1. A组一共有5个人, 要刷一面墙. 这5个人如果单独刷, 他们的速度是1:00, 1:15, 1:30, 1:45, 2:00小时刷好(:后面=分钟数). B组也有5个人涮一面墙, 但他们的速度全是1:30小时刷完一面. 如果A, B两组比赛的话, 谁会胜出(先刷完的一组为胜)?

2. A组一共有N个人, 要涮一面墙. 这N个人如果单独涮, 他们的速度是a_1, a_2, ... , a_N小时涮好. B组也有N个人涮一面墙, 但他们的速度全是b小时唰完一面, 其中b = (a_1 + a_2 + ... + a_N)/N,
i) 如果A, B两组比赛的话, 谁会胜出?
ii) 假设A赢, 能否想出一个更小的b(提高对手速度), 但保持结果不变? 假设A输, 能否想出一个更大的b(降低对手速度)?

1. A组胜出

2.
i) 正在计算中……
ii) 没看懂，不知道如何入手。

是否应该先将"涮"和"唰"改为"刷"
估计天公将军去了澳洲，中文都退化了！

呵呵... 我承认我中文错别字不少. 不好意思.

最好给出步骤吧.

2 ii) 你既然觉得A组胜出, 那么就让B组每人的速度提高一点, 但提高以后还要保持A组赢. 也就是说, 看你是否能缩小比赛差距.

是比赛刷五面墙吗，还是比赛刷一面墙？

如果是比赛刷五面墙的话，是否允许同组内先刷完的人帮助还没刷完的人？

比几面墙有区别么? 反正A,B两组大家刷的面积都是一样的(是集体比赛, 不是各人单挑).

改一下题目，或许更好算一些。如果我没理解错的话，。。。 。。。

两组人竞赛刷墙，每组5人。假设每面墙共有60个格子，共有10面墙，比赛哪个小组会较快刷完5面墙。

两组队员刷墙速度不同，组内成员可以互相帮助。第一组队员中，A每小时刷60个格子（也就是一个小时就刷完一面），B每小时刷30个格子（两小时刷完一面），C每小时刷20个格子（三小时刷完一面），D每小时刷15个格子（四小时刷完一面），E每小时刷12个格子（五小时刷完一面）；第二组队员刷墙速度都一样，都是每小时刷20个格子（三小时刷完一面）。

问一，哪个小组会先完成？
问二，先完成的小组会领先对手多少分钟（四舍五入）？

我的答案是第一组（速度有差异的组）先完成，领先对手48分钟。

PS：实际上每小时刷的面积就不一样了，一小时内，第一组能刷（60＋30＋20＋15＋12＝137）个格子，而第二组只能刷（20×5＝100）个格子。我理解错了？

晕啊... E每小时刷12个格子, 5小时才刷完一面墙... 我给的条件里, 最慢的明明是两小时完成一面啊.

不过要说核心意义没理解错... 但为什么改5个小时啊?

另, 我的问 ii) 在part b才比较好玩的.

这么说我的理解并没有错，这样的话就很简单了。

楼主实际上偷换了速度这个概念。
速度是××格子每小时，以上两个组之间貌似平均速度相同，实际上相同的是不是平均速度，而是平均完成时间。

以我的例子来讲，每小时第一组完成137个格子，第二组完成100个格子，这样计算领先多少分钟，就简单的是3－（100×3）÷137＝0.8小时了。

算第二部分也是一样的，代入T1，T2，T3，T4，T5，和T－Bar就是了。

如果真是平均速度相同的话，应该A每小时刷50个格子，B每小时刷40个格子，C每小时刷30个格子，D每小时刷20个格子，E每小时刷10个格子，而第二组的成员每小时都是刷30个格子。

第二部分啊... 不是想象的那么简单了... 主要你要考虑到任意速度A1, ... AN.

问题1 A胜
列方程 设整体工作量是1 时间为t
A:1t+(1/1.25)t+(1/1.5)t+(1/1.75)t+(1/2)t=1  得到t=21/74.3
B:(1/1.5)t*5=1 得到 t=21/70
A用的时间少

问题2
首先应该是A胜 因为不牵扯到数列和各数量逻辑关系问题 原理同A 我就不用不等式证了 午休时间太短
最后算出 T_A=(a1*a2*……*an)/(a1+a2+……+an)
             T_B=(a1+a2+……+an)/n^2
因为：b = (a_1 + a_2 + ... + a_N)/N
所以T_B=b/n
当T_A=T_B时
b=(a1*a2*……*an)*n/(a1+a2+……+an)
也就是说 当b小于这个值的时候 B组的速度就要比A组慢 就会负于A组 当平均速度b大于这个值时，A就要输了

中午比较头昏脑涨 可能考虑不严谨 不知道对不对 还有4分钟上班 睡一小下去 晚上再来看帖子

嗯... 有点意思. 加油! 继续!

关键要比出来
(a1*a2*……*an)/(a1+a2+……+an)  V.S.  (a1+a2+……+an)/n^2
看那个大.

T_A=(a1*a2*……*an)/(a1+a2+……+an)  


我覺得T_A=(a1*a2*……*an)/
                 (a2a3...an-1an+a1a3a4...an-1an+……+a1a2a3.....an-1an)

嗯... 算我粗心, VICTOR说的不错. 但这两个形式都不是易于对比的写法. 继续努力!

要我写的话...
T_A = 1/[1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an]
T_B = (a1 + a2 + ... + an)/n^2.

欲证 T_A <= T_B, 命题等价于证明
(a1 + ... + an)(1/a1 + ... + 1/an) > n^2.

证法1: 利用柯西不等式,
      sqrt[(a1+...+an)(1/a1 +...+ 1/an)]
>= {sqrt(a1)[1/sqrt(a1)] +...+ sqrt(an)[1/sqrt(an)]}
= 1+...+1
= n.

证法2: 利用数学归纳法,
n=1, 命题显然: a + 1/a > 1.
令S_k = a1 + ... + ak, T_k = 1/a1 + ... + 1/ak. 由归纳假设, S_k T_k > k^2. 则,
    S_{k+1} T_{k+1}
= (S_k + a_{k+1})(T_k + 1/a_{k+1})
= S_k T_k + a_{k+1} T_k + S_k/a_{k+1} + 1
> k^2 + 2k + 1
= (k+1)^2

证法3: 命题等价于:
(a1 + ... + an)/n > n/(1/a1 + ... + 1/an).
直接用算数-调和不等式即可.

ii) 如果用证法3, 可以联想到几何平均数, 则 b = (a1.a2...an)^{1/n} 满足命题要求. 理论性讲当然还有很多其它的b.

P.S. 我觉得此题是最容易帮助理解调和平均数的一个日常生活问题.

1. 一定A胜,因为刷的块的人比刷的慢的人刷的面积大.
2.TB=[1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an]^-1
没了.没想多久,错了别笑.

这个不等式的证明高中生最喜欢了。
以前我也证过用的也是数学归纳法。

JJ的题目好难啊
看来不是我这种水平的人解答得出的……