关于我上一个题目凸n变形的扩展：
上一题在[url=http://www.xycq.net/forum/index.php?act=ST&f=42&t=31003&st=0#entry377141][color=red]这里[/color][/url]

其实这个问题只研究了一半

小弟我此次重做此题 发现其实这样分出来的区域只有三角形，四边形，五边形而已 [color=blue]不可能出现六边或六边以上的[/color]  大家不访证明一下？(不论证明还是推翻 1000通宝   )

[color=red]还有超级牛b变态问题来罗[/color]：现有阻值为R的电阻若干个 设该连接后的图形为一电路 在对角线被交点分隔的所有线段和每条边上各置该电阻一个 问n边形相邻两点间(甚至推广到任意i,j两点间)的电阻是多少？（2000通宝+精华奖励 小弟我散尽家财求真知 大家多多捧场啊! 我也没做出来  ）

exp:四边形的电阻分布（即是说对角线交点和多边形顶点是电路结点 相邻结点间加入电阻）

[img]http://wind.e3ol.com/photo/albums/userpics/10113/hihi.jpg[/img]

支持青木兄弟发这样的帖子。射虎园是新建的子区，分开后我们应该大力发展，以吸引更多同好这前来把玩。
箱子承诺将大力鼓励各位出题，答题：优秀的答案，谜题，重奖！！

sry,没注意看

龙枪兄算出了n=4的情况 奖励4块钱  
（注意 上限2000 不是算出n就奖励n块钱哦  ）
个人觉得随着n增大电阻越来越小 应该有个极限值 难道是0?

青木兄这么会看不懂这个图，图中的1就是竖条的导线，--是横条的导线。

龙枪兄找等电势点的方法很不错 麻烦龙枪兄再发一次

对于等电势点的总结：
设正负极连线有对称轴“l”
将n变形拉伸成关于“l”对称的图形 那么位于对称轴上的点都是等电势点 等电势点的上下两部分间不会有电流（将+ -极置于左右）

有用吗？ 那就发一次，n边形也都是这样的。 不过目前无法抽象出一个公式

等效为
+-----------------（R）----------------------------------------------
　　　　1　　1　　　　　　　　 1　　1
　　　　1　　R　　　　　　　　 R　　1
　　　　1　　1　　　　　　　　 1　　1
Vi　　 R　　1_Va________Vb_ 1　　R
　　　　1　　1　　　　　　　　 1　　1
　　　　1　　R　　　　　　　　 R　　1
　　　　1　　1　　　　　　　　 1　　1
- -----------------（R）----------------------------------------------

因为：Va=Vb=Vi/2
所以，a、b间无电流，之间的连线可以去掉，等效为：

+-----------------（R）--------------------------------------------
　　　　1　　1　　　　　　　　 1　　1
　　　　1　　R　　　　　　　　 R　　1
　　　　1　　1　　　　　　　　 1　　1
Vi　　　 R　　1　　　　　　　　 1　　R
　　　　1　　1　　　　　　　　 1　　1
　　　　1　　R　　　　　　　　 R　　1
　　　　1　　1　　　　　　　　 1　　1
- -----------------（ R ）----------------------------------------------

Ri=R//2R//((R//2R)+2R)=(2R/3)//(8R/3)=((2/3)(8/3)/(2/3+8/3))R
　 =((16/9)/(10/3))R=8R/15

为什么Va=Vb ?
在两个带括号的R左端断开电路
两部分分别等效为
+--------------------------------
　　　　1　　1　　
　　　　1　　R　　
　　　　1　　1　　　
Vi　　　 R　　1_Va
　　　　1　　1　
　　　　1　　R　　
　　　　1　　1　　　　
- ----------------------------------
Va=Vi/2　


+----（R）--------------------------------
　　　　　　　　　　 1　　1　　
　　　　　　　　　　 R　　1　　
　　　　　　　　　　 1　　1　　　
Vii　　　　　　　Vb_1　　R
　　　　　　　　　　 1　　1　
　　　　　　　　　　 R　 1　
　　　　　　　　　　 1　　1　　　　
- -----（R）---------------------------------

Vb=Vii/2

Vi=Vii

嘿嘿，expert来了~~
这2000大洋我要了~~嘿嘿呦嘿嘿

这种类型的电阻网络，因为左右对称，所以如下图：
[img]http://wind.e3ol.com/photo/albums/userpics/10099/a1.JPG[/img]
当电源接在AB两端时，CD这条线上面电压是一样滴~~

所以，测量AB两点的电阻，等效与测量如下图所示A、B间的电阻，等效为最简单的串并电路图
[img]http://wind.e3ol.com/photo/albums/userpics/10099/a2.JPG[/img]

（因为实际上中轴上的导线始终是没有电流滴~~）

对于四边形，为8/15R，大家一看就知道~~

同理，对于五边形，在AB间的中轴线上再添一条导线，一样轻松解得
五边形：6/11R

对于总的公式，应该分奇偶讨论，，仔细观察，会发现将电路对分以后，2n型的半边电路实际上就是2n+2型的半边电路的一部分。
最后的总公式，可以由数学归纳法给出~~~
计算中…………

对于2n型的情况：
电阻=
(2*a(2n-2)+2*a(2n))  /   5*a(2n))

其中，a(n)为菲波拉契数列，也就是：

1，1，2，3，5，8，11…………

a(n)+a(n+1)=a(n+2)
a(1)=a(2)=1

同理，对于2n-1型的，就作为思考题，留给诸位啦，呜~哇哈哈哈哈~~
（众人：太嚣张了，扁他~~    ）

公布2n-1型的答案，大家表偷看哦~~~~~~~~

对于2n-1型，答案为：
相领两点间电阻=
(2*a(2n-2))  /   (2*a(2n-2)+a(2n-1))    R

“嘿嘿，其实我审错题了，我解决的是
[img]http://wind.e3ol.com/photo/albums/userpics/10099/b1.JPG[/img]的问题，
至于
[img]http://wind.e3ol.com/photo/albums/userpics/10099/b2.JPG[/img]
的问题，嘿嘿，还没开始解决~~ ”

--公瑾

不过还是要感谢公瑾兄提供的思路

[quote]原帖由[i]青木风亮[/i]于2004-10-23, 15:47:25发表
关于我上一个题目凸n变形的扩展：
上一题在[url=http://www.xycq.net/forum/index.php?act=ST&f=42&t=31003&st=0#entry377141][color=red]这里[/color][/url]

其实这个问题只研究了一半

小弟我此次重做此题 发现其实这样分出来的区域只有三角形，四边形，五边形而已 [color=blue]不可能出现六边或六边以上的[/color]  大家不访证明一下？(不论证明还是推翻 1000通宝   )

[/quote]
如果我没理解错的话，正七边形被划分后中心区域就是个七边形。

山水真是细心 能找到这样的反例 我的猜想犯了这么大的错误 多亏你纠正 这道题是个人赞助 1000通宝请收下  
这道题目还没有评级 原定奖励是100 如果山水能用几何方法 或代数方法 或解析几何方法说明正七边形中间的图形是七边形（因为作图法毕竟有误差 还需证明） A级奖励！  
多谢了

这个用解析几何的方法来证明倒不难，先求出各顶点的坐标，再计算各连线的方程，求出中心的七个交点的坐标，再证明其他交点均在此区域外就行了，不过计算过程太繁琐了，因为正七边形的角求三角函数后不是个直观的容易处理的数，估计大家也没多少兴趣看这个过程。
不过从对称性的角度分析一下还是有点意思的，一个正七边形，具有旋转1/7周对称的特点，以其中心为轴旋转1/7周后会与原图形重合。把所有顶点用线段连接起来后的图形仍会具有这种对称性，那么这个中心区域也同样有这种对称性。具有这种对称性的图形只能是正七边形、正十四边形、正二十一边形等或是圆或是以这些图形为基础构造的更复杂的图形。
以此为基础从观察或是简单的计算容易知道正七边形的所有对角线在中心围成的图形仍是一个正七边形，类似的可以知道，一个正2N+1边形的对角线在中心围成的区域是一个小的正2N+1边形。
对正2N边形来说，会有N条对角线在中心交汇，中心区域虽也有1/2N的对称性，但不会构成一个正2N边形。估计青木在分析的时候只做到六边形，六边形的中心不是六边形，其它区域也不会有，所以才会有最多是五边形的猜测。在八边形或更多的2N边形中应该是有超过五边的图形存在吧。

[color=red]一个正2N+1边形的对角线在中心围成的区域是一个小的正2N+1边形。[/color]

山水证明一下这个推论如何？最好能把这个问题讨论彻底一些

小弟上任以后还没有加过精华 一直手痒

精华的诱感……
这个要是用欧几里德几何的方法来证明倒是不难，但欧几里德只在处理确定的图形方面比较好用，而青木连正七边形的中心是个七边形都不准作为已知条件。
试了试解析几何的办法，晕死，繁琐的三角函数计算，都忘的差不多了，再想想别的办法。

[quote]而青木连正七边形的中心是个七边形都不准作为已知条件。
[/quote]
如果需要已知条件的话可以从正三角形   正五边形开始推

求证正2n+1边形的所有对角线把它划分成的若干区域中，中心也是一个2n+1边形。
证明：
令该多边形为A0A1A2……A2n+1，其外心为O，令外接圆的半径为1。
相等的弦圆心角相等，而正多边形的所有边相等，所以各边的圆心角相等，都是2π/（2n+1），令θ=π/（2n+1），各边的圆心角为2θ

任取相交的两条对角线AiAj、AkAl，(i<k<j<l)其交点为P。
一、给出计算OP的方法。
从O向AiAj引垂线交AiAj于B，向AkAl引垂线交AkAl于C。
∠AjOAi=2(j-i)θ
∠AkOAl=2(l-k)θ
∠AkOAi= 2(k-i)θ
∠AlOAi= 2(l-i)θ
∠BOAi=∠AjOAi/2=(j-i)θ
∠COAk=∠AkOAl/2=(l-k)θ
∠COB= ∠COAi-∠BOAi= ∠COAk+∠AkOAi-∠BOAi=(l-k)θ+2(k-i)θ-(j-i)θ=（k+l-i –j）θ
以上角均为按逆时针方向旋转，有可能大于π
OB=OAi|cos∠BOAi|=|cos(j-i)θ|
OC=OAj|cos∠COAk|=|cos(l-k)θ|

令∠POB=φ
由直角三角形OPB，有OP= OB/|cos∠POB|=|cos(j-i)θ|/|cosφ|=| sin [π/2-(j-i)θ|/|cosφ|=|sin[（2n+1）θ/2-(j-i)θ|/|cosφ|=|sin[（n-j+ i +1/2）θ|/|cosφ|
从OP=|cos(j-i)θ|/|cosφ|来看，i和j的大小顺序对计算结果没有影响，类似的，k、l的顺序也是一样，i<k<j<l的假设可以取消。

特殊地，当j- i = l-k时
k- i =l-j
AkAi=AlAj
又易知三角形AlPAj 和AkPAi 的三对角都相等，故两个三角形全等，PAi=PAl
由三角形AjOAi和AkOAl全等可知∠OAiP=∠OAlP
再由OAi=OAl 可知三角形POAi和POAl全等，
∠POAi=∠AlOP=∠AlOAi/2= (l- i)θ
∠POB=∠POAi-∠BOAi=(l- i)θ-(j-i)θ=（l-j）θ
OP=|sin（n-j+ i +1/2）θ|/|cosφ|=| sin（n-j+ i +1/2）θ|/|cos（l-j）θ|

二、构造小正多边形
令AiAi+n（当下标>2n时减去2n+1，以下略）与Ai+1Ai+n+1交于Pi点
Pi与P(i+1)同处于对角线A(i+1)A(i +1+n)上，因此P0P1……Pi……P2n由对角线连成一个2n+1边形。
用上面的方法计算OPi，
此时j= i +n，k= i +1，l= i +1+n，j- i =l-k
故OPi= | sin (（n-j+ i +1/2）)θ|/|cos（l-j）θ|=sin（θ/2）/ cosθ

对i=1，……n，OPi相等，故Pi均处于以O为圆心sin（θ/2）/ cosθ为半径的圆周上。
∠PiOB=（l-j）θ=θ
同理∠PiOC=θ
因此∠OPiB=∠OPiC
所有等腰三角形OPiPi+1底角相等，斜边相等，因而全等，故此P0P1……Pi……P2n所有的边和角均相等，是一个正2n+1边形，其外接圆半径为sin（θ/2）/ cosθ。

三、该小多边形即为中心区域
最后来证明这个图形就是中心区域，方法是证明对其他所有的交点P，OP>sin（θ/2）/ cosθ。

先看两条对角线AiAj、AkAl中至少有一条不符合条件AiAi+n，，令AiAj不符合且i<j。显然j- i不等于n
另对j- i = n+1，实际上AiAj就是AjAj+n，因此j- i也不是n+1。
即1<j- i <n或n+1< j- i<2 n
OP= | sin (（n-j+ i +1/2）)θ|/|cosφ|>= | sin (（n-j+ i +1/2）)θ|>= sinθ
对正五边形，所有对角线都是PiP(i+1)，因而此时2n+1>=7，θ=π/（2n+1）<=π/7，cos(θ/2)cosθ>1/2
OP>= sinθ=2sin(θ/2)cos(θ/2)> sin(θ/2)/cosθ

再看AiA(i+1)之间的其他交点，令AsA(s+n)与PtP(t+n)交于P，t>s且1<t-s<2n
OP = | sin (（n-j+ i +1/2）)θ|/|cos（l-j）θ| = sin(θ/2)/| cos（t-s）θ|> sin(θ/2)/cosθ

因所有其他交点离正多边形中心的距离都大于小多边形的外接圆半径，故可认定上述小多边形即为分割后的中心区域，命题得证。

小弟今天没带纸笔 明天来审核 还要帮山水兄包装（装可爱吸引更多人关注）

山水单独开一帖吧 题目可以叫“关于多边形问题的探讨”

用基尔霍夫定律这种题基本上没什么讨论的价值.不过要推广到n边形的情况,计算节点和回路比较麻烦,哪位高手先算算n边形时有多少节点和回路.

楼主GG你一共有多少通宝可以奖赏啊？

今年最后一天，似乎这条鱼漏网时间最长……
对4边形，在1、2两顶点上加电位差1，令V1=1/2，V2=-1/2
由对称性可知，V3=-V4，V5=0
而（V3-V4）+（V3-V5）+（V3-V2）=0
知V3=-1/8
流向节点2的电流为（V1-V2）/R+（V3-V2）/R+（V5-V2）/R=15/8R
故1、2之间的电阻为8/15R，由于四边形加对角线后图形在结构上具有对称性，可知任一对相邻顶点间的电阻都是这个值。

对五边形，在1、2两顶点上加电位差1，令V1=1/2，V2=-1/2
由对称性可知，V4=V6=0
V3=-V5，V7=-V10，V8=-V9

由3、7、8三节点的电流净流量为0可知：
4V3=V2+V4+V7+V8=V7+V8-1/2
4V7=V2+V3+V6+V8=V3+V8-1/2
4V8=V3+V4+V7+V9=V3+V7-V8
解上面的三元一次方程组，得V3=V7=-5/26

流向节点2的电流为1/R+1/2R+（1/2R-5/26R）*2=（1+1/2+8/13）/R=55/26R
故1、2之间的电阻为26/55R。
由于5边形加对角线后图形在结构上具有对称性，可知任一对相邻顶点间的电阻都是这个值。

对于6边形，没有三条对角线交于同一点的情况下，我们可以看到整个图形在结构上是没有对称性的，因此不同相邻顶点之间的电阻是不一样的。或者对更多边形，由于顶点的位置不同，对角线交点的相互位置并不是一成不变的。在这种情况下，只有对确定的图形和确定的顶点所提问题才有意义。

2000通宝就不要了，青木拿五个通宝来吧。

[quote]原帖由[i]重阳[/i]于2004-12-31, 18:49:12发表
今年最后一天，似乎这条鱼漏网时间最长……
对4边形，在1、2两顶点上加电位差1，令V1=1/2，V2=-1/2
由对称性可知，V3=-V4，V5=0
而（V3-V4）+（V3-V5）+（V3-V2）=0
知V3=-1/8
流向节点2的电流为（V1-V2）/R+（V3-V2）/R+（V5-V2）/R=15/8R
故1、2之间的电阻为8/15R，由于四边形加对角线后图形在结构上具有对称性，可知任一对相邻顶点间的电阻都是这个值。

对五边形，在1、2两顶点上加电位差1，令V1=1/2，V2=-1/2
由对称性可知，V4=V6=0
V3=-V5，V7=-V10，V8=-V9

由3、7、8三节点的电流净流量为0可知：
4V3=V2+V4+V7+V8=V7+V8-1/2
4V7=V2+V3+V6+V8=V3+V8-1/2
4V8=V3+V4+V7+V9=V3+V7-V8
解上面的三元一次方程组，得V3=V7=-5/26

流向节点2的电流为1/R+1/2R+（1/2R-5/26R）*2=（1+1/2+8/13）/R=55/26R
故1、2之间的电阻为26/55R。
由于5边形加对角线后图形在结构上具有对称性，可知任一对相邻顶点间的电阻都是这个值。

对于6边形，没有三条对角线交于同一点的情况下，我们可以看到整个图形在结构上是没有对称性的，因此不同相邻顶点之间的电阻是不一样的。或者对更多边形，由于顶点的位置不同，对角线交点的相互位置并不是一成不变的。在这种情况下，只有对确定的图形和确定的顶点所提问题才有意义。

2000通宝就不要了，青木拿五个通宝来吧。 [/quote]

4，5边形答案正确
更多边的多边形是我的猜想 犯了不严谨的错误 如果修正一下 变成正n边形 连接所有对角线 交点视为节点 相邻节点间加上电阻 求任意两顶点间的电阻 是否可行？作为新年的题目

重阳 2005-01-01  ￥ 5 轩辕通宝