轩辕春秋文化论坛 - Powered by Discuz! Board

标题: 求助：一不等式的证明 [打印本页]

作者: lcarron78 时间: 2006-8-25 05:20 标题: 求助：一不等式的证明

求证：

ln(N)          ln( ln(N) )
--------    < --------------  的  开平方
N                   2 N

ln 是自然对数， N 是任一使式子有意义的正整数。

将赠 TB 100，谢。

[ 本帖最后由 lcarron78 于 2006-8-25 09:42 编辑 ]

作者: 天宫公主 时间: 2006-8-26 00:03

由于 log(log( N )) > 0, 因此 log( N ) 至少是正数．不妨设 M = log N，则等式变成
M e^(-M) < [log (M/2) e^(-M/2)]/2
由于 e^(.) > 0, 移项可得
M < [e^(M/2) log(M/2)]/2.
当 M 足够大时，可得：右边 > (1/2) e^(M/2) > M. M 较小时，可以从 M = log 8 开始一个一个检查，穷举证毕．

作者: 瓦灰 时间: 2006-8-26 09:38

想到种做法不过要烦琐些,不写出来了,只说下思路.
由题可之ln(lnN)>0→N>e因为N是正整数所以N>=3,对不等式两边平方得:
[ln(N)]~2]/(N~2)<[ln(lnN)]/2N,令f(N)=[ln(lnN)]/2-[ln(N)]~2]/N,然后对f(N)求导讨论单调性.

作者: lcarron78 时间: 2006-8-27 05:40 标题: 回复 #2 天宫公主的帖子

不妨设 M = log N，则等式变成
M e^(-M) < [log (M/2) e^(-M/2)]/2

按公主的方法，右边我得到的是

[log (M) /2 * e^(-M/2)] 的开平方。

不过思路我是明白了。

------TB已汇.

[ 本帖最后由 lcarron78 于 2006-8-27 14:20 编辑 ]

作者: lcarron78 时间: 2006-8-27 05:47 标题: 回复 #3 瓦灰的帖子

令f(N)=[ln(lnN)]/2-[ln(N)]~2]/N,然后对f(N)求导讨论单调性.

借用公主的思路，
f(M) = [ln(M)]/2 - M^2 / e^M

M --> inf, ln(M)/2 >>1 , M^2 / e^M << 1, f(M) > 0.

另，M 较小时，可以从 M = log 8 开始一个一个检查，穷举证毕

得解。谢谢。

------TB已汇.

[ 本帖最后由 lcarron78 于 2006-8-27 14:21 编辑 ]

作者: 林冲岳父 时间: 2008-2-21 01:48

lg是以10为底的的对数,e是无穷自然对数.f(m)=[inM]/2 e^m
使得在im(m)<0时,f(m)>0,M=log8.得出.

欢迎光临轩辕春秋文化论坛 (http://xycq.org.cn/forum/)