1. k 奇数, 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/k, ln 2.
2. 3 - 23^(1/3), 3/16
3. arctan(9/8) - Pi/4, 8/145
4. arctan(2005/1983) + arctan(1983/2005), Pi/2

如题: 以上几组数, 说出那个大那个小(不许用计算机! - 最好严正, 写出步骤). 可以接受四种选择做答案:

A: 第一个大
B: 第二个大
C: 都一样大
D: 无法判断

2。（3 - 23^(1/3)）/(3/16)
得：16－16/3*23^(1/3)
16/3*23^(1/3)>15
so:16－16/3*23^(1/3)<1

3/16大

判断 16/3*23^(1/3) > 15 的步骤能否写的详细一下?

16*16*16*23/27>15*15*15
这步我是用计算器算的，

你的题目深的又太深，简单的又是初中高中的基础题，不了解国情。

应该出些趣味性强的题目嘛。

这几题都有妙解的.

P.S. 我出题基本是按照蹋鼻子的难度来的... (我想是吧?...)

其他三题都好办，就是这题我想不出最简方法。

这些题目第一眼看似曾相识，再一看全是N年前高中的题目。

第一个用ln2的Taylor展式，后边k为奇数，为递减数列，极限是ln2，故选A

第二题：等价于3-3/16=45/16=22.5/8与23^(1/3)的大小

则(22.5/8)^3=22.5*(45^2/2^11)=22.5*(2025/2028)<23

虽然是用计算器估算的，但是总算可以比较出来

第一题正确。

第二题按计算器。。。  
能按计算器的话，1-4没一个不显然的。

1,A
2,B
3,?暂时没仔细想了
4,显然是C,一样大嘛

这个1,4,都是比较明显的
1,按ln(1+x)的在x=0处的泰勒展开,取x=1,哇塞,也太,这个就不说了

4,学过初中数学的大概都知道  

2,难算一点,但也不过是展开一下而已,等价于求23^1/3与45/16哪个更小
又等价于求(1-4/27)^1/3与15/16哪个更小
再将前者按(1+x)^1/3展开,哼哼,显然了吧

第三题应该也是可以先取正切再展开算得出来的

我的意思是,这位MM你出的题跟那位塌先生还是有些差别的
那位先生出的题涉及的数学知识比较深哪
既然你对这类数学智力题这么有兴趣,我出一个你瞧瞧

令G(N)=(x^N)*sin(N*A)+(y^N)*sin(N*+(z^N)*sin(N*C)
已知G(1)=G(2)=0且A+B+C=m*Pi
其中,m,N是整数,x,y,其他变量都是实数
证明对任意N为正整数,G(N)=0

怎么要要写的 N*B  的地方字母B成了个图标了,晕

什么时候得罪你了，满篇冷嘲热讽之语。

2,3,4 说的具体一点。(我承认4不难，但你的3目前基本没谱)

你那题出的本身有问题吧！
G(1) = 0 -> x sin A + y sin B + z sin C = 0.
考虑到x,y,z可以取任意实数值，由线性独立性，得sin A = sin B = sin C = 0. 则A, B, C皆为Pi的倍数。因此，sin(AN) = sin(BN) = sin(CN) = 0，对所有正整数N成立。故而，G(N) = 0。

这个证明并没有用到 G(2) = 0 和 A+B+C = m*Pi 这两个条件。它们可以从其它条件里推出来的。

怎么能把我的话看成冷潮热讽呢
我的意思是你的这些题基本上算是趣味题吧
好似不涉及特别的数学知识
和塌先生出的题不是一个类型,我晕
另外对于第三题,我前面的贴子本来写成了正弦
其实我当然应该是想说正切啦,现在已经更正了

另外,你对我的题理解有误哦
我并没说x,y,z,A,B,C这些东西是可以乱取的哦
否则还要那么大一堆条件干什么
你怎么能由任意性推出那些个东西呢,我暴汗

说得更直白点吧,x,y,z,A,B,C都是取定的实数
它们满足我给的三个条件,最后才是要证的

x,y,其他变量都是实数
=================

你对x,y,z做的唯一假设就是它们是实数。那么在N=1的情况下，
x sin A + y sin B + z sin C = 0
对于所有x, y, z应该是恒等的。不明白你说什么不能乱取，x,y,z 哪些值可以取，哪些不可以取，请明确指出。

P.S. 第三题：你要比较 9/8,  tan(Pi/4 + 8/145) ? 据我所知，此路没计算器基本是死路(tan(8/145) 应该不易求得)。

[quote]原帖由[i]天宫公主[/i]于2005-10-22, 23:10:17发表
x,y,其他变量都是实数
=================

你对x,y,z做的唯一假设就是它们是实数。那么在N=1的情况下，
x sin A + y sin B + z sin C = 0
对于所有x, y, z应该是恒等的。不明白你说什么不能乱取，x,y,z 哪些值可以取，哪些不可以取，请明确指出。

P.S. 第三题：你要比较 9/8,  tan(Pi/4 + 8/145) ? 据我所知，此路没计算器基本是死路(tan(8/145) 应该不易求得)。 [/quote]
我晕,刚刚发贴失败了???
对于你的第三题按我的思路确实很难算
不过,另外三题我觉得你应该没什么好怀疑的吧

另外,你对我的题目还是没理解啊
这么说吧:

对于给定的一组实数,x,y,z,A,B,C,若他们使得
G(1)=G(2)=0,A+B+C=m*Pi (m为整数)
则请证明对这组实数和任意正整数N,有
G(N)=0

这样够直白了吧,你还搞不懂???

[quote]原帖由[i]天宫公主[/i]于2005-10-22, 20:19:19发表
第一题正确。

第二题按计算器。。。  
能按计算器的话，1-4没一个不显然的。
  [/quote]
第二题的方法虽然算不上巧妙，但是是可以心算算出来的

主要是我对x^(1/3)的展式不熟

[quote]原帖由[i]俺是马甲[/i]于2005-10-22, 23:30:53发表
[quote]原帖由[i]天宫公主[/i]于2005-10-22, 23:10:17发表
x,y,其他变量都是实数
=================

你对x,y,z做的唯一假设就是它们是实数。那么在N=1的情况下，
x sin A + y sin B + z sin C = 0
对于所有x, y, z应该是恒等的。不明白你说什么不能乱取，x,y,z 哪些值可以取，哪些不可以取，请明确指出。

P.S. 第三题：你要比较 9/8,  tan(Pi/4 + 8/145) ? 据我所知，此路没计算器基本是死路(tan(8/145) 应该不易求得)。 [/quote]
我晕,刚刚发贴失败了???
对于你的第三题按我的思路确实很难算
不过,另外三题我觉得你应该没什么好怀疑的吧

另外,你对我的题目还是没理解啊
这么说吧:

对于给定的一组实数,x,y,z,A,B,C,若他们使得
G(1)=G(2)=0,A+B+C=m*Pi (m为整数)
则请证明对这组实数和任意正整数N,有
G(N)=0

这样够直白了吧,你还搞不懂??? [/quote]
由于exp(it) = cos t + i sin t, 我们可以把命题和条件转换成复数式.

条件等价于:
i) Im(exp(ia + ib + ic)) = 0
ii)Im(x*exp(ia) + y*exp(ib) + z*exp(ic)) = 0
iii)Im[(x*exp(ia))^2 + (y*exp(ib))^2 + (z*exp(ic))^2] = 0

命题等价于: Im[(x*exp(ia))^n + (y*exp(ib))^n + (z*exp(ic))^n] = 0

(其中对于复数w = u + iv, Im(w) = v).

我们用强归纳法证明. 先假设命题对1, 2, ... , n-1成立, 欲证命题对n也成立.

0 = Im [(x*exp(ia) + y*exp(ib) + z*exp(ic))^n]
= Im[(x*exp(ia))^n + (y*exp(ib))^n + (z*exp(ic))^n + T]

其中T是多项式展开的残余部分.

命题充分调价: 证明Im(T) = Im[(x*exp(ia))^n + (y*exp(ib))^n + (z*exp(ic))^n] 的倍数.

由多项式展开T 由以下部分组成:
Im[(x*exp(ia))^p(y*exp(ib))^q(z*exp(ic))^r]
= Im[x^p y^q z^r exp(i(pa + qb + rc))]
= Im[x^p y^q z^r exp(i(pa + pb + pc + Qb + Rc))]
= Im[x^p y^q z^r exp(ip(a + b + c)) exp(i(Qb + Rc))]
= 0
其中做了假设, p <= q <= r, Q = q - p, R = r - p.
另外应用条件: Im(exp(ia + ib + ic)) = 0

以上推理当p, q, r皆严格>0时成立. 当其中一个等于零时,
Im[x^p y^(n-p) exp(i(ap + b(n-p)))] + Im[x^p z^(n-p) exp(i (pa + (n-p)c))]
= Im[x^p exp(ipa) (y^(n-p) exp(ib(n-p)) + z^(n-p) exp(ic(n-p)))]
= Im[x^p exp(ipa) (-x^(n-p) exp(i(n-p)a))]
(因为由归纳假设: Im[(x*exp(ia))^(n-p) + (y*exp(ib))^(n-p) + (z*exp(ic))^(n-p)] = 0)
= Im[x^n exp(ina)]

由多项式展开的对称性, 存在同系数项, 通过以上化减得 Im[y^n exp(inb)] 和 Im[z^n exp(inc)].

相加可得: Im[x^n exp(ina)] + Im[y^n exp(inb)] + Im[z^n exp(inc)].

故, Im(T) = Im[(x*exp(ia))^n + (y*exp(ib))^n + (z*exp(ic))^n] 的倍数.

得证!

Im[x^p y^q z^r exp(ip(a + b + c)) exp(i(Qb + Rc))]
= 0
其中做了假设, p <= q <= r, Q = q - p, R = r - p.
另外应用条件: Im(exp(ia + ib + ic)) = 0


这个地方能解释下吗?
好象不能直接得到0的结果

[quote]原帖由[i]俺是马甲[/i]于2005-10-23, 10:49:05发表
Im[x^p y^q z^r exp(ip(a + b + c)) exp(i(Qb + Rc))]
= 0
其中做了假设, p <= q <= r, Q = q - p, R = r - p.
另外应用条件: Im(exp(ia + ib + ic)) = 0


这个地方能解释下吗?
好象不能直接得到0的结果 [/quote]
我也觉得

不好意思, 打错了.

Im[x^p y^q z^r exp(ip(a + b + c)) exp(i(Qb + Rc))]
= exp(ip(a + b + c)) Im[x^p y^q z^r exp(i(Qb + Rc))]
= 两变量不等于零的情况.

然后看后面证明即可.

第三题取正切后导麦克老林公式求tg8/145

严格意义上3，4题都应该无法判断，至少题目不严密。

西晋羊牯: 第四题有人说很简单，你问他吧．

[quote]原帖由[i]天宫公主[/i]于2005-10-23, 16:52:55发表
西晋羊牯: 第四题有人说很简单，你问他吧． [/quote]
他是直接用两角和公式计算正切，但是有个问题，我们不能确定arctan(2005/1983) + arctan(1983/2005)的值，只能得出它的正切值。

第四题确实是初中水平．．．令ABC为一个直角三角形，且假设角ABC为直角．

注意：tan (CAB) = CB/BA, tan (BCA) = BA/CB；而且<CAB+<BCA = Pi/2.

因此，对所有x>0都有：arctan(x) + arctan(1/x) = Pi/2.

故而，arctan(2005/1983)+arctan(1983/2005) = Pi/2.

你说arctan(2005/1983)+arctan(1983/2005)＝pi/2.我说他等于－pi/2或者3/2pi行不行？你又没说在三角形中。
底下一个你的计算题的帖子也有同样的问题。

楼上明白arctan 和 tan^(-1) 的区别吧?

tan^(-1) 的定义是tan的反"函数", 由于它的多值性, 它只有在黎曼曲面上才有严格的生存环境.

arctan 按最正规的定义, arctan(x) := 积分(0, ... , x ) 1/(1+t^2) dt. 然后, 可以证明在-Pi/2 < u < Pi/2的情况下, 以上定义的函数满足: arctan(tan(u)) = u.

查了一下，正切反三角函数规定了值域（-pi/2,pi/2），那就没问题了。

[quote]原帖由[i]天宫公主[/i]于2005-10-23, 14:17:19发表
不好意思, 打错了.

Im[x^p y^q z^r exp(ip(a + b + c)) exp(i(Qb + Rc))]
= exp(ip(a + b + c)) Im[x^p y^q z^r exp(i(Qb + Rc))]
= 两变量不等于零的情况.

然后看后面证明即可. [/quote]
至此亦不能完全说明
因为这样的形式和后面是有区别的
你还没有得到与后面一步完全等价的结果哦

正切反三角函数(inverse sin, inverse cos, inverse tan, ...) 理论上说是没有规定值域的, 因为它根本就不该在欧氏空间里呆着. 弧三角函数(arcsin, arccos, arctan)是在欧氏空间有严格定义的, 它们都可以用一个勒比格积分来表达.

不过,也差不多能解决问题了
虽然烦琐了点,还是解决了问题的
要不要我公布一个比较简洁的证明办法啊

[quote]原帖由[i]俺是马甲[/i]于2005-10-23, 17:28:40发表
[quote]原帖由[i]天宫公主[/i]于2005-10-23, 14:17:19发表
不好意思, 打错了.

Im[x^p y^q z^r exp(ip(a + b + c)) exp(i(Qb + Rc))]
= exp(ip(a + b + c)) Im[x^p y^q z^r exp(i(Qb + Rc))]
= 两变量不等于零的情况.

然后看后面证明即可. [/quote]
至此亦不能完全说明
因为这样的形式和后面是有区别的
你还没有得到与后面一步完全等价的结果哦 [/quote]
行吧行吧... 你爱怎么说怎么说吧.

想贴答案可以啊... 你把标准答案贴出来, 偶也见识见识.

[quote]原帖由[i]天宫公主[/i]于2005-10-23, 17:33:01发表
[quote]原帖由[i]俺是马甲[/i]于2005-10-23, 17:28:40发表
[quote]原帖由[i]天宫公主[/i]于2005-10-23, 14:17:19发表
不好意思, 打错了.

Im[x^p y^q z^r exp(ip(a + b + c)) exp(i(Qb + Rc))]
= exp(ip(a + b + c)) Im[x^p y^q z^r exp(i(Qb + Rc))]
= 两变量不等于零的情况.

然后看后面证明即可. [/quote]
至此亦不能完全说明
因为这样的形式和后面是有区别的
你还没有得到与后面一步完全等价的结果哦 [/quote]
行吧行吧... 你爱怎么说怎么说吧.

想贴答案可以啊... 你把标准答案贴出来, 偶也见识见识. [/quote]
那我要说了:

令x1=x*exp(i*A),x2=y*exp(i*,x3=z*exp(i*C)
则就相当于要证:
已知:x1+x2+x3,  x1^2+x2^2+x3^2,  x1*x2*x3
都是实数,要证明:
S(N)=x1^N+x2^N+x3^N是实数,对吧
然而显然,S(N)是关于x1,x2,x3的对称多项式
都是可以用x1,x2,x3的初等对称多项式的多项式形式表示出来的
而由已知条件,很容易证明:
σ1=x1+x2+x3,σ2=1/2*(x1+x2+x3)^2-1/2*(x1^2+x2^2+x3^2)
以及σ3=x1*x2*x3都是实数吧
然后就可以证明了,

当然如果你不用初等对称多项式的这个定理,
也可以用S(N+3)=σ1*S(N+2)-σ2*S(N+1)+σ3*S(N)用归纳法证明出来
对于上面这个递推式的推导,应该能够理解吧,因为
xi都是x^(N+3)=σ1*x^(N+2)-σ2*x^(N+1)+σ3*x^(N)的根,所以
再三个式子加起来即可得到那个递推式

汗... 和我的证法有什么不同? 归根结底还是要对(x*exp(ia) + y*exp(ib) + z*exp(ic))^n 做多项式展开. 不然的话, 那些σ也不会出来的说.

[quote]原帖由[i]天宫公主[/i]于2005-10-23, 18:00:47发表
汗... 和我的证法有什么不同? 归根结底还是要对(x*exp(ia) + y*exp(ib) + z*exp(ic))^n 做多项式展开. 不然的话, 那些σ也不会出来的说. [/quote]
请注意,我两种证法都没有涉及你那个多项式的展开呀
第一种证法用了多项式理论的一个定理,证明
是非常简洁的,可以说就两句话就说明了
第二种证法也只是用了韦达定理,何来对(x1+x2+x3)^N的展开啊
其实,我的两种证法核心在于利用了实数对于一般的数
的加法和乘法够成一个交换环这一个性质
和你的证法是有本质区别的哦


PS:楼主现在对我说法敌意很浓啊