一道几何题 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2004-10-28 15:07 资料文集短消息只看该作者

上初中的时候有一道几何题，当时自己没做出来（好象这是唯一的一道），后来向老师求教，也是隔了两天才给出了一个答案，证明过程极其繁琐，加了无数的输助线，再后来在一份报纸上看到了一个解法，其复杂程度也差不多。若干年后上大四了，上一趟极无聊的课，忽然想起这个题来，几分钟就用一极简明的办法证了出来。大家试一试。

题目是：三角形的大边中线较短。
要求用初二课程学过的方法证明。

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#2

发表于 2004-10-28 23:09 资料主页个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由鲍伯 . 迪伦于2004-10-28, 22:56:02发表
偶不太明白这个题目。。。何谓"大边"，哪个"中线"?

就是最长的那条边的中点到此边所对顶点的连线~~~~不过我不记得我初二学过虾仁啦 ~~是不是用两边之和大于第三边解的?~~开始昏迷ING~~

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#3

发表于 2004-10-28 23:14 资料文集短消息只看该作者

这个要怎么证啊，最长的那条边越长，所对应的那个夹角也就越大，那么该三角形也就越扁，那该边中点与其对应角的连线自然也越短啊......
要用初二所学到的原理证明出来的话比较困难......

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#4

发表于 2004-10-29 00:15 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由人在江湖于2004-10-28, 23:09:01发表
就是最长的那条边的中点到此边所对顶点的连线~~~~不过我不记得我初二学过虾仁啦 ~~是不是用两边之和大于第三边解的?~~开始昏迷ING~~

呵呵，中线是指bisector，明白了。

伯约，你这个证法，应该用了三角学(trigonometry)，不知道有没有越出中二范围。。。

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#5

发表于 2004-10-29 13:10 资料主页文集短消息只看该作者

看来只有小弟出马了先贴张图

小弟使用了1.余弦定理（是我初二就肯定会的）

如图三角形ABC BC为最长边 AD BE CF三条中线交于一点O(重心) 求证：AD为最短中线

证明：为了表达方便令AE= EC=a BD=DC=b AD=c BE=d
c^2=4a^2+b^2-4abcosC...(1)
d^2=4b^2+a^2-4abcosC...(1)
上两式相减得
c^2-d^2=3(a^2-b^2)
BC为最长边=>AC<BC=>a<b=>a^2<b^2
于是有c^2-d^2<0即c<d 同理可证c<CF

该题被评为C级题目楼主获奖100通宝作者进入虎将榜

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#6

发表于 2004-10-29 19:31 资料主页个人空间短消息只看该作者

老大~~~余弦定理是高二解析几何的内容吧~~~ 你初二就学啦~~

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#7

发表于 2004-10-29 21:30 资料个人空间短消息只看该作者

偶肯定初二不会这个 "law of cosines"。。。
这个偶甚至是高中最后一年才学到。。。

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#8

发表于 2004-10-31 17:26 资料文集短消息只看该作者

青木的证明用到了余弦定理，属于解析几何的范畴了，初二学过的应该是纯欧几里德几何。

借用一下青木的图，已知AB>AC，求证BE>BF
这里要用到一个定理，在初二几何的平行四边形部分里作为一个例题出现的，就是平行四边行的两条对角线的平方和等于四边的平方和。从平行四边形的任意两个相邻顶点向与其连线相对的另一条边作垂线，然后可以很容易地用勾股定理证出。这里要直接引用这个定理。
由平行四边形BFED
BE^2+FD^2=2*BD^2+2*BF^2
由平行四边形CEFD
CF^2+ED^2=2*CE^2+2*CD^2
两式相减，后面就很容易了。

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#9

发表于 2004-10-31 22:02 资料主页文集短消息只看该作者

余弦真的是初中学的啊不过可能在课本上是初三的内容
山水发这样的题很不错个人赞助500

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#10

发表于 2004-11-1 18:03 资料文集短消息只看该作者

青木真是大方，千万不要发钱发到破产啊。不过一下子这么多钱，真是。

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