一个概率问题——由两两胜率到总胜率

有三个跳远运动员A、B、C，如果他们两两单比跳远，那么A赢B的概率是80%、A赢C的概率是70%、B赢C的概率是60%。（可以看出A最强、B次之、C最弱）
那么如果他们三人进行跳远比赛，A第一的概率是多少？

想了没想明白，是不是条件不够？

我觉得条件太多了，只要a赢b，a赢c就够了

回复 #1 3_141592653589 的帖子

有问题，A赢B 80%  A赢C 70%
这里看C比B强……

而且，A第一指的是获胜次数第一么？

偶觉得条件不够，有无数解。。。（如果思路没有错的话）


[table=298][tr][td=1,1,72][font=宋体][size=3][color=#000000][b]排名[/b][/color][/size][/font][/td][td=1,1,72][font=宋体][size=3][color=#000000][b]概率[/b][/color][/size][/font][/td][td=1,1,10][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td=1,1,72][font=宋体][size=3][color=#000000][b]排名[/b][/color][/size][/font][/td][td=1,1,72][b][font=宋体][size=3][color=#000000]概率[/color][/size][/font][/b][/td][/tr][tr][td][font=宋体][size=3][color=#000000]A B C[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]45%[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]A B C[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]45%[/color][/size][/font][/td][/tr][tr][td][font=宋体][size=3][color=#000000]A C B[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]15%[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]A C B[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]20%[/color][/size][/font][/td][/tr][tr][td][font=宋体][size=3][color=#000000]B A C[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]10%[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]B A C[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]5%[/color][/size][/font][/td][/tr][tr][td][font=宋体][size=3][color=#000000]B C A[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]5%[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]B C A[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]10%[/color][/size][/font][/td][/tr][tr][td][font=宋体][size=3][color=#000000]C A B[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]20%[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]C A B[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]15%[/color][/size][/font][/td][/tr][tr][td][font=宋体][size=3][color=#000000]C B A[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]5%[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]C B A[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]5%[/color][/size][/font][/td][/tr][tr][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]100%[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]100%[/color][/size][/font][/td][/tr][tr][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][/tr][tr][td][font=宋体][size=3][color=#000000]A>B[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]80%[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]A>B[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]80%[/color][/size][/font][/td][/tr][tr][td][font=宋体][size=3][color=#000000]A>C[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]70%[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]A>C[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]70%[/color][/size][/font][/td][/tr][tr][td][font=宋体][size=3][color=#000000]B>C[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]60%[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]B>C[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]60%[/color][/size][/font][/td][/tr][tr][td][font=宋体][size=3][color=#000000]B>A[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]20%[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]B>A[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]20%[/color][/size][/font][/td][/tr][tr][td][font=宋体][size=3][color=#000000]C>A[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]30%[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]C>A[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]30%[/color][/size][/font][/td][/tr][tr][td][font=宋体][size=3][color=#000000]C>B[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]40%[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000][/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]C>B[/color][/size][/font][/td][td][font=宋体][size=3][color=#000000]40%[/color][/size][/font][/td][/tr][/table]

8种情况，ABC赢各2种，还有2种是不可能的。

结论是BC获胜的概率一样。B与C比占优，但是BC和A对比时C更好。

回复 #2 KYOKO 的帖子

你这个只有在假设了 IIA 条件（Independence of Irrelevant Alternatives）的前提下才成立，否则就是 4 楼说的现象。有机会可以认真学习一下基础知识：[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Independence_of_irrelevant_alternatives[/url]

[color=Silver][[i] 本帖最后由 马光 于 2014-8-22 00:09 编辑 [/i]][/color]

顺便说一下，[url=http://en.wikipedia.org/wiki/Independence_of_irrelevant_alternatives]Independence of Irrelevant Alternatives[/url] 假说的一个重要后果就是 [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Arrow%27s_impossibility_theorem]Arrow's Impossibility Theorem[/url] 和 [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Gibbard–Satterthwaite_theorem]Gibbard–Satterthwaite Theorem[/url]。。。所有盲目鼓吹民主制度的都该好好学习一下这两个定理。。。

[color=Silver][[i] 本帖最后由 马光 于 2014-8-22 00:17 编辑 [/i]][/color]

这两两胜率说明，这三个选手在相互之间比赛的时候，存在对不同对手会发挥不一致的情况，所以说，两两胜率在三人比赛的时候，实际是没有参考价值的，

比如B碰到C就打鸡血，碰到A就软脚虾，同时碰到A和C会如何呢？这有点像自相矛盾的问题了。

主楼说的不大好，本来想用个实际点的例子的，结果表达的有些问题。
还是从头说吧，看一本小说看到的：
A、B、C三方约定掷骰子定胜负，A有9次机会、B有4次机会、C有3次机会，各取最大值进行PK。
直接算联合概率算出A最后的胜率不难，后来我就在想：能不能通过两两之间的胜率算出来？
之后想了半天就想不明白了。

化简为纯数学语言就是：A、B、C是三个相互独立的随机变量，已知P(A>B)、P(A>C)、P(B>C)，问能否求出P(max(A、B、C)=A)？

[color=Silver][[i] 本帖最后由 3_141592653589 于 2014-8-22 19:50 编辑 [/i]][/color]

回复 #9 3_141592653589 的帖子

要这么问的话，是符合 IIA 条件的，那么知道 A vs B 和 A vs C 这两个 odds ratio 就足够了。

跳远这个项目的设定本身不行，应该是网球这样的两两对抗项目，否则题目有点失去意义

以跳远来强调三人成绩独立无关，我觉得可以理解。
的确是条件不够。

A得第一的条件是赢了B和C就行，管他BC谁第二。
概率是56%。
这不是打球搞循环赛比积分。一次定输赢。

A得第一的条件是赢了B和C就行，管他BC谁第二。
概率是56%。
这不是打球搞循环赛比积分。一次定输赢。

回复 #14 shicanhui 的帖子

对啊，咱提出介问题鸟。如果不对，谁能解释下为嘛B赢不赢C对A第一有影响？？

[quote]原帖由 [i]KYOKO[/i] 于 2017-4-3 12:38 发表
对啊，咱提出介问题鸟。如果不对，谁能解释下为嘛B赢不赢C对A第一有影响？？ [/quote]
呃他意思是說模型的複雜程度不一樣,如果按簡單的想法來說,水兄沒毛病,
如果複雜化來考慮:A和B/C單挑能贏的概率,不一定代表他們三個同場比賽的概率

有可能A和B單挑能贏,但C出現了就"干擾"A了(當然舉跳遠這個例子不一定恰當,但這個Independence of Irrelevant Alternatives假說基本是這個意思)
舉例B喜歡帶紅色反光的帽子,會讓A刺眼,C喜歡在場邊唱歌,A聽了不舒服
A在和BC分開比賽時,A可以單獨忍耐紅色帽子和歌聲,並取得勝利,但如果同時一場上有B的帽子和C的歌聲,A沒辦法同時忍耐二者,所以受到干擾了,這時贏面可能就更縮小

(更實際的例子是說項羽能打贏關羽概率是80%,項羽能打贏岳飛的概率是70%,但這三個關一起無規則互打,項羽贏的可能性不一定是56%,或者說選舉也一樣,曹操孫權劉備各自二二選舉的結果不一定是三人同場競選的結果)

[color=Silver][[i] 本帖最后由 粉炎陽 于 2017-4-3 16:53 编辑 [/i]][/color]