要接近并且相加不超过100
50 50
作者: 青石    时间: 2008-7-3 12:21

两个非负数和为定值，当两数相等时乘积最大

[ 本帖最后由 青石 于 2008-7-3 12:59 编辑 ]
作者: carmelo    时间: 2008-7-30 22:21

均值不等式。
作者: 周瑜    时间: 2008-7-31 22:48

增加一个限制条件，在实数范围之内。
作者: 颖颖    时间: 2008-8-3 01:49

推广一下：令 A, B, C 为正整数。在 A+B+C = 100 的情况下，A*B*C 的最大值是多少？
作者: lcarron78    时间: 2008-8-3 06:06     标题: 回复 #9 颖颖 的帖子

A*B*C = AB(100-A-B )

-->
100B-2AB-B^2=0
100A-2AB-A^2=0

-->
(A,B )= (0,0), (0,100), (100,0), (100/3,100/3)

-->
(A,B,C) = (100/3,100/3,100/3)

[ 本帖最后由 lcarron78 于 2008-8-3 10:07 编辑 ]
作者: 朱然    时间: 2008-8-3 07:29



QUOTE:
原帖由 lcarron78 于 2008-8-3 06:06 发表
A*B*C = AB(100-A-B )

-->
100B-2AB-B^2=0
100A-2AB-A^2=0

-->
(A,B )= (0,0), (0,100), (100,0), (100/3,100/3)

-->
(A,B,C) = (100/3,100/3,100/3)

但要求ABC都是整数。
作者: 朱然    时间: 2008-8-3 08:10

我尝试解一下9楼的题目。
ABC三个数的奇偶性可能是2奇1偶或者3个都是偶数。必定存在其中两个数之和为偶数。不妨设A+B为偶数。100-C=A+B大于等于2根号AB，当且仅当A=B时等号成立。不管C为何值，A=B时A*B*C才可能取最大值，所以A和B必须相等。
A=B，A+B+C=100，得C=100-2A（如果消A则不能确保A为整数），A*B*C=100A平方-2A三次方。
设f（A）=100A平方-2A三次方，则f‘（A）=200A-6A平方。f（A）在[0，100/3]上是单调递增区间，在[100/3，正无限]上是单调递减区间，在A=100/3时取极值，因为A是整数，所以f（33）和f（34）较大者就是A*B*C的最大值，结果是f（33）的时候，最大值为37026。
作者: 墨叶    时间: 2008-8-3 08:40

再次推广。

把100分成任意个的正整数之和，使这些正整数之积最大。
作者: lcarron78    时间: 2008-8-3 11:31

回复 #11 朱然 的帖子
忘了是整数

回复 #13 墨叶 的帖子
直觉告诉我，每数为１００／N向上或向下取整。
作者: 朱然    时间: 2008-8-3 12:06



QUOTE:
原帖由 lcarron78 于 2008-8-3 11:31 发表
回复 #11 朱然 的帖子
忘了是整数

回复 #13 墨叶 的帖子
直觉告诉我，每数为１００／N向上或向下取整。

是的，答案应该是这样的。加多个条件N小于等于100。
最终还是要把问题放在其中两个数字上。假如其中两个数字的差为2，那么取两数的平均数肯定要比原来乘起来大，从而可以证明每个数之差不应超过1，然后就能得出这样的结论。
作者: 颖颖    时间: 2008-8-3 14:37



QUOTE:
原帖由 墨叶 于 2008-8-3 08:40 发表
再次推广。

把100分成任意个的正整数之和，使这些正整数之积最大。

3^32*2^2

具体证明懒得写了，但主要利用好 3^2 > 2^3 就可以了。
作者: 0405cwk    时间: 2008-8-3 14:49

均值定理
或曰二次方程
作者: 墨叶    时间: 2008-8-3 17:58     标题: 回复 #16 颖颖 的帖子

呵呵，这个结论小学生就可以做。也可以大致说明。

其实我一直不明白为什么是分成3。

随便问下，如何把100分成任意个的正数之和，使这些正数之积最大。
附：我主要是想知道自然对数是否有作用，并不想知道如何证明。

[ 本帖最后由 墨叶 于 2008-8-3 18:00 编辑 ]
作者: sky_force    时间: 2008-8-3 20:37



QUOTE:
原帖由 墨叶 于 2008-8-3 17:58 发表
呵呵，这个结论小学生就可以做。也可以大致说明。

其实我一直不明白为什么是分成3。

假设100分解为a1...an 假设ak>3能保证a1...ak...an>3^32*2^2

若ak=4 分解为2*2积相同 存在两个以上4则4*4<3^2*2
若ak>4 ak=x+3(x>=2)推出3x>x+3 故a1...an均不大于3

若a1...an中2的数量多于两个 必然有2*2*2*S<3^2*S 故只能有两个2
故a1...an中有1存在 将1与2合为3或1与3合并分为2*2都将取得更大值 故没有1

综上结论成立
作者: 墨叶    时间: 2008-8-3 22:40     标题: 回复 #19 sky_force 的帖子

这种证明完全正确。

不好意思，我表达错误。
我奇怪为什么是分成“3”这个数而不是其他的数。

或者说是什么原因导致把数分成3使积最大。
与自然对数是2.71828…是否有关。

另，我对为什么球的体积最大也很好奇。
作者: 颖颖    时间: 2008-8-3 23:12



QUOTE:
原帖由 sky_force 于 2008-8-3 20:37 发表


假设100分解为a1...an 假设ak>3能保证a1...ak...an>3^32*2^2

若ak=4 分解为2*2积相同 存在两个以上4则4*4<3^2*2
若ak>4 ak=x+3(x>=2)推出3x>x+3 故a1...an均不大于3

若a1...an中2 ...

青木风亮，你这也太不厚道了吧？

明明此题最关键的一步是我写出来的，为什么反而没赏通宝？
作者: 青木风亮    时间: 2008-8-3 23:28

纵观全版 阁下虽然一向表现积极 但是总是略显懒惰 有耍酷摆pose之嫌

本着赏勤不赏懒的优良传统和一贯作风 反映在本贴上进行了和谐处理（这方面你应多向sky_force同学学习） 也是本着纠正不良歪风的良苦用心 还望阁下海涵

墨叶还有一发散题目待解 若能继续解答 本人保证赏金将按5的倍数递增（有“天”意不可抗力因素除外） 期待你的表现 若对于本贴的处理有什么问题 欢迎到登闻鼓投诉
作者: 颖颖    时间: 2008-8-3 23:30



QUOTE:
原帖由 青木风亮 于 2008-8-3 23:28 发表
纵观全版 阁下虽然一向表现积极 但是总是略显懒惰 有耍酷摆pose之嫌

本着赏勤不赏懒的优良传统和一贯作风 反映在本贴上进行了和谐处理（这方面你应多向sky_force同学学习） 也是本着纠正不良歪风的良苦用心 ...

辕门射虎，点到为止，累傻小子的字，本公主还真不屑于打。告辞！
作者: 青木风亮    时间: 2008-8-4 00:54

人见人爱 花见花开 车见车爆胎的公主认真了 于是本人也认真一下 上交全部非法所得 转交公主名下

虽然公主本人可能不屑于看 但是过场还是要走的

欢迎各位继续讨论未解决的问题 或者转移到本版其它的有些甚至是公主也参与思考的历史遗留问题 在讨论的过程中要注意楼上的反面教材 引以为鉴
作者: 墨叶    时间: 2008-8-4 07:30

小学的时候就遇到这样的题：
如何把20分成任意个的正整数之和，使这些正整数之积最大。

当时能做出来，
2+2+2=3+3，而2*2*2<3*3
3+3+3+3=4+4+4，而3*3*3*3>4*4*4。

我很奇怪为什么“3”有这个特性。
后来知道自然对数后一直在想是否与3是最接近自然对数的正整数有关。


我只想知道是否有关，对证明过程没兴趣。（我也不想别人为了这些无聊的问题打字）

[ 本帖最后由 墨叶 于 2008-8-4 07:31 编辑 ]
作者: 朱然    时间: 2008-8-4 09:41



QUOTE:
原帖由 墨叶 于 2008-8-4 07:30 发表
小学的时候就遇到这样的题：
如何把20分成任意个的正整数之和，使这些正整数之积最大。

当时能做出来，
2+2+2=3+3，而2*2*2<3*3
3+3+3+3=4+4+4，而3*3*3*3>4*4*4。

我很奇怪为什么“3”有这个特 ...

是的，就是因为自然对数。如果不限制为正整数，答案就应该是自然对数。设f(x)=(20/x)^x，对此函数求自然对数再求导数即可证明。
作者: 周瑜    时间: 2008-8-7 10:38



QUOTE:
原帖由 青木风亮 于 2008-8-3 11:28 发表
纵观全版 阁下虽然一向表现积极 但是总是略显懒惰 有耍酷摆pose之嫌

本着赏勤不赏懒的优良传统和一贯作风 反映在本贴上进行了和谐处理（这方面你应多向sky_force同学学习） 也是本着纠正不良歪风的良苦用心 还望阁下海涵

墨叶还有一发散题目待解 若能继续解答 本人保证赏金将按5的倍数递增（有“天”意不可抗力因素除外） 期待你的表现 若对于本贴的处理有什么问题 欢迎到登闻鼓投诉

看见其中某一句话，笑喷了。

[ 本帖最后由 周瑜 于 2008-8-6 22:42 编辑 ]
作者: hyj0725    时间: 2008-12-1 22:10

这个题目貌似不是这样的吧
作者: ygwd123    时间: 2008-12-3 20:08

实数下,抛物线f(x)=-(x-50)平方+2500的值域,那么x=50时,有最大值2500
作者: 客上天然居    时间: 2008-12-20 11:03

能不能用函数求导的解法来解这个问题？



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