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山水 组别 校尉 级别 奋威校尉 功绩 16 帖子 122 编号 6762 注册 2004-4-14

#1 发表于 2004-12-1 18:22 资料 文集 短消息 只看该作者 求证正2n+1边形的所有对角线把它划分成的若干区域中，中心也是一个2n+1边形。 证明： 令该多边形为A0A1A2……A2n+1，其外心为O，令外接圆的半径为1。 相等的弦圆心角相等，而正多边形的所有边相等，所以各边的圆心角相等，都是2π/（2n+1），令θ=π/（2n+1），各边的圆心角为2θ 任取相交的两条对角线AiAj、AkAl，(i<k<j<l)其交点为P。 一、给出计算OP的方法。 从O向AiAj引垂线交AiAj于B，向AkAl引垂线交AkAl于C。 ∠AjOAi=2(j-i)θ ∠AkOAl=2(l-k)θ ∠AkOAi= 2(k-i)θ ∠AlOAi= 2(l-i)θ ∠BOAi=∠AjOAi/2=(j-i)θ ∠COAk=∠AkOAl/2=(l-k)θ ∠COB= ∠COAi-∠BOAi= ∠COAk+∠AkOAi-∠BOAi=(l-k)θ+2(k-i)θ-(j-i)θ=（k+l-i –j）θ 以上角均为按逆时针方向旋转，有可能大于π OB=OAi|cos∠BOAi|=|cos(j-i)θ| OC=OAj|cos∠COAk|=|cos(l-k)θ| 令∠POB=φ 由直角三角形OPB，有OP= OB/|cos∠POB|=|cos(j-i)θ|/|cosφ|=| sin [π/2-(j-i)θ|/|cosφ|=|sin[（2n+1）θ/2-(j-i)θ|/|cosφ|=|sin[（n-j+ i +1/2）θ|/|cosφ| 从OP=|cos(j-i)θ|/|cosφ|来看，i和j的大小顺序对计算结果没有影响，类似的，k、l的顺序也是一样，i<k<j<l的假设可以取消。 特殊地，当j- i = l-k时 k- i =l-j AkAi=AlAj 又易知三角形AlPAj 和AkPAi 的三对角都相等，故两个三角形全等，PAi=PAl 由三角形AjOAi和AkOAl全等可知∠OAiP=∠OAlP 再由OAi=OAl 可知三角形POAi和POAl全等， ∠POAi=∠AlOP=∠AlOAi/2= (l- i)θ ∠POB=∠POAi-∠BOAi=(l- i)θ-(j-i)θ=（l-j）θ OP=|sin（n-j+ i +1/2）θ|/|cosφ|=| sin（n-j+ i +1/2）θ|/|cos（l-j）θ| 二、构造小正多边形 令AiAi+n（当下标>2n时等效于减去2n+1，以下略）与Ai+1Ai+n+1交于Pi点 Pi与P(i+1)同处于对角线A(i+1)A(i +1+n)上，因此P0P1……Pi……P2n由对角线连成一个2n+1边形。 用上面的方法计算OPi， 此时j= i +n，k= i +1，l= i +1+n，j- i =l-k 故OPi= | sin (（n-j+ i +1/2）)θ|/|cos（l-j）θ|=sin（θ/2）/ cosθ 对i=1，……n，OPi相等，故Pi均处于以O为圆心sin（θ/2）/ cosθ为半径的圆周上。 ∠PiOB=（l-j）θ=θ 同理∠PiOC=θ 因此∠OPiB=∠OPiC 所有等腰三角形OPiPi+1底角相等，斜边相等，因而全等，故此P0P1……Pi……P2n所有的边和角均相等，是一个正2n+1边形，其外接圆半径为sin（θ/2）/ cosθ。 三、该小多边形即为中心区域 最后来证明这个图形就是中心区域，方法是证明对其他所有的交点P，OP>sin（θ/2）/ cosθ。 先看两条对角线AiAj、AkAl中至少有一条不符合条件AiAi+n，，令AiAj不符合且i<j。显然j- i不等于n 另对j- i = n+1，实际上AiAj就是AjAj+n，因此j- i也不是n+1。 即1<j- i <n或n+1< j- i<2 n OP= | sin (（n-j+ i +1/2）)θ|/|cosφ|>= | sin (（n-j+ i +1/2）)θ|>= sinθ 对正五边形，所有对角线都是PiP(i+1)，因而此时2n+1>=7，θ=π/（2n+1）<=π/7，cos(θ/2)cosθ>1/2 OP>= sinθ=2sin(θ/2)cos(θ/2)> sin(θ/2)/cosθ 再看AiA(i+1)之间的其他交点，令AsA(s+n)与PtP(t+n)交于P，t>s且1<t-s<2n OP = | sin (（n-j+ i +1/2）)θ|/|cos（l-j）θ| = sin(θ/2)/| cos（t-s）θ|> sin(θ/2)/cosθ 因所有其他交点离正多边形中心的距离都大于小多边形的外接圆半径，故可认定上述小多边形即为分割后的中心区域，命题得证。 有些叙述不是很严密，严格追究起来还需要加不少说明，不过就太繁琐了。 图片附件: post-42-1101648901.gif (2004-12-1 18:22, 4.74 K) [广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布

青木风亮 (枯木) 定远侯谏议大夫 组别 翰林学士 级别 平西将军 好贴 3 功绩 521 帖子 2357 编号 12000 注册 2004-7-18 家族 泡泡营

#2 发表于 2004-12-7 22:17 资料 主页 文集 短消息 只看该作者 今天才耐下心来看完山水的证明全过程 小小一个猜想 引发如此多的证明步骤 看似繁琐 其实山水的证明有条不紊 环环相扣 实在值得称赞！   ps:山水是学数学的？ [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

山水 组别 校尉 级别 奋威校尉 功绩 16 帖子 122 编号 6762 注册 2004-4-14

#3 发表于 2004-12-10 16:37 资料 文集 短消息 只看该作者 青木过奖了，我不是学数学的，不过对数学确实有兴趣。 [广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌

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