一本书（不计序言和目录）的页码从1开始顺序编号。撕去其中一页，剩下页码的数字之和为2005。请说明这本书总页数和被撕页码的各种可能情况。

注意这里说的是页码的数字和而不是页码之和。例如37、38两页的页码数字和为21.

218  47－48、65－66、83－84、101－102

这样对吗？

219  （35）
222  （77）
223  （93）
226  （147）
227  （167）
这几个不详列了，头晕ing

我已经没信心啦  


1~9 45
10~19 10+45
20~29 20+45
.....
依次类推
可知到99页时
和为45*10+450=900
100以上再重复，不过每轮再加10，即每个数字加1。
所以到199时，又多了900+100=1000个
总和1900
接下来
200~209 20+45 总数1965
210~219 20+10+45 总数超过2005
所以我们只讨论210~219时的情况

210~219每个数依次增加为：
3,4,5,6....
可知到216时刚超过2005（此时为1965+6*7=2007）
因为不存在一页上的两个页码的和是2，所以这种情况不可能

再加一个217页的话
总和2017，撕页的和为12
因为同一页上的两个页码，总为一个奇数一个偶数，所以和为偶数时必然有进位
那么一个9一个0，剩下来进位的必定是从1进到2，或10到11
所以：总页码217（纸有109张，最后半页空白），撕页是P19-20，P109-110
两种

再加一个218页呢？（纸有109张）
总和2028，撕页的和为23
同理可知撕页上必然没有十位进位，由于23中去掉（8+9）这一组=6，所以从38+39这一组算起：
P47-48，P65-66，P83-84，
100以上，十位依次-1即得：
P137-138，P155-156，P173-174，P191-192
200以上，十位再-1，得：
P218-219——但219页不存在。
所以这种情况下共7种

再加一个219页的话
总和数2040，撕页和为35
无十位进位
所以P197-198，一种


原来总共有十种……

回fengxv君：
1）撕掉的一页上是两个页码而不是一个页码。
2）第93页上的页码数字和是9+3+9+4=25而不是93.

撕掉的一页的页码总数一般是奇数。
后一页码是前一页码加一而进十，千位时，总数是偶数，如29，30=14，999，1000=28，但99，100=19。两个页码和分别是x+9，x+1.

十进制下，个位跑一圈总数是45，十位跑一圈是10*45，所以1-99页总数是450+450=900。
100-199页是100+900=1000， 总数是1900，离2005只有105。所以最后一页是2xx. 则撕掉的一页的页码总数最大是1+9+7+1+9+8=35。
200-209页，65，210-219页，75，和是140。140-105=35。
217-219页，33<35，216-219页，42>35，因此最后一个页码最小是216。

如果最后一页是216，总数2007，比2005多2。不可。

2+1+7=10, 总数比2005多2+10=12,偶数，两个页码和分别是1+9，2。因此两个页码是19,20。最后一页只有一面，是217.

2+1+8=11，总数比2005多12+11=23，两个页码和分别是11，12。因此两个页码是83,84;47,48;65,66。最后一页是217,218.

2+1+9=12，总数比2005多23+12=35, 因此两个页码是197，198。最后一页只有一面，是219.

[quote]原帖由[i]塌鼻子先生[/i]于2005-07-06, 23:53:56发表
回fengxv君：
1）撕掉的一页上是两个页码而不是一个页码。
2）第93页上的页码数字和是9+3+9+4=25而不是93. [/quote]

原来自己差了这么远  
赶紧修正了一下，请再看看，谢谢！

[quote]原帖由[i]塌鼻子先生[/i]于2005-07-06, 23:53:56发表
回fengxv君：
1）撕掉的一页上是两个页码而不是一个页码。
2）第93页上的页码数字和是9+3+9+4=25而不是93. [/quote]
塌鼻子兄，我只弄奇数的就行了？兄再破费下

回周墨君：修改后错得更多了。

1）“总页码217，撕页是P19-20”，109-110行不行？


2）你见过一张书页印有38-39的页码吗？多找几本书看看。

[quote]原帖由[i]塌鼻子先生[/i]于2005-07-07, 13:56:32发表
你见过一张书页印有38-39的页码吗？多找几本书看看。 [/quote]
意思是1、2页在同一张？
  我再改～～

回lcarron78君：
思路弄反了吧，原书的页码数字和应该比撕掉一页后的页码和是多些而不是少些。

这道题是我给塌鼻子IMO（国际数学奥林匹克）集训队小学四年级分队（9-10岁年龄组）出的训练题。有1300人参加。

FENGXV仍没理解题意。11-12页上的页码数字和是1+1+1+2=5，不是11+12=23。

塌鼻子先生出的题目真有意思！一定要做！

一共有8组解，但是实际上第8个是假解。

正确的7种情况是：

书共有218页，被撕掉的页数可能是第47/48、65/66、83/84、137/138、155/156、173/174、191/192页。

假解的情况是：

书共有219页，被撕掉的页数可能是第197/198页。

因为书一定是两页一起的，有219就一定有220，这样就不满足条件了。所以这个是假的解。

思路如下：

(1)由已知条件可知，整本书的页码的数字和>2005，经计算可以知道页码一定超过216页。

(2)判断页码的数字和的情况，即使书一共有998页，其页码的数字和也不会超过51(9+9+7+9+9+8=51)，所以，整本书的页码的数字和<2056。经计算可以知道页码一定少于222页。

(3)由上面2可以知道，3<两个相邻页码的数字和<35。

(4)由3，可以计算出只有总页数等于218的时候满足条件，剩下来就是找到哪两个相邻页码的数字和等于23了。

Excel的自动计算和穷举罗列替我节省了很多时间

看了周愚的答案，发现我漏了两种情况，即总页数为217页时，可以撕掉19/20页和109/110页。但指着两种情况跟我上面说的假解情况一样。

回寂寞空手道兄：

1）实际上，总页数是奇数的书是经常见到的。反面是空白页，无页码。

2）你没有考虑217页的情况。

[quote]原帖由[i]塌鼻子先生[/i]于2005-07-07, 13:56:32发表
回周墨君：修改后错得更多了。

1）“总页码217，撕页是P19-20”，109-110行不行？


2）你见过一张书页印有38-39的页码吗？多找几本书看看。 [/quote]
我再改下去已经觉得不好意思了……

[quote]原帖由[i]塌鼻子先生[/i]于2005-07-07, 14:23:21发表
回寂寞空手道兄：

1）实际上，总页数是奇数的书是经常见到的。反面是空白页，无页码。

2）你没有考虑217页的情况。 [/quote]
回塌鼻子先生

1）最后一页空白的确可能出现。
2）已经修改过了。

较真：你的题目没有排除第一页编号在左边的情况，有一些书籍是这样编号的。比如某些盗版

[quote]原帖由[i]塌鼻子先生[/i]于2005-07-07, 14:03:12发表
回lcarron78君：
思路弄反了吧，原书的页码数字和应该比撕掉一页后的页码和是多些而不是少些。 [/quote]
思路弄反了   
已经修改了.

继续改，不达到小学生的水平不罢休！

看来要我出面了，昨天工作忙了一天，今天虽然还要忙，逃了出来做这个题目（答案见下一帖）：
在此感谢塌鼻子先生的题组，多来光顾喔^_^

一本书（不计序言和目录）的页码从1开始顺序编号。撕去其中一页，剩下页码的数字之和为2005。请说明这本书总页数和被撕页码的各种可能情况。
注意这里说的是页码的数字和而不是页码之和。例如37、38两页的页码数字和为21.

答：不好意思看了一下大家的回答，我以下分析按照塌鼻子先生的本意，只考虑“一页”左面是奇数，右面是偶数的情况。另外也允许总页数是奇数的情况。

数字加和：
1～9：45
10～19：1*10+45
21～29：2*10+45
....
91～99：9*10+45

总计：45*10+45*10=900
100～199：1*100+900=1000

总计1900
既然现在是2005，那么总数应该是2XX页。
200～209：2*10+45=65，总计1965
210～219：2*10+1*10+45=75，总计2040。超过了。

到此，页码最大的一页，大概是197～198页，总和为35，撕掉后正好是2005（真这么巧？-_\\）
答案一：1～219页的书，被撕掉了197～198页

如果是1～218的书：2040-2-1-9=2028，应该除去23。
23分成两个相邻数加和为11、12，为先奇后偶，所以如果各拆成CA、CB的形式（B=A+1，A为奇数，C代表百位十位），百位十位在之和应该为偶数，剩下的数字才可能是先奇后偶。另外这种情况下，A不为9，只考虑1、3、5、7的情况：
那么这种情况下的答案有：47、48；65、66；83、84；137、138；155、156；173、174；191、192。下一个数为227、228，已经超过了218，不考虑。
再考虑一下从9到0的情况，这种情况下，左页为A9（以两位数为例，一位三位类似），右页为B0，每页页码相加的奇偶性和B相同，那么加和必为偶数，不可能等于23（哪怕加上百位数）
再考虑一下A99+B00的情况，A+9+9+B=23-->A+18+A+1=23-->A=2，即为299、300已经超过218了，不考虑。
答案二：1～218页的书，被撕掉了47～48页或65～66页或83～84页或137～138页或155～156页或173～174页或191～192页。

如果是1～217的书：2028-2-1-8=2017，应该除去12。
12如果拆成CA、CB的形式，加和为奇数（刚刚已经看到了），不可能。
如果拆成A9～B0的形式：A+9+B+0=12-->A+9+A+1=12-->A=1，可以是19～20，109～200两种情况。
答案三：1～217页的书，被撕掉了19～20页或109～200页。

如果是1～216的书：2017-2-1-7=2007，应该除去2。
不过最小的两页和也只有：1+2=3，大于2，所以这种情况无解。


归纳所有解为：
答案一：1～219页的书，被撕掉了197～198页
答案二：1～218页的书，被撕掉了47～48页或65～66页或83～84页或137～138页或155～156页或173～174页或191～192页。
答案三：1～217页的书，被撕掉了19～20页或109～200页。

（附带想说一句，标准的“书页”问题，即为只考虑页面左奇右偶的问题，不过好像我以前做的情况是最后一页为偶数的…………本来这题大概就只有第二种情况吧。不过既然塌鼻子先生说可以允许末页为奇数的情况，那就按照这样考虑好了。）

[quote]原帖由[i]金圭子[/i]于2005-07-08, 10:16:46发表
答案三：1～217页的书，被撕掉了19～20页或109～200页。 [/quote]
撕掉109-200页？

[quote]原帖由[i]塌鼻子先生[/i]于2005-07-08, 10:30:51发表
撕掉109-200页？ [/quote]
这个，百疏必有一漏…………写错了，这个去掉对不对呢？

去掉这个？还是改成109-110？

又猪了，一之可也，再之不为。

这题我不做了…………

塌先生想试试看金圭子智商有没有问题，问他：“树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？”
　　金圭子反问：“是无声手枪或别的无声的枪吗？”
　　“不是。”
　　“枪声有多大？”
　　“８０—１００分贝。”
　　“那就是说会震得耳朵疼？”
　　“是。”
    “鸟会不会被震死？”
    “不会。”
　　“在这个城市里打鸟犯不犯法？”
　　“不犯。”
　　“您确定那只鸟真的被打死啦？”
　　“确定。”塌先生已经不耐烦了，“拜托，你告诉我还剩几只就行了，ＯＫ？”
    “ＯＫ，树上的鸟里有没有聋子？”
　　“没有。”
　　“有没有关在笼子里的？”
    “没有。”
    “有没有被绳子系在树上的？”
　　“没有。”
　　“边上还有没有其他的树，树上还有没有其他鸟？”
　　“没有。”
　　“有没有残疾的或饿得飞不动的鸟？”
　　“没有。”
　　“算不算怀孕肚子里的小鸟？”
　　“不算。”
　　“打鸟的人眼有没有花？有没有数错？保证是十只？”
　　“没有花，就十只。”
　　塌先生已经满脑门是汗，但金圭子还不依不饶地继续问，“有没有傻的不怕死的？”
　　“都怕死。”
　　“会不会一枪打死两只，象鸟肉串那样？”
　　“不会。
　　“所有的鸟都可以自由活动吗？”
　　“完全可以。”
　　“如果您的回答没有骗人，”金圭子信心十足地说，“打死的鸟要是挂在树上没掉下来，那么就剩一只，如果掉下来，就一只不剩。”

厥倒!
贫嘴柜子的真实写照.

鸟是卵生的，肚子里不会有小鸟。

[quote]原帖由[i]塌鼻子先生[/i]于2005-07-13, 2:42:52发表
塌先生想试试看金圭子智商有没有问题，问他：“树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？”
　　金圭子反问：“是无声手枪或别的无声的枪吗？”
　　“不是。”
　　“枪声有多大？”
　　“８０—１００分贝。”
　　“那就是说会震得耳朵疼？”
　　“是。”
    “鸟会不会被震死？”
    “不会。”
　　“在这个城市里打鸟犯不犯法？”
　　“不犯。”
　　“您确定那只鸟真的被打死啦？”
　　“确定。”塌先生已经不耐烦了，“拜托，你告诉我还剩几只就行了，ＯＫ？”
    “ＯＫ，树上的鸟里有没有聋子？”
　　“没有。”
　　“有没有关在笼子里的？”
    “没有。”
    “有没有被绳子系在树上的？”
　　“没有。”
　　“边上还有没有其他的树，树上还有没有其他鸟？”
　　“没有。”
　　“有没有残疾的或饿得飞不动的鸟？”
　　“没有。”
　　“算不算怀孕肚子里的小鸟？”
　　“不算。”
　　“打鸟的人眼有没有花？有没有数错？保证是十只？”
　　“没有花，就十只。”
　　塌先生已经满脑门是汗，但金圭子还不依不饶地继续问，“有没有傻的不怕死的？”
　　“都怕死。”
　　“会不会一枪打死两只，象鸟肉串那样？”
　　“不会。
　　“所有的鸟都可以自由活动吗？”
　　“完全可以。”
　　“如果您的回答没有骗人，”金圭子信心十足地说，“打死的鸟要是挂在树上没掉下来，那么就剩一只，如果掉下来，就一只不剩。” [/quote]
oh，不是吧，我肚子里面出蛔虫了？？