2005-10-22 23:14
天宫公主
来个相对难一些的。求以下极限，并证明所有收敛性。
2005-10-22 23:33
俺是马甲
偶不是说你出题水平低呀
出成这样子,固然够狠,不过趣味性何在,呵呵
我的意思是我们这些人还是没有塌兄出这类题专业
但我们有我们自己的风格,不见得就是水平低吧
切莫妄自菲薄
2005-10-23 02:10
凤凰涅槃
我想应该等于0吧？
2005-10-23 14:45
天宫公主
提示: 命题难点在于是双重极限, 所以关键是要证明一致收敛性.
2005-10-23 17:51
凤凰涅槃
昨天头算晕了，犯了个基本错误，晕倒。。。。
今天又算了一遍，得2/e，不知道对不对？
2005-10-23 18:02
天宫公主
嗯... 答案正确. 有步骤么?
2005-10-23 18:42
凤凰涅槃
没有公式编辑器，很难说清，先简单说说：
关键是先取n的极限再取x->0，考虑区间(0,1)
把分子分母相除，取自然对数；把ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+...
带入，然后取极限，就可得到结果了
等我用公式编辑器编辑出来再贴出来，不知楼主有什么好方法？
2005-10-23 18:58
天宫公主
令: L = lim_{x -> 1-} sum_{n=0}^\inf x^n (log(1+x^(n+1)) - log(1+x^n)). (对原命题取对数, 其中\inf = 无穷大)
t_n(x) = log(1+x^n), so x^n = exp(t_n (x)) - 1.
L = lim_{x -> 1-} sum_{n=0}^\inf x^n (t_{n} (x) - t_{n+1}(x)) (1 - exp(t_n(x))
= int_0^log2 (1 - e^t ) dt (注意: 黎曼积分!)
= log 2 - 1
2005-10-23 23:45
凤凰涅槃
怎么贴图啊？怎么上传图片
楼主的方法比我的简单多了，主要在ln(1+x^k)的处理上不同，这样的方法感觉似曾相识，可以没想到
2005-10-24 00:09
重阳
现在普通会员没有上传图片权限，有需要的话可以发找版主代发。
2005-10-24 00:21
天宫公主
帮凤凰涅槃贴一下他的答案
2005-10-24 01:01
天宫公主
答案正确, 步骤也不错. 如果非要100%严格的话, 第三行 -> 第四行 还有 第六行-> 第七行 两次交换极限运算中, 应该考虑一致收敛问题.
如果没有一致收敛性(只是说如果), 则交换极限有可能出问题. 例如:
lim_{n-> inf} lim_{x -> 1-} x^n = 1
lim_{x-> 1-} lim_{n -> inf} x^n = 0
显然, lim_x lim_n != lim_n lim_x.
2005-10-26 00:32
凤凰涅槃
费了老大的劲，终于证明一致收敛了