原帖由 muzhi 于 2010-4-28 18:17 发表
f(a+b*pi) = m1*a + m2*b*pi不就完了。。。
我怀疑第二部分跟实数域的结构有关，有熟悉抽象代数的同学么？
思路完全正确，而且在 f 不需要连续的时候，其解确实和实数结构有关，用到的是 field extension （域扩展）这个概念。即，如果 k 是一个域（域是所有能够加减乘除的一个代数结构，例如有理数，实数都是域，但整数不是，因为有些整数之间相除得出来不是整数），l 是 k 的子域（例如，有理数就是实数的子域），则商空间 k/l 是一个向量空间。由 Axiom of choice（选择公理），任何向量空间都有一个 basis（基）。也就是说，存在一个无理数数列 {x_i, i = 1,2,3,...} 使得任意实数 r 都能被写为: r = q0+q1.x1+q2.x2+... 其中 q_i, i = 0,1,2,... 皆为有理数。满足以上条件的数列 {x_i} 被称为 k/l 的 basis（基）。
然后可证明，
1, 简单部分：f(q0+q1.x1+q2.x2+...) = m0.q0 + m1.q1.x1 + m2.q2.x2+... （m 暂且称为斜率）
2, 复杂部分：从 Axiom of choice 只能得出 k/l 之基 x_i 的存在性，而不能得出此基的唯一性（事实上基也的确不唯一）。那么当 r 同时满足 r=q0+q1.x1+q2.x2+... 和 r=s0+s1.y1+s2.y2+... 的时候（y_i是 k/l 的另一个基，s_i 皆为有理数），如何确定 f(q0+q1.x1+q2.x2+... ) = f(s0+s1.y1+s2.y2+...)? 还是说这个条件会对一些斜率 m0, m1, m2, ... 有所限制？
注：有些数学家不喜欢在证明中用 Axiom of choice，因为这个公理以只保证存在性，而不能提供建设性构造而臭名远扬。因此，如何不用 Axiom of choice 的情况下来解此方程，则是数学界的一个未解之悬疑。
[ 本帖最后由 颖颖 于 2010-5-5 19:35 编辑 ]
