轩辕春秋文化论坛 - Powered by Discuz! Board

标题: 数学高手请进来一下 [打印本页]

作者: 张建昭 时间: 2007-5-20 16:38 标题: 数学高手请进来一下

今天早晨半睡半醒中突然想到一个问题（

我觉得半睡半醒时是最佳思考时间），特来请教。

事先声明，我自从高中之后就再没学过数学，问出来的问题有可能是白痴问题，各位做好心理准备。

在一条线段AB上，有这样一个点O（O在AB上，不与A或B重合），OA：AB=a（a为常数），之后做AB的中点C，OB：BC=a，再做BC的中点D，OC：CD=a，之后以此类推。
问：
1、是否可能有这样的点O，满足上面的条件，并证明。
2、求出a的值。

C D
A*----------------*----·--*-------*B
O

[ 本帖最后由张建昭于 2007-5-20 16:39 编辑 ]

作者: 博雅张生 时间: 2007-5-20 18:43

a=2/3

（为描述方便，将建昭说的A、B、C……记为A(0)、A(1)、A(2)……）

设线段A(0)A(1)在数轴上，A(0)坐标为0，A(1)坐标为1，A(n)坐标为f(n)，则

f(0)=0
f(1)=1
f(n)=1/2(f(n-1)-f(n-2)) (n>=2)

则f(n)的通项公式为f(n)=2/3-2/3(-1/2)^n

证明：对n进行归纳
n=0,1显然成立
假设对一切n<m时命题成立，则当n=m时
f(n)=1/2(f(n-1)+f(n-2))
=1/2(2/3-2/3(-1/2)^n-1+2/3-2/3(-1/2)^n-2)
=2/3-1/2(2/3(-1/2)^n-2(-1/2+1))
=2/3-(1/2)(2/3(-1/2)^n-2)(1/2)
=2/3-2/3(-1/2)^n
即n=m时命题也成立

设O点坐标为2/3，则
|OA(n)|=2/3(1/2)^n
|A(n)A(n+1)|=(1/2)^n
|OA(n)|/|A(n)A(n+1)|=2/3

作者: 张建昭 时间: 2007-5-21 15:55

知道了

欢迎光临轩辕春秋文化论坛 (http://xycq.org.cn/forum/)