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标题: 出一道数学题 [打印本页]

作者: 笑傲居士 时间: 2006-6-30 00:56 标题: 出一道数学题

高中时在我们数学老师的一期《数学通讯》上看到的一道征解题，当时花了一节课的时间做了出来，老师说是对的，不过由于当时已经过了悬赏期，所以没有寄回杂志，所以不敢保证自己做的绝对正确。

题目：
X+Y+Z=3
x^3+Y^3+Z^3=3

求该方程组的所有整数解

（X^3表示的是X的三次方）

作者: reynolds_wwy 时间: 2006-6-30 10:16 标题: 回复 #1 笑傲居士的帖子

我使用最原始的方法做的
z=(3-x-y)，代入第二个方程
化简以后得到
(3-x)y^2-[(3-x)^2] y+(3x^2-9y+8)=0
把y看成未知数x看成参数，这个整系数二次方程至少有一个整数根(x<>3是很明显的)，由于平方项系数是
一次项系数的约数，所以如果有一个整数根的话一定两根都是整数，这样就有

(x-3)|(3x^2-9x+8)

或者说x-3是8的约数，也就是正负1,2,4,8

分别代入后发现，
只有(x,y,z)=(1,1,1)和(4,4,-5),(4,-5,4),(-5,4,4)共四组解

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