一、很久很久以前（众：拜托你不要这么老土了，砸  ~~~~~Kao，无聊一下不行啊），有两个赌徒，甲和乙（简单起见，名字各一个字，各位想谁是谁）。
甲有10（方便计算，还是小一点好）（人民、美、日、韩、银、英……自己随便选）元（币、镑~~~~~——备选），乙有10（仿）（照）（甲）（后）。
两个人决定决一死战，不到破产不休止。
方法是每次赌注1元（避免一而再再而三重复，选个代表），每次两人各摇一次骰子（ft，又不是上帝，当然会掷骰子），谁的点数大谁赢得对方1元。（相等怎么办？不会重新摇啊，一定要有大小，哼）骰子没有灌铅啥的（又不是韦小宝这厮）一切公平公正公开
请问谁破产的概率比较大？

二、很久很久以前（Kao，还来啊？），有两个赌徒，甲和乙（各位想谁是谁）。
甲有10（有时候大并不是都是好的）（自）（己）（填），乙有10（自）（己）（填）。
两个人决定决一死战，不到破产不休止。
换个方法是每次赌注1元（避免一而再再而三重复，选个代表），每次两人各摇一次骰子——等等——讲错了，这一次是上帝掷骰子（不是说不掷吗？让你掷就得掷，哪来这么多废话！）一次掷三个骰子，每次掷一次（就是上帝也不许作弊）。如果点数是大，甲赢；点数小，乙赢。
请问谁破产的概率比较大？

三、以上二题中如果开始的时候两个人的钱数不相等，结果又如何？

四、第三题中初始状态甲有25元，乙有15元，求各自破产的概率。

五、上面几个题的确不难。现在来一个难一点的。
初始状态：甲10元，乙10元
每次赌注：1元
每次甲赢的概率是2/3，乙赢的概率是1/3。
求各自破产的概率。

晕了，怎么感觉破产概率都是一样的。
至于钱不等的时候嘛，应该是钱多的赢吧……

事先声明，没有计算，没有思考，
只是根据直觉……

处在第一和第二两种情况下，由于甲乙赌本一样多，每次胜负概率也是一样的，所以甲乙两人破产的概率一样，均为50％。

第三种情况下，赌本较多的一方破产的概率较小。设想一下比较极端的情况，甲赌本无限，乙赌本有限，则赌下去乙肯定破产。

楼上的，你的直觉没有欺骗你呀。

楼上的,
照你说"处在第一和第二两种情况下，由于甲乙赌本一样多，每次胜负概率也是一样的"
既然胜负概率一样, 玩到最后胜负概率平均, 本钱丢了还会赚回来, 多赢的钱会丢掉, 那么两个人的破产率就均是0%了

[quote]原帖由[i]尚香[/i]于2005-12-09, 15:54:46发表
楼上的,
照你说"处在第一和第二两种情况下，由于甲乙赌本一样多，每次胜负概率也是一样的"
既然胜负概率一样, 玩到最后胜负概率平均, 本钱丢了还会赚回来, 多赢的钱会丢掉, 那么两个人的破产率就均是0%了 [/quote]
如果我们允许赌局双方在赌金为0或者为负时赌局仍然继续，那么你所说的情况就会出现，但是，实际情况是当某方赌金为0时赌局就结束了，所以你所说的情况不会出现。

1.一样大
2.甲赢.由于3个骰子,3*6=18,1-9为小,10-18为大.实际上1,2点都不可能出现,大的概率显然大.
3.猜想:骰子大小比例为9:7,是不是甲的钱大于乙的钱的7/9的时候,甲赢?

这个要请教马尔可夫先生之链了.

最终解答: 假设A, B二人, A最初有$a, B最初有$b. 如果Pr(A 赢一局)=0.5, 那么Pr(A 最终获胜) = a/[a+b]

对这个问题来一个推广吧... (此现象最初由日本数学家角谷静雄于1942年发现)
已知在(0,0,0)点上有一根杀虫电棒. 有一只蛾子, 现在在距离电棒K的地方飞翔. 它目前在每一瞬间, 往四处飞翔的概率都是一样的(也可以说是布郎运动). 一旦此蛾子步入离电榜小于k的范围内, 它的向光性便会把它推向死神. 求证: 蛾子死亡的概率=k/K.

第五个问题是1024:1，这个最简单了，因为甲的制胜赌法对应于一个乙的制胜赌法，而两者的概率比是2^10:1，我说得没错吧

建模：
25——24——23……1——0——-1……-14——-15
以上对应乙各个状态，其中正数表示赢钱，负数表示输钱，0为初始状态。
若令f(t)为t点的制胜概率，则有f(t)=1/2(f(t+1)+f(t-1));f(25)=1;f(-15)=0
解得f(0)=15/40;

公主的那个题，用上面一个理论套上去，就是调和函数的一个性质。即求一个半径k球外的调和函数fi，满足边界条件：球面上fi=1；r->+inf时，fi=0。
所以结果为：fi=k/r，1/r是球调和函数

不过若是平面就不行了，平面调和函数是lnr，不满足无穷边界条件。

[quote]原帖由[i]KYOKO[/i]于2005-12-17, 15:29:38发表
1.一样大
2.甲赢.由于3个骰子,3*6=18,1-9为小,10-18为大.实际上1,2点都不可能出现,大的概率显然大.
3.猜想:骰子大小比例为9:7,是不是甲的钱大于乙的钱的7/9的时候,甲赢? [/quote]
甲赢.由于3个骰子,3*6=18,1-9为小,10-18为大.实际上1,2点都不可能出现,大的概率显然大.


10是小吧？

另外几天不见，青石变唐僧了？

金大班，好久没见

[quote]原帖由[i]大到暴雨[/i]于2005-12-25, 16:58:27发表
金大班，好久没见      [/quote]
突然明白了青石罗嗦的原因啊…………门庭冷清车马稀…………

金就可以了，大班可以免去………………

金圭子复网了...

第二题细算起来还很麻烦。

[quote]原帖由[i]cysa12345[/i]于2005-12-26, 13:33:01发表
金圭子复网了... [/quote]
没………………过几天你又会见不到我的…………

[quote]原帖由[i]金圭子[/i]于2005-12-27, 9:04:31发表
没………………过几天你又会见不到我的………… [/quote]
欢迎圭来  

虽然不认识，大概我刚到轩辕的时候，金圭子已经断网了

啊 yes
“欢迎圭来”一句很有意思
我突然想到“20林依莲”了…………^_^

[quote]原帖由[i]KYOKO[/i]于2005-12-17, 15:29:38发表
1.一样大
2.甲赢.由于3个骰子,3*6=18,1-9为小,10-18为大.实际上1,2点都不可能出现,大的概率显然大.
3.猜想:骰子大小比例为9:7,是不是甲的钱大于乙的钱的7/9的时候,甲赢? [/quote]
第二不对吧，应该是3－10小，11－18大，概率一样的

[quote]原帖由[i]水天一色[/i]于2005-12-29, 9:07:47发表
[quote]原帖由[i]KYOKO[/i]于2005-12-17, 15:29:38发表
1.一样大
2.甲赢.由于3个骰子,3*6=18,1-9为小,10-18为大.实际上1,2点都不可能出现,大的概率显然大.
3.猜想:骰子大小比例为9:7,是不是甲的钱大于乙的钱的7/9的时候,甲赢? [/quote]
第二不对吧，应该是3－10小，11－18大，概率一样的 [/quote]
为大为小是人为设定的,如果1-10为小,11-18为大,那答案就同1一样了.
还有,3,我说的肯定不对

老夫认为概率是相同的.经过验证2,3都不对.

[quote]原帖由 [i]天宫公主[/i] 于 2005-12-19 00:17 发表
对这个问题来一个推广吧... (此现象最初由日本数学家角谷静雄于1942年发现)
已知在(0,0,0)点上有一根杀虫电棒. 有一只蛾子, 现在在距离电棒K的地方飞翔. 它目前在每一瞬间, 往四处飞翔的概率都是一样的(也可以说是布郎运动). 一旦此蛾子步入离电榜小于k的范围内, 它的向光性便会把它推向死神. 求证: 蛾子死亡的概率=k/K. [/quote]

事实上这个结论是错的。
因为在这个问题里只有死亡区而无安全区，飞蛾停不下来，只要时间足够长，飞蛾总会飞进死亡区，从而死亡概率总是1。

[quote]一、很久很久以前（众：拜托你不要这么老土了，砸  ~~~~~Kao，无聊一下不行啊），有两个赌徒，甲和乙（简单起见，名字各一个字，各位想谁是谁）。
甲有10（方便计算，还是小一点好）（人民、美、日、韩、银、英……自己随便选）元（币、镑~~~~~——备选），乙有10（仿）（照）（甲）（后）。
两个人决定决一死战，不到破产不休止。
方法是每次赌注1元（避免一而再再而三重复，选个代表），每次两人各摇一次骰子（ft，又不是上帝，当然会掷骰子），谁的点数大谁赢得对方1元。（相等怎么办？不会重新摇啊，一定要有大小，哼）骰子没有灌铅啥的（又不是韦小宝这厮）一切公平公正公开
请问谁破产的概率比较大？[/quote]

破产机率相等，不过达到连输１０盘的机率是（１／２）ｐｏｗｅｒ【１０】＝１／１０２４

[quote]
二、很久很久以前（Kao，还来啊？），有两个赌徒，甲和乙（各位想谁是谁）。
甲有10（有时候大并不是都是好的）（自）（己）（填），乙有10（自）（己）（填）。
两个人决定决一死战，不到破产不休止。
换个方法是每次赌注1元（避免一而再再而三重复，选个代表），每次两人各摇一次骰子——等等——讲错了，这一次是上帝掷骰子（不是说不掷吗？让你掷就得掷，哪来这么多废话！）一次掷三个骰子，每次掷一次（就是上帝也不许作弊）。如果点数是大，甲赢；点数小，乙赢。
请问谁破产的概率比较大？[/quote]

两个机率依然相等，无论自己丢，或者上帝丢，机率是一样的，前提是一切以自然的情况下进行

[quote]三、以上二题中如果开始的时候两个人的钱数不相等，结果又如何？[/quote]
[color=DarkOrchid]ａ连输的机率是（１／２）ｐｏｗｅｒ【ａ钱】[/color]或[color=DarkOrchid]ｂ连输的机率是（１／２）ｐｏｗｅｒ【ｂ钱】[/color]

[quote]如果ａ钱　[color=Red]》[/color]　ｂ钱，[/quote]
ａ连输的机率是[color=Red]《　[/color]ｂ连输的机率　（因为[color=Red]１／数值[/color]）

[quote]四、第三题中初始状态甲有25元，乙有15元，求各自破产的概率。[/quote]
ａ连输＝（１／２）ｐｏｗｅｒ【２５】
ｂ连输＝（１／２）ｐｏｗｅｒ【１５】

ａ　破产的机率＝　（１／２）ｐｏｗｅｒ【２５】／（（１／２）ｐｏｗｅｒ【２５】＋（１／２）ｐｏｗｅｒ【２５】）
　　　　　　　　　ａ　连输机率　／　（ａ连输机率＋ｂ连输机率）

[quote]五、上面几个题的确不难。现在来一个难一点的。
初始状态：甲10元，乙10元
每次赌注：1元
每次甲赢的概率是2/3，乙赢的概率是1/3。
求各自破产的概率。
[/quote]

版主上面４题是引导我们解决第５题的，善良的出题者:flower:


ａ连输＝（１／３）ｐｏｗｅｒ【１０】
ｂ连输＝（２／３）ｐｏｗｅｒ【１０】

ｂ　破产的机率＝　（２／３）ｐｏｗｅｒ【１０】／（（２／３）ｐｏｗｅｒ【１０】＋（１／３）ｐｏｗｅｒ【１０】）
　　　　　　　　　ｂ　连输机率　／　（ａ连输机率＋ｂ连输机率）

:qDD+

这题目的答案已经不记得了，时间太久。。。

过两天判定楼上是否做对

[quote]原帖由 [i]KYOKO[/i] 于 2005-12-17 15:29 发表
1.一样大
2.甲赢.由于3个骰子,3*6=18,1-9为小,10-18为大.实际上1,2点都不可能出现,大的概率显然大.
3.猜想:骰子大小比例为9:7,是不是甲的钱大于乙的钱的7/9的时候,甲赢? [/quote]

没玩过色子么？？

11-18大（8），3-10（8）小

[quote]原帖由 [i]buffalo[/i] 于 2008-2-27 03:07 发表
事实上这个结论是错的。
因为在这个问题里只有死亡区而无安全区，飞蛾停不下来，只要时间足够长，飞蛾总会飞进死亡区，从而死亡概率总是1。 [/quote]

飞蛾只要碰不到 (0,0,0) 这个点，就会是一直安全的啊。

只要时间足够长，飞蛾总会飞进死亡区？这个是需要证明的！！！（事实上这个结论是错的）

让小生来解决这个万年贴吧^_^

先给出两个数列的定义后面用到:
实数b满足 0<b<1，0<x<1 为了方便说明，另定义a=1-b   
数列F (下面的像F(n)这样的写法中，n是下标，代表数列F的元素)
    F(0)=0
    F(1)=x
    F(2)=x/b
    ...
    F(n)=(F(n-1)-a*F(n-2))/b=(F(n-1)-F(n-2))/b+F(n-2)
    (即  F(n-1)=a*F(n-2)+b*F(n),一个数为它前后两个数的加权和，权分别为a和b)
显然，这个数列的元素是关于x的一次多项式。
定义数列L
    L(0)=0
    L(1)=1
    L(2)=1/b
    ....
    L(n)=F(n)/x=L(n-1)+L(n-2)-L(Ln-2)/b
可以看出,L(n)是一个只与b相关的数,对于给定的b值,数列L(n)的值是已定的。


将楼主的题目推广到一般化：
甲有M元，乙有N元,甲的胜率为a,乙的胜率为b(即1-a)，定义甲的破产率为S(M,N)
则有:
    S(0,K)=1  甲已经破产了
    S(K,0)=0  对方破产了
    S(M,N)=b*S(M-1,N+1)+a*S(M+1,N-1) 这个式子是解决问题的关键，请仔细理解.
将 S(M+N,0)  S(M+N-1,1) ... S(0,M+N)列为一个数列，就是上面的数列F。(将S的
第二个参数与F的下标一一对应)
    S(M+N,0)=0
    ...
    S(0,M+N)=1
S(0,M+N)=F(M+N)=L(N)*x=1
    x=1/L(N)
给定b值，可以求出L(N),再算出x,这样整个数列F的值都可以根椐F的定义求出了。

对于实际题目，用b计算出数列L,再用x=1/L(M+N)求出x,计算出S(M,N)=F(M,N)=L(M+N)*x
想不到吧，是一个数列问题。^_^
实际计算，大家自己去算吧，小学生也能完成。





嘿嘿，原来里面还有天国公主MM出的一题啊，也交给小生吧：
已知在(0,0,0)点上有一根杀虫电棒. 有一只蛾子, 现在在距离电棒K的地方飞翔. 它目前在每一瞬间, 往四处飞
翔的概率都是一样的(也可以说是布郎运动). 一旦此蛾子步入离电榜小于k的范围内, 它的向光性便会把它推向死神.
求证: 蛾子死亡的概率=k/K.
晕，哪里看来的题目啊，结论是错误的啊，概率是小于而无穷接近1/2，就当1/2吧，一眼就看出来了，都不用计算，
得出错误结论的家伙一定是犯了人与龟赛跑永远追不上龟的同样哲学性错误。

[[i] 本帖最后由 一叶寒 于 2008-6-5 22:06 编辑 [/i]]

[quote]原帖由 [i]天宫公主[/i] 于 2008-6-1 15:52 发表


飞蛾只要碰不到 (0,0,0) 这个点，就会是一直安全的啊。

只要时间足够长，飞蛾总会飞进死亡区？这个是需要证明的！！！（事实上这个结论是错的） [/quote]

飞蛾与电棒距离小于k就肯定死亡了，还安全个鬼。
证明非常简单。
飞蛾的死亡概率是个轴对称调和函数，也就是p=a*lnr+b，先设个安全区r>R，即飞蛾飞到这个距离之外就算活了。
利用条件
p(k)=1，p(R)=0得p=ln(r/R)/ln(k/R)，令R趋于无穷得p==1，即飞蛾必死。

除非你这里提到的所谓电棒是一个点，那么死亡概率就是球对称调和函数p=a/r+b，这个时候才是p=k/r

嗯，p=k/r 才是正解。

连续态马尔科夫过程中，并不是说一个集合 absorbing，它的反集就一定是 transcient。呵呵