一矩形球台 长与宽之比为7：5 将球从球台一角以45度角击出，请问经过多少次反弹以后，球一定会落入网袋内？如果推广到长宽比为m:n（m,n互质） 请问又需要多少次呢？
（球洞视为和球等大 只有球正对球洞运动才会落入网内 你把球看成1个点就行了   假设球台摩擦系数为0 球在台壁上只发生弹性碰撞 即球在落网前不会停下来   两问都有奖）

第一问是 反弹10次
第二问是 反弹m+n-2次

第一问的图：

青石写一下过程啊

[quote]原帖由[i]青木风亮[/i]于2005-02-20, 8:51:31发表
青石写一下过程啊 [/quote]
嗯

第一问 就不用写了 那幅图足够了吧

第二问的 下午补上

偶觉得青石的答案有问题
可以画图，但是第10次是不能进去的，而落在距右上角1CM处（7CM台）

撞15次，最后落在右下角的洞里

[quote]原帖由[i]小菏[/i]于2005-02-20, 13:12:25发表
偶觉得青石的答案有问题
可以画图，但是第10次是不能进去的，而落在距右上角1CM处（7CM台）

撞15次，最后落在右下角的洞里 [/quote]
图是随手画的
具体长度上补是很标准

但是 没有问题

下面的 标出了每条线段的长度：

是偶图画错了
抱歉，青石

简单的过程请看 本贴所附的图片

下面说一下中间的两个问题：
长边和短边上性质类似EB的线段长度为am-bn的形式，这个可以用数学归纳法严格证明

当EB=am-bn(也包括短边上性质一样的线段)时，则发生了a+b-1次碰撞
这个结论也可用纳法证明

这两个证明的过程比较简单 所以省了

請問中間的洞算不算?
如果算的話青石的答案就有錯了...

例如m=8,n=5的情況只要5下就進洞了

在這種m是偶數的情況我們要求的變成

an-bm=m/2,

可以求得a+b-1=(m+n-3)/2

我的确没考虑中洞

如果考虑中洞

楼上是正解

做的时候
根本没想到
中洞的存在   

多谢victorcheng333指出

如果进的是中洞则am-bn=m/2
即有2bn=(2a-1)m
m n互质所以a=(n+1)/2 b=m/2
由于进洞不算 从而碰撞的次数为m/2+(n+1)/2-1-1=(m+n-3)/2


第二问完整解答：
如果m是奇数，则是m+n-2
如果m是偶数，则是(m+n-3)/2

补充一下：碰撞在长边使用am-bn 碰撞在短边使用an-bm
入中洞在长边 不能确定前一次碰撞发生在哪条边上
故假设中洞不存在 视为在中洞发生碰撞后 取am-bn=m/2 此时的碰撞多计算了一次
故总次数为a+b-2 个人认为使用am-bn更为合理（m>n）

两位做得很不错！