[已解决]一道老题了，至今不知道答案

已知：
A先生的汽车长1，宽度忽略，汽车可以以车身任一点旋转[比007的还牛X]，注意汽车不能弯折[即始终保持“一”字形]，问：A先生要修建一座车库[平面的，不要立体的]，求占地面积最小车库设计方法。

忘记了，车库要求，汽车能在车库内转180度

以下是 [i][size=2]青石[/size][/i] 在53楼的回复，被设为最佳答案
[quote]这个问题是Kakeya conjecture（挂谷猜想）

已经被解决了，答案是可以任意小。

搜到一段话：
“日本数学家挂谷(Kakeya)宗一于1917年提出的一个问题，原题是一武士用短棒抵挡矢石射击，换成数学记法表示为：如何将长为1的线段转过180°(或360°)，使这线段扫过的面积为最小？

若棒绕一端旋转半周，扫过的半圆面积为π/2=1.57…；若棒绕中心旋转180°，扫过的面积为π/4=0.785…；若在正三角形(高为1，边长为2/sqrt3)中每一顶点处各绕60°，则扫过面积为1/sqrt3=0.577…。挂谷本人考虑内摆线，当小圆、大圆的直径分别为1/2，3/2时，曲线内任一条切线长为定值1，棒再按在正三角形内的方式转动扫过的面积为π/8=0.392…。挂谷本人及许多人都认为这就是最小面积了。

1925年美国数学家G.D.Birkhoff特别在著作中提到挂谷问题。后来，长度为1的线段可在点集中转过180°，这样的点集被称为挂谷集。挂谷问题就转化为求面积最小的挂谷集。1920年原苏联数学家Besicovitch在自己的研究领域提出一个类似的问题：是否存在一个面积(若尔当测度)为0的平面点集，它在每一方向上都有长度≥1的线度？后来他将这两个问题称为孪生问题。1928年Besicovitch解决了自己的问题，即构造出面积为0的平面点集，在每一方向上都有长度≥1的线段。接着又运用同样的方法，并借助匈牙利数学家鲍尔(J.pal)的想法进行“联结”，成功地解决了挂谷问题。他的结论出乎绝大多数人的意料：短棒扫过的面积可以任意地小(因而没有最小值)。他的方法由德国数学家佩龙(1928)和另一位数学家舍恩伯格(1962)两度化简，已成为数学中的经典例子。但他们得到的挂谷集有很多洞，因而不是单连通的。

1921年鲍尔证明了如果限于凸图形，前述的正三角形是面积最小的解(1/sqrt3)。1965年R.J.Walker首先找到比挂谷本人解答的面积更小的单连通域挂谷集。同年布洛姆、舍恩伯格和坎宁安(F.Cunningham)先后造出面积为(5-2*sqrt2)π/24(<π/11)的单连通挂谷集。1971年坎宁安终于在单位圆内作出面积可以任意小的单连通挂谷集，完全解决了单连通性和有界性两方面的问题。同时，他证明了如果限于星形(即图形内存在一点，连接它与图形中任一点的线段整个在图形中)，则挂谷集的面积≥π/108。挂谷问题还有多种推广形式，如1971年戴维斯(R.O.Davies)证明了一条半径为1的圆弧转过180°，扫过的面积不能任意小。此外，将线段改为宽度很小的长方形这类问题也开始有人研究。”[/quote]

[[i] 本帖最后由 司徒苍月 于 2008-3-4 14:35 编辑 [/i]]

不解... 所谓最小的车库设计, 是让车能停进去+退出来. 那么至少也应该给出一点车道的情况吧? 进车库相比在哪还要转个弯吧 (不然旋转条件岂不白费了)?

另外, 按目前的形势, 貌似没有最小设计吧? 莫非楼主问的是infemum而不是 minimum?

面积为0，哈哈，
长度为1，宽度为0，就按照车的样子做一个最小型的车库，前后都开门，或者倒车........

不会要求在车库里就要任意旋转吧？那最小貌似是个圆？

漏了要求了
现在补上

提示答案肯定小于

派/6

感觉条件还是不够，比如对车门的限制，
PS:不解旋转180度是不是也可以旋转360度呢？

[quote]原帖由[i]crayfish[/i]于2006-02-28, 16:41:01发表
感觉条件还是不够，比如对车门的限制，
PS:不解旋转180度是不是也可以旋转360度呢？ [/quote]
180是减小题目难度
本来就是个假想车库，不必这么认真吧

楼上误会了，我看你说答案是小于pai/6,感觉可能跟车库门有关系，
不是圆就是圆弧了，那猜会和车库门有关系，到不是认真
同理那个180和360也是

至于车门什么的~~大家不妨把车子想象成敞棚车吧哈哈~~

车门当然不考虑了，车已经简化成直线了，是车库门

请问一下楼主是横向旋转还是竖向旋转。

…………MS是以车身为直径的圆型，再短些车子进不去了～高度的话车高就可以了，人可以猫着腰进出～

所谓旋转是指以车身某点为圆心旋转

如果是车身上的任意一点旋转180度，那怎么可能小于pai/6呢，以顶点旋转180度扫过的面积都不止吧。不理解阿不理解，搂住公布原贴地址吧

我来说说我的车库，中央是三角形，三角形每端都延伸出去成为一个弧形
本题的关键在于旋转面积的重叠。

该题是我的恩师出给我的，可我没能等到他给我答案。。。。

哈，楼主搜索一个 等宽度 曲线，看看是不是那个问题


[url=http://xq.tjjy.com.cn/xuekejy/maths/UploadFiles/200461415315667.doc][color=blue]点击下载，ms就是我之前提过的数学故事丛书的电子板[/color][/url]
在里面有图案，那个旋转180度可真难理解.....

楼主确信这个不是？？以前没加颜色

有意思.
两个问题有点象,但也不一定就是同一个问题.这个题目有难度,再想想.

[quote]原帖由[i]yedeyao[/i]于2006-02-28, 17:49:28发表
请问一下楼主是横向旋转还是竖向旋转。 [/quote]
楼主还没回答我的问题呢，如果可以纵向旋转的话那么车库的面积绝对小于派／６．

[quote]原帖由[i]yedeyao[/i]于2006-03-01, 9:43:44发表
楼主还没回答我的问题呢，如果可以纵向旋转的话那么车库的面积绝对小于派／６． [/quote]
我说了只考虑平面问题，车子底部始终不离开地面，好比在桌子上转筷子，筷子紧贴桌面

噢　　明白了

最后一个问题　　旋转的时候是否可以利用门口的空间

[quote]原帖由[i]yedeyao[/i]于2006-03-01, 10:00:31发表
最后一个问题　　旋转的时候是否可以利用门口的空间 [/quote]
不可以

追加到1000TB，继续等待

[quote]原帖由[i]crayfish[/i]于2006-02-28, 23:39:59发表
哈，楼主搜索一个 等宽度 曲线，看看是不是那个问题


[url=http://xq.tjjy.com.cn/xuekejy/maths/UploadFiles/200461415315667.doc][color=blue]点击下载，ms就是我之前提过的数学故事丛书的电子板[/color][/url]
在里面有图案，那个旋转180度可真难理解.....

[/quote]
楼主确信这个不是？？以前没加颜色

想了一下，可以用这样的方法倒车：
第一步：正向进入车库，车尾齐车库门（下面以此方向为北方）；
第二步：以车中心为轴，顺时针旋转90度；
第三步：向前（东方）开1/2；
第四步：车尾向北，车头向西（这是个平动与转动的结合），直到车身方向朝南为止；
第五步：向前（南方）开1/2，回到进入车库时的位置。
这样的车库所占面积应该是比较小的。

[img]http://ww1.cnbattle.com/forum/attachment/7_137_c82bc3bc619a2f6.jpg[/img]

右边的那个，明显符合旋转180的条件吧（其实就是这种描述太难理解了，直接说一个车门，但是要求车可以掉头就是了）

面积（按三等分算，是否最小，不知道，懒得列方程求最值）
P(1/3^2+4/3^2)/2-2个等边三角形的面积&lt;5Pai/18

，算了一下还是很大

不会吧？你那个面积是三个扇形之和减去两个三角形
PI/6*3-SQR（3）/4*2=0.70

我这个不太好算，右上的曲线，是个包络线，没仔细证明，可能是个圆弧吧。
PI/16+（1-PI/4）=0.41

[quote]原帖由[i]重阳[/i]于2006-03-08, 13:21:09发表
不会吧？你那个面积是三个扇形之和减去两个三角形
PI/6*3-SQR（3）/4*2=0.70

我这个不太好算，右上的曲线，是个包络线，没仔细证明，可能是个圆弧吧。
PI/16+（1-PI/4）=0.41 [/quote]
我是一个正三角形+3个小扇形
我回去再算算是多少
可能是pai/6可能是pai/8
具体忘记了
但是你的还不够小
我的老师说他做的比0.2小

本题有趣的是，但凡做出来的都说自己做的是最小的。

呵，这个题目，要找出最优解并证明出来，难度还真不是一般的大。

有些人可能还在上学吧，可是我这样的早就工作了，遇到好玩的想想而已，拿起笔来算算就很难做到了。

我之前就是简单的算了下小于5Pai/18,粗心的以为是 小于Pai/6，就没想了

看看这个方法：
第一步：进入车库，车尾齐车库门，以车身方向为北。
第二步1：车尾向西南方，车头向正南方移动，至车头齐车库门。
      2：向东北方前进，至车尾齐车库门。
第三步1：车尾向正西方，车头向西南方移动，至车头齐车库门，
      2：向正东方前进，至车尾齐车库门。
第四步1：车尾向西北方，车头向正西方移动，至车头齐车库门，
      2：向东南方前进，至车尾齐车库门。
第五步 ：车尾向正北方，车头向西北方移动，至车头齐车库门。

这个应该是更小了。
上面的方法，是分四次调整车身角度，每次45度。还可以再多分几次，应该是分的次数越多，面积就越小。
这种平动与转动的结合，所需面积较小。单纯的转动，占地太多，应予摒弃。

重阳给了我提示
是不是有个最值问题
设每次旋转X度，每次前进Y
则面积为180/x-1的图形相加
然后求最值

想面积小，利用率就要高，
如果建一个车头尾相接于外环
车中间相切于内环的环型车道，
那么无论大小环半径是多少这整个环型的面积是Pai/4
我们只用半个环，在把半环一分为二，一端对齐，背靠背相接，
然后把两换相连端延伸出1个车身位置，
再用个切线把两个1/4环不相连端连上，
车库就建好了，要想车顺利行进，每个1/4环两端都要延伸出1/2车长，
不过如果半径越大，1/2车长面积趋向0
顶端切线是直线，因为车身无宽度，面积为0，
实际有面积的就是两个1/4环，车库面积是Pai/8

电脑主板被我玩烧了，在外面网吧上的网，不能画图，大家凑合看
看不懂的话等过几天电脑好了补个图。

不过如果半径越大，1/2车长面积趋向0
趋向0但不能忽略，曾试过这样做，结果很恐怖。。。。

我说关键还是在于面积的重复利用

趋向0为什么就不是0，极限问题么

结果就是Pai/8 比你说的Pai/6小了啊，

我说的关键问题是不论半径多大

环的面积是个固定的。

况且两个1/4环相切位置也有重叠

没看懂，楼主的意思是不是车子开进去，能在车库里面旋转180度然后原方向出来？
车子能在任何一点旋转，求这个面积？

[quote]原帖由 [i]空度[/i] 于 2006-3-15 09:59 发表
想面积小，利用率就要高，
如果建一个车头尾相接于外环
车中间相切于内环的环型车道，
那么无论大小环半径是多少这整个环型的面积是Pai/4
我们只用半个环，在把半环一分为二，一端对齐，背靠背相接，
然后把两换相 ... [/quote]
看了一下大家的解释，好像是我前面说的意思。
但是看了和尚的。发现的确题目中少了一条：
只要求了180度，没说车库是不是只有一个门。

如果这个180度不是原地180度，那空度的pai/8是可以成立的。

pai/8
0.39
大家继续，还是太大。

空度的这个办法，好象有问题。
车子进库的时候，有一半在圆环内，一半在圆环外，要向圆环里面开，车子的后半部分必须占额外的空间才行。

考虑一下内环半径为0的情况，实际占用空间应该是2-PI/2，而不是PI/8。

[quote]原帖由 [i]重阳[/i] 于 2006-3-17 15:55 发表
空度的这个办法，好象有问题。
车子进库的时候，有一半在圆环内，一半在圆环外，要向圆环里面开，车子的后半部分必须占额外的空间才行。

考虑一下内环半径为0的情况，实际占用空间应该是2-PI/2，而不是PI/8。 [/quote]
是，关键内环半径不是0，而是无穷大。

问题是没有面积重叠
在不断增加
。。。。。。。。。

如果汽车宽度忽略不计，可以是0.

[quote]原帖由 [i]linsi[/i] 于 2006-3-18 15:30 发表
如果汽车宽度忽略不计，可以是0. [/quote]
错了
他的问题其实是2个与车身相切圆之间的那窄缝面积，算了算是2pai。。。。。。。

把这个事都差点忘了,抓时间补上图吧,
顺便说下这个题,问最小多少?那什么算最小?
就象问世界上什么最好吃,无论回答什么我都可以说,这还不是最好吃的.
主要是你如果觉得这个方法大,那你说出比他小的方案,如果没人能做出更小的,那么就是最小.

[img]http://bbs.youxizhu.com/attachments/month_0606/zrTDMP7_i5WVecdjkE9O.jpg[/img]


[img]http://bbs.youxizhu.com/attachments/month_0606/zrTDMP7Mg==_xmD1on1s2H7F.jpg[/img]

很简单的题目啊，大家怎么这么做。

应该是以车头，车尾扫过的两个圆在圆内的部分。

汽车平面，对角线长为半径，分别以4个顶点为中心，画4圆,交集即是.

[[i] 本帖最后由 闻起 于 2007-9-26 01:57 编辑 [/i]]

[quote]原帖由 [i]闻起[/i] 于 2007-9-26 01:54 发表
汽车平面，对角线长为半径，分别以4个顶点为中心，画4圆,交集即是. [/quote]

他刚才说没宽度，有宽度自然这么算。至于说求证。又得费点事。

如果可以旋轉180度的話,最小的最大值應該是以車身為直徑的一個半圓,其面積應該是PI/8

旋转?什么方向?什么维度上的?车子能不能以后杠为圆心向上翻转?就是,车子从趴下的位置转到站直的位置.

过了一年，来看看
现在问题是谁都认为自己算出来的是最小的:mellow:

转180度后不需要回到原地？pi/8还不够啊

[[i] 本帖最后由 edyswghe 于 2007-9-28 14:38 编辑 [/i]]

1/4π是正确的，唔唔，就这样。具体过程：
可以把题转化为长为1的线段，以线段上任一点为轴，旋转180°，求其旋转的最小面积。（不知道我说的对不对?)

解答如下：设轴点到两段长度分别为x,y,则x+y=1，
     其面积为1/2π（x·x＋y·y）
     求其最小值。

这个问题是Kakeya conjecture（挂谷猜想）

已经被解决了，答案是可以任意小。

搜到一段话：
“日本数学家挂谷(Kakeya)宗一于1917年提出的一个问题，原题是一武士用短棒抵挡矢石射击，换成数学记法表示为：如何将长为1的线段转过180°(或360°)，使这线段扫过的面积为最小？

若棒绕一端旋转半周，扫过的半圆面积为π/2=1.57…；若棒绕中心旋转180°，扫过的面积为π/4=0.785…；若在正三角形(高为1，边长为2/sqrt3)中每一顶点处各绕60°，则扫过面积为1/sqrt3=0.577…。挂谷本人考虑内摆线，当小圆、大圆的直径分别为1/2，3/2时，曲线内任一条切线长为定值1，棒再按在正三角形内的方式转动扫过的面积为π/8=0.392…。挂谷本人及许多人都认为这就是最小面积了。

1925年美国数学家G.D.Birkhoff特别在著作中提到挂谷问题。后来，长度为1的线段可在点集中转过180°，这样的点集被称为挂谷集。挂谷问题就转化为求面积最小的挂谷集。1920年原苏联数学家Besicovitch在自己的研究领域提出一个类似的问题：是否存在一个面积(若尔当测度)为0的平面点集，它在每一方向上都有长度≥1的线度？后来他将这两个问题称为孪生问题。1928年Besicovitch解决了自己的问题，即构造出面积为0的平面点集，在每一方向上都有长度≥1的线段。接着又运用同样的方法，并借助匈牙利数学家鲍尔(J.pal)的想法进行“联结”，成功地解决了挂谷问题。他的结论出乎绝大多数人的意料：短棒扫过的面积可以任意地小(因而没有最小值)。他的方法由德国数学家佩龙(1928)和另一位数学家舍恩伯格(1962)两度化简，已成为数学中的经典例子。但他们得到的挂谷集有很多洞，因而不是单连通的。

1921年鲍尔证明了如果限于凸图形，前述的正三角形是面积最小的解(1/sqrt3)。1965年R.J.Walker首先找到比挂谷本人解答的面积更小的单连通域挂谷集。同年布洛姆、舍恩伯格和坎宁安(F.Cunningham)先后造出面积为(5-2*sqrt2)π/24(<π/11)的单连通挂谷集。1971年坎宁安终于在单位圆内作出面积可以任意小的单连通挂谷集，完全解决了单连通性和有界性两方面的问题。同时，他证明了如果限于星形(即图形内存在一点，连接它与图形中任一点的线段整个在图形中)，则挂谷集的面积≥π/108。挂谷问题还有多种推广形式，如1971年戴维斯(R.O.Davies)证明了一条半径为1的圆弧转过180°，扫过的面积不能任意小。此外，将线段改为宽度很小的长方形这类问题也开始有人研究。”

[[i] 本帖最后由 青石 于 2008-3-4 12:26 编辑 [/i]]

回复 #53 青石 的帖子

感谢LS，终于知道究竟是什么问题了，后面挖自己去搜搜相关文献

编号： 22993         操作： 汇款         金额： 1000 通宝         操作时间： 2008-3-4 14:30         对方用户名：青石

hoho

多谢TB:loveliness:

好象感觉很复杂的样子。。。。，期待高手