标题: 初一数学题（难度相当大） [打印本页]
作者:
夜雨落枫 时间: 2006-10-22 18:53 标题: 初一数学题（难度相当大）
若P是>3的素数，且3n=(2^2p)-1,求证：n整除(2^n) —2
[ 本帖最后由 夜雨落枫 于 2006-10-22 22:15 编辑 ]
作者:
夜雨落枫 时间: 2006-10-22 18:59
忘记说了，必须用初中知识解
作者:
hmhfeng 时间: 2006-10-22 19:56
可不可以不要弄数学的东西。这里是游戏的地盘
作者:
gsyzj 时间: 2006-10-22 20:15
这要求n>4
不知道是不是这样证明的：(2^n)-2=(2*2^(n-1))-2=2(2^(n-1)-1)
又3N=(2^2p)-1,，设(n-1）=p，则有2(2^(n-1)-1)=2（2^2p-1）=2*3N，因此可以证明上式成立。
作者:
风暴潮 时间: 2006-10-22 20:52
别老整初一的，有本事你整个初三的。
你的题目意思都没说清，n是什么东西？自然数？还是存在这样一个自然数？
作者:
夜雨落枫 时间: 2006-10-22 21:04
原帖由 风暴潮 于 2006-10-22 20:52 发表
别老整初一的，有本事你整个初三的。
你的题目意思都没说清，n是什么东西？自然数？还是存在这样一个自然数？
你自己没看清啊
整除，2^2P-1足以说明N是正整数
作者:
风暴潮 时间: 2006-10-23 16:14
更糊涂了，n和N是一个东西？
作者:
夜雨落枫 时间: 2006-10-23 18:15
原帖由 风暴潮 于 2006-10-22 20:14 发表
更糊涂了，n和N是一个东西？
不好意思，大小写打错了
是同一个
作者:
wt890920 时间: 2006-10-23 18:39
原帖由 gsyzj 于 2006-10-22 20:15 发表
这要求n>4
不知道是不是这样证明的：(2^n)-2=(2*2^(n-1))-2=2(2^(n-1)-1)
又3N=(2^2p)-1,，设(n-1）=p，则有2(2^(n-1)-1)=2（2^2p-1）=2*3N，因此可以证明上式成立。
我也是这样证的,LZ看对不?
作者:
夜雨落枫 时间: 2006-10-23 18:50
原帖由 wt890920 于 2006-10-22 22:39 发表
我也是这样证的,LZ看对不?
但是n针对任意正整数
作者:
whws 时间: 2006-10-23 21:48
n>4不是问题。因为p>3
但是这个证明本身似乎有点问题。(n-1）=p的假设是怎么来的呢？
作者:
夜雨落枫 时间: 2006-10-23 22:34
原帖由 whws 于 2006-10-23 01:48 发表
n>4不是问题。因为p>3
但是这个证明本身似乎有点问题。(n-1）=p的假设是怎么来的呢？
看到WHWS兄的一些解答，看得出兄水平应该相当高吧
现在偶有了用费马小定理的解法，有没有不用费马小定理的解法呢（因为费马小定理是高中内容）
还有那个N-1=P似乎未必吧，应该不能这样假设
作者:
zbjyihao 时间: 2006-10-23 23:29
要是在初中或许可以，现在全忘了
作者:
whws 时间: 2006-10-24 20:02
原帖由 夜雨落枫 于 2006-10-23 22:34 发表
看到WHWS兄的一些解答，看得出兄水平应该相当高吧
现在偶有了用费马小定理的解法，有没有不用费马小定理的解法呢（因为费马小定理是高中内容）
还有那个N-1=P似乎未必吧，应该不能这样假设
我的水平不高，只不过用中学的残留记忆做点头脑运动，再就是在网上搜点感兴趣的东西看看。
其实觉得像这样的问题，就是间接的让学生证明费马小定理。
如果是我的话，可能会用组合数学去证明。（a+b）^n=a^n+Cn,1×a^(n-1)×b+Cn,2×a^(n-2)×b^2+……+Cn,(n-1)×a×b^(n-1)+b^n
取a=b=1,
2^n=sum(Cn,i)；i=0、1、2……n。
2^n-2=sum(Cn,i)；i=1、2、……n-1。
Cn,i=n!/(i!*(n-i)!)
因此只要证明各项Cn,i之和能够被n整除就可以了。也就是证明sum((n-1)!/(i!*(n-i)!))是整数。
(n-1)!/(i!*(n-i)!)=Cn-1,i×(n-1-i)!/(n-i)!=1/(n-i)*Cn-1,i
所以要证明sum(1/(n-i)*Cn-1,i)是整数，i=1,2,...n-1
剩下的证明，我再想想
[ 本帖最后由 whws 于 2006-10-24 20:28 编辑 ]
作者:
whws 时间: 2006-10-24 20:32
对了，想起一件事，组合数学初中学了没有？
作者:
夜雨落枫 时间: 2006-10-24 20:55
原帖由 whws 于 2006-10-24 20:32 发表
对了，想起一件事，组合数学初中学了没有？
？
如果是那PX,X和CX,X（排列组合？）
那是学过的
别的不清楚
多谢了
留下慢慢消化
[ 本帖最后由 夜雨落枫 于 2006-10-24 20:58 编辑 ]
作者:
夜雨落枫 时间: 2006-10-24 20:57
原帖由 whws 于 2006-10-24 20:02 发表
如果是我的话，可能会用组合数学去证明。（a+b）^n=a^n+Cn,1×a^(n-1)×b+Cn,2×a^(n-2)×b^2+……+Cn,(n-1)×a×b^(n-1)+b^n
这个不是二项式定理吗，记得证过的
作者:
whws 时间: 2006-10-24 21:15
想了一下，用费马小定理的确很容易证明。可以先证明n-1=kp，k为正整数。再利用gsyzj给出的证明方法证明原命题。
这样吧，实在懒得费劲了。把费马小定理的证明转贴过来吧。
费马小定理：若p是质数，且p不能整除a，则a^(p-1)=1mod(p)
证明：因为p不能整除a，考虑1×a、2×a、……(p-1)×a，这p－1个数对p不同余，且都不能整除p。所以1×a×2×a×……×(p-1)×a=a^(p-1)×(p-1)!＝1×2×3×……×p-1＝(p－1)!mod(p)
所以a^(p-1)=1mod(p)
[ 本帖最后由 whws 于 2006-10-24 21:19 编辑 ]
作者:
西门飘烟 时间: 2006-11-4 14:44
弱弱的问一下
^ 这个符号在这里是什么含义？
偶怎么一点印象都没有啊~！
作者:
夜雨落枫 时间: 2006-11-8 13:06
原帖由 西门飘烟 于 2006-11-4 14:44 发表
弱弱的问一下
^ 这个符号在这里是什么含义？
偶怎么一点印象都没有啊~！
A^N表示A的N次方
作者:
最爱碧落赋 时间: 2006-11-15 21:30
我们没学.我上初2.数学每次是校前三.就是没学这个.绝对没记错.楼主标题炒做.无法用初一知识解.
作者:
夜雨落枫 时间: 2006-11-15 21:51
原帖由 最爱碧落赋 于 2006-11-15 21:30 发表
我们没学.我上初2.数学每次是校前三.就是没学这个.绝对没记错.楼主标题炒做.无法用初一知识解.
我汗……当我华罗庚金杯赛差1分就一等奖的是吃干饭的啊
校前三，也要看什么学校的啊
问题就是偶们现在就学这个
再说我有没说用初一知识解
说的是用初中知识解
作者:
天生傲骨 时间: 2006-12-9 11:47
不懂
[ 本帖最后由 天生傲骨 于 2006-12-9 11:49 编辑 ]
作者:
陈云逸 时间: 2006-12-9 12:32
初中的时候这种奥赛题做过很多，估计当时做没问题
不过现在都忘光了
作者:
Indelibe 时间: 2006-12-10 16:11
原帖由 夜雨落枫 于 2006-11-15 21:51 发表
我汗……当我华罗庚金杯赛差1分就一等奖的是吃干饭的啊
校前三，也要看什么学校的啊
问题就是偶们现在就学这个
再说我有没说用初一知识解
说的是用初中知识解
我当年差几分(忘记了) 就可以代表中国参加IMO 竞赛了呢....
我觉得数学问题,解题的局限性不要太大，不然就阻碍了思维的发挥..
如果你没学,你可以先学 ,你应该走在老师同学们的前面才对
作者:
颖颖 时间: 2006-12-13 00:40
想学好数学，就必须把它看成一个积木城堡。你拆一块下来，看看塌多少，塌的太多了再把它安回去。反复如此，就可以体会出各个定理之间的关系和证明技巧了。懂一个定理，并不是说能背出它的证明就行了，而是应该试着用同样的技巧去证明别的东西，一直到证不动了为止。然后体会这些结果的相似和不同。
作者:
sky_force 时间: 2006-12-13 12:24
原帖由
Indelibe 于 2006-12-10 16:11 发表
我当年差几分(忘记了) 就可以代表中国参加IMO 竞赛了呢....
我觉得数学问题,解题的局限性不要太大，不然就阻碍了思维的发挥..
如果你没学,你可以先学 ,你应该走在老师同学们的前面才对
学妹你太猛了 那你还学什么文科啊 国家集训队不用上高三的 各大高校直接包了...
作者:
bioying 时间: 2006-12-13 13:33
原帖由
Indelibe 于 2006-12-10 16:11 发表
我当年差几分(忘记了) 就可以代表中国参加IMO 竞赛了呢....
我觉得数学问题,解题的局限性不要太大，不然就阻碍了思维的发挥..
如果你没学,你可以先学 ,你应该走在老师同学们的前面才对
也许当年你确实很牛。但你不一定就比人家数学专业本科毕业的普通学生数学强。
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