对下列求和:

1. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
2. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...
3. 1 + (-1/2 + 1/3 + 1/5) + (- 1/4 + 1/7 + 1/9 ) + (-1/6 + 1/11 + 1/13) + ...
4. (-1/2 - 1/4 - 1/6 + 1) + (-1/8 - 1/10 - 1/12 - 1/14 + 1/3) + ...

注: 第二, 三, 四题的答案差别很大!

5. 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...
6. 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 + 1/216 + ...
7. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + ...

注: 第六题难度很高!

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
=1+(nxn-n-1)/(nxn-n)

[quote]原帖由[i]疾风jf[/i]于2004-12-25, 14:03:35发表
  
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
=1+(nxn-n-1)/(nxn-n) [/quote]
过程 过程 过程 过程。。。。。。

[quote]原帖由[i]青木风亮[/i]于2004-12-25, 14:07:29发表
[quote]原帖由[i]疾风jf[/i]于2004-12-25, 14:03:35发表
  
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
=1+(nxn-n-1)/(nxn-n) [/quote]
过程 过程 过程 过程。。。。。。 [/quote]
n=1      s=1                          =1
n=2      s=1+1/2                  =3/2          =1+1/2      =1+(1x2-1)/1x2
n=3      s=1+1/2+1/3           =11/6        =1+5/6     =1+(2x3-1)/2x3
n=4      s=1+1/2+1/3+1/4   =23/12      =1+11/12  =1+(3x4-1)/3x4
......................................
n=n      s=1+{n(n-1)-1}/n(n-1)=1+(nxn-n-1)/(nxn-n)

疾风可能还没学过数学归纳法
找些书看看 套一下吧

这几个题就不和大家抢了，高尚一把

jf兄: 我以上列的求和可都是加到无穷的啊.

慕容兄: 我认为第六题难度还是相当高的, 不妨一试.

1. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
这个级数发散，如果非要说和，那就是无穷大

2. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...
=ln2

3. 1 + (-1/2 + 1/3 + 1/5) + (- 1/4 + 1/7 + 1/9 ) + (-1/6 + 1/11 + 1/13) + ...
=3ln2/2

4. (-1/2 - 1/4 - 1/6 + 1) + (-1/8 - 1/10 - 1/12 - 1/14 + 1/3) + ...

这个还没算出来 我猜和是0
注: 第二, 三, 四题的答案差别很大!

5. 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...
=pi^2/6

6. 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 + 1/216 + ...
该级数收敛，但是具体数值至今没有人算出来

7. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + ...
该级数发散，和是无穷大

青石岭人: 1,2,5,6,7都对(不过我本来希望谁能算出第六题来...). 3, 4跟我想的答案不一样, 不过因为我没写下通向公式, 也怨不得. 3应该是正无穷, 4应该是负无穷.

对了, 有兴趣帖一下步骤/证明么?

楼主啊,高数书上的有关级数的题都比你出的难.

瓦灰: 我的前四题基本就是大一难度. 第五题稳近大二程度. 第七题一般大学本科课程里不应该讲过(除非你专业数学). 第六题尚为千古未解之题. 至少不觉得最后三题比高数课本里的简单, 若有不当之处, 还请指教.

但我想没学过级数的朋友们还是有希望硬算出来的, 计算以上级数的技巧都够灵活(例如, 第五题我见过十五种不同的证法*).

*相关文献: [url=http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.pdf]http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.pdf[/url]

3 4两题算错了？

呵呵 回头我再看看 学的东西太久没看 都忘的差不多了

具体过程 过段时间再写出来吧 如果有必要的话

级数求和无非就是这几部:写通项引入幂级数判断敛散求和,求和方法比较多可以求极限,或者利用导数积分等求.
你出的题我没怎么细看有可能比较难,不过学过高数的人要求解应该不是什么难事.

[quote]原帖由[i]天公将军[/i]于2004-12-25, 16:53:32发表
青石岭人: 1,2,5,6,7都对(不过我本来希望谁能算出第六题来...). 3, 4跟我想的答案不一样, 不过因为我没写下通向公式, 也怨不得. 3应该是正无穷, 4应该是负无穷.

对了, 有兴趣帖一下步骤/证明么? [/quote]
如果谁能算出第6题，去申请数学博士学位应该没什么问题

我觉得

《射规》说出题最好不要涉及大学内容
尽量在初等数学的范围内解决

都用到发散和收敛及级数了，都是高等数学的